第十屆華杯賽總決賽二試試題及解答

1、第十屆華杯賽總決賽二試試題及解答解答題（共6題，每題10分，寫(xiě)出解答過(guò)程）1.如右圖，四邊形ABC中，對(duì)角線AC和BD交于0點(diǎn)。已知：A©1,三角形肋£的面積3并且三角形旳D的面積=亍，那么OC的長(zhǎng)是多少?2.將2化成小數(shù)等于0.5，是個(gè)有限小數(shù)；將ii化成小數(shù)等于0.090,簡(jiǎn)記為09 ,是純循環(huán)小數(shù)；將6化成小數(shù)等于0.1666，簡(jiǎn)記為016,是混循環(huán)小數(shù)?，F(xiàn)在將2004個(gè)分?jǐn)?shù)2 , 3 , 4，2005化成小數(shù)，問(wèn)：其中純循環(huán)小數(shù)有多少個(gè)?+ "+ + 3.計(jì)算 1x3x5 3x5x7 5 x7x9 2001 x 2003 x 2005 o 4"加

2、表示一個(gè)十進(jìn)制的三位數(shù)，若 血£等于由a, b, c三個(gè)數(shù)碼所組成的全體兩位數(shù)的和，寫(xiě)出所有滿足上述條件的三位數(shù)。5.由26d + e J + M + Q,可以斷定26最多能表示為3個(gè)互不相等的非零自然數(shù)的平方和，請(qǐng)你判定360最多能表示為多少個(gè)互不相等的 非零自然數(shù)的平方之和?6.有若干名小朋友，第一名小朋友的糖果比第二名小朋友的糖果多2塊，第二名小朋友的糖果比第三名小朋友的糖果多 2塊，即前一名小朋友總比后一名小朋友多 2塊糖果。他們按次序圍成圓圈做游戲，從第一名小朋友開(kāi)始給第二名小朋友 2塊糖果，第二名小朋友給第三名小朋友4塊糖果，即每一名小朋友總是將前面?zhèn)鱽?lái)的糖果 再加上自己

3、的2塊傳給下一名小朋友，當(dāng)游戲進(jìn)行到某一名小朋友收 到上一名小朋友傳來(lái)的糖果但無(wú)法按規(guī)定給出糖果時(shí)，有兩名相鄰小 朋友的糖果數(shù)的比是13： 1，問(wèn)最多有多少名小朋友?100400351. OQ的長(zhǎng)是3.2.其中純循環(huán)小數(shù)有801個(gè)3 原式=128045.4.共有三個(gè)三位數(shù)滿足條件，它們是：132, 264, 396.5. 360最多能表示為9個(gè)互不相等的非零自然數(shù)的平方之和，表達(dá)式* + 22 + 32 + 42 + 滬 + 72 + 前 + »+02=逾 6.最多有25名小朋友.1. 【解】 AOB與 COB等高，所以 AOB勺面積： COB勺面積=A0： OC又 AODW cod

4、等高，所以 AOD勺面積： CO啲面積=AO： OCAOBH AOD CBDA COB- COD所以 ABD勺面積： CBD勺面積=AO： OC已知 ABD勺面積： CBD勺面積=3 ：5所以 AO： OC= 3 : 5, OC= 3 AO AO= 1, OC= 3 .2. 【解】凡是分母的質(zhì)因素僅含2和5的，化成小數(shù)后為有限小數(shù),凡是分母的質(zhì)因素不含2和5的，化成小數(shù)后為有限小數(shù)后為純循環(huán) 小數(shù)，所以本題實(shí)際上是問(wèn)從2到2005的2004個(gè)數(shù)中，不含質(zhì)因數(shù)2或5的共有多少個(gè).這2004個(gè)數(shù)中，含質(zhì)因數(shù)2的有2004寧2= 1002個(gè)，含質(zhì)因數(shù)5的有2005-5= 401個(gè)，既含2又含5的有2

5、000- 10=200個(gè)，所以可以化成純循環(huán)小數(shù)的有2004- 1002- 401 + 200= 801 個(gè).3. 【解】原式=1+4 *1x3 3x5； Ux5 5x7；+ 2001x2003 2003x20051004003=4 x( 1x3 200?x200F ) = 120480454.【解】即求滿足 aX 100 + bX 10+ c=( a + b + c) x 10x 2+( a+ b+ c) X 2=22x( a + b+ c)的 a、b、c.上式為：100a + 10b + c = 22a + 22b + 22c,也即：78a 12b 21c因?yàn)?12X 9+ 21X 9=

6、297, 297- 78< 4,所以 a 僅可能為 1、2、3,78-1 乃如果a= 1,即 78= 12b + 21c, c= 21 , c 只需用 1、2、3 試驗(yàn),經(jīng)驗(yàn)證b= 3,c = 2符合條件;如果a= 2,即 156= 12b + 21c,1 咒-123c= ,經(jīng)驗(yàn)證b= 6, c = 4,符合條件;如果a= 3,即 234= 12b + 21c,23472Bc = ,經(jīng)驗(yàn)證b= 9, c = 6,符合條件.所以，共有三個(gè)三位數(shù)滿足條件,它們是:132, 264, 396.5.【解】將1到18的平方列表:要想得到盡量多的數(shù)的平方和，盡量取較小的數(shù)，從 F開(kāi)始:*+ 2?+

7、¥+4；+寧+ 62+7'+M+92+10： = 385,已經(jīng)大于 360 了，剛好比 360 大 25= 5',所以360最多可以表示為9個(gè)互不相等的非零自然數(shù)的平方和，即:360= 1 + 2+3+4 + e +f + 費(fèi) + 92 + 卅6.【解】設(shè)有n名小朋友，共傳k圈（最后一名傳k1圈），中斷時(shí)各人手中糖數(shù)為a.先研究a的取值，0中斷（最后一名手中無(wú)糖可傳）時(shí)，耳=2nk 2,磚1= 0,1 = 2n4; 1中斷（最后一名手中只有一塊糖）時(shí)，切=2nk 1,耳=1,1= 2n 3.分六種情況討論:(1) 0中斷,2 處-213如：= 13 : 1，即 0=

8、1 ,顯然無(wú)解.(2) 0中斷,2nk- 213q : °1 = 13 : 1,即加一4 =? => 26n 52= 2nk 2 =>n (13 k)= 25,可得 n= 25, k= 12 (n = 5, k= 8舍去)(3) 0 中斷，"1:4= 13 ： 1,2旳- 413即 2k-2 =1 => 26nk 26=2n 4 =>n(13k 1)= 11,無(wú)整數(shù)解.（4） 1 中斷，4 : 4=13 ： 1,即2 戚-1 131=1 => 2nk 1 = 13 => nk可得 n= 7, k= 1 (n= 1,k = 7舍去)2朋-113(5) 1 中斷，4 : "1 = 13 :1,即 2«-3 =? => 26n 39=2nk 1 =>n(13 k