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文檔簡介

1、平面向量的數量積的教與學北京日壇中學 邱繼勇 郵編 100020 平面向量的數量積及其運算律，是高中教材平面向量一章中的重點和難點，在概念和公式的教學中，應注意掌握“兩種形式”和“三個不一定”；在應用數量積解答數學問題時，應當著重體現向量“數”與“形”的雙重特征下的工具作用一、 兩種形式： 幾何形式： 代數形式： 設 則二、 三個“不一定”： 若不一定有 若不一定有 不一定等于三、 數量積的應用： 常用形式： 長度問題： 垂直問題： 角度問題： 面積問題: 不等式問題： 應用舉例：例題 如圖（1）所示，銳角三角形的外心，為邊的中點，在上取一點，使得，求證：是三角形的垂心簡證：設為則 由 ， 得

2、 圖（1），是的垂心說明：平面向量的“形”不同于平面幾何的圖形，利用數量積證明平面幾何問題時，先要將平面幾何圖形“向量化”，其一般步驟是： 設出兩個或三個線段組成的向量為基本向量（基底） 用基本向量表示相關線段組成的向量 利用向量的知識進行推證例題如圖（2），向量兩兩組成的角相等，且長度分別為、2、3CABO 求的長度 求三角形的面積簡解：設為， 圖（2）若三個向量共線，則 的長度為6若三個向量不共線，則兩兩的夾角為1200，由 的長度為綜上所述，的長度為6或簡解：如圖（3），建立直角坐標系則由的面積的面積 圖（3）的面積 得 的面積 說明：利用數量積的坐標形式解決平面幾何問題時，一般步驟是： 建立適當的坐標系 寫出相關點和向量的坐標 利用向量加減、數量積進行推證例題 若求的最大值簡解：設則由，得 的最大值為平面向量的數量積及其運算律應用性強，涉及內容廣泛，又能比較充分的體現出向量的工具性、“數”和“形”的雙重性，是提高學生解題能力，培養(yǎng)學生良好思維品質的

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