電磁場理論復(fù)習(xí)題含問題詳解

1、9。第12章 矢量分析 宏觀電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律1.設(shè)：直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場 u xy yz zx的梯度為A，貝y m （1, 1, 1）處A = 2ex2ey2ez2.，則在 M( 1,1,1 )處 A2已知矢量場 A £ ( y z) e?y 4xy(?zXZ3.亥姆霍茲定理指出，若唯一地確定一個矢量場（場量為A），則必須同時給定該場矢量的旋度 A 及散度 A4.寫出線性和各項(xiàng)同性介質(zhì)中場量所滿足的方程（結(jié)構(gòu)方D E, B H , J E程)：。cj dSS5.電流連續(xù)性方程的微分和積分形式分別為6.設(shè)理想導(dǎo)體的表面 A的電場強(qiáng)度為E、磁場強(qiáng)度為 B，則(a)E、B皆與A垂直。E與

2、A垂直，B與A平行。（C）E與A平行，B與A垂直。(d)E、B皆與A平行。答案：B兩種不同的理想介質(zhì)的交界面上，(A)E1E, H1H2(B)E1nE2n , H 1nH2n(C)E1tE2t，H 1tH2t(D)E1tE2t , H1nH2n答案：C7.8.設(shè)自由真空區(qū)域電場強(qiáng)度Eey E0 sin(3t p Z (V/m)，其中 E0、p為常數(shù)。則(a) Oy Eo cos( wt p Z(b)gy wEo cos( wtp)(c) e w oEocos( wt p )(d)ey pEcos(wtp)9.已知無限大空間的相對介電常數(shù)為r4 ,電場強(qiáng)度E exo cos-空間位移電流密度 J

3、d （A/m2）為:答案：Cd處電荷體密度為：o、d為常數(shù)。則xx刃（V/m），其中(a)4( b)d( c)d(d)答案：d10.已知半徑為R0球面外為真空，電場強(qiáng)度分布為2一 (? cos ? sin )ERoB(c? 2 cos e sin ) r(r(rRo)求（1）常數(shù)B ；（2）球面上的面電荷密度;（3 ）球面外的體電荷密度。Sol. (1)球面上由邊界條件E1tE2t 得:2 . sin RoBRosinB2Ro(2)由邊界條件D1nD2ns得：so( E1nE2n)o (E1rE2r)6 ocos Ro(3)由D得:E1 (r2Er)1(E sin )ooo 2o .orrrs

4、in即空間電荷只分布在球面上。(r Ro)(r Ro)11.已知半徑為 Ro、磁導(dǎo)率為 的球體,其外磁場強(qiáng)度分布為? sin ) (r2(? cosH A(er2cose sin ) (rrRo)Ro)且球外為真空。求（1）常數(shù)A ；（2）球面上的面電流密度Js大小Sol.球面上(r=Ro)： Hr為法向分量；H為法向分量(1)球面上由邊界條件BinB2n 得：Hir oH 2rA R；0(2)球面上由邊界條件HitH2t Js 得Js (Hi H2 )|r Ro(2 一)sin0第3章 靜電場及其邊值問題的解法靜電場中電位與電場強(qiáng)度e的關(guān)系為 E1.分別為6,和）的分界面上，電位滿足的邊界條

5、件為;在兩種不同的電介質(zhì)（介電常數(shù). 1 21 2 ， 1 2nn 。2.設(shè)無限大真空區(qū)域自由電荷體密度為P ,則靜電場:3.4.5.6.7.8.Sol.電位和電場強(qiáng)度E滿足的泊松方程分別為介電常數(shù)為的線性、各向同性的媒質(zhì)中的靜電場儲能密度為Wm 1 E2對于兩種不同電介質(zhì)的分界面，電場強(qiáng)度的 切向 分量及電位移的 法向 分量總是連續(xù)的。如圖，Ei、E2分別為兩種電介質(zhì)靜電場在界面上的電場強(qiáng)度,30°，則60,|Ei|/|E2|Ei理想導(dǎo)體與電介質(zhì)的界面上,關(guān)系為匕2 I"表面自由電荷面密度s與電位沿其法向的方向?qū)?shù)的n如圖，兩塊位于X = 0和X = d處無限大導(dǎo)體平板的

6、電位分別為0、U0,其部充滿體密exd ）的電荷（設(shè)部介電常數(shù)為 ）。（1）利用直接積分法計(jì)算的電位 及電場強(qiáng)度E ； （2）x = 0處導(dǎo)體平板的表面電荷密度。為一維邊值問題:（X）0 <x <d區(qū)域U0x2d2 dx(10d)邊界條件:(X0)(Xd) U。(1)直接積分得:(x) (e0x2d)00d(1)x9.Sol.10.Sol.E(x)exdxex00 z x(eX)U0d(2)由ns 得:0E(x)x1 d2d如圖所示橫截面為矩形的無限長直導(dǎo)體槽,填空氣。已知側(cè)壁和底面的電位為零，而頂蓋的電位為Vo。寫出導(dǎo)體槽電位所滿足的微分方程及其邊界條件，并利用直角坐標(biāo)系分離變量

7、法求出該導(dǎo)體槽的電位分布。(略)見教材第82頁例3.6.1如圖所示，在由無限大平面和突起的半球構(gòu)成的接地導(dǎo)體上方距離平面為 電荷q0。利用鏡像法求z軸上z > a各點(diǎn)的電位分布。d處有一個點(diǎn)空間電荷對導(dǎo)體表面上部空間場分布的影響等效于:無限大接地導(dǎo)體平面 +接地導(dǎo)體球邊界條件:平面球面0平面引入鏡像電荷：zd, qq。使球面Zi引入鏡像電荷:2a,q1d2a|z |z軸上z > a各點(diǎn)的電位:Z2adq02 a 孑q2q。|z d|qiq2q。4 01|z d|z Z12a32 .24z d aZ211.已知接地導(dǎo)體球半徑為 R0，在X軸上關(guān)于原點(diǎn)（球心）對稱放置等量異號電荷 +q

8、、-q，位置如圖所示。利用鏡像法求（1）鏡像電荷的位置及電量大小；（2 ）球外空間電位;(3) X 軸上x>2R0各點(diǎn)的電場強(qiáng)度。Sol. (1)引入兩個鏡像電荷:qixi2r0q2X2R022R0Ro14 0R J(x 2R0)2 y2 z2，(x,y,z)(略)RiJ(x R0/2)2 y2 z2R2 J(x R0/2)2 y2 z2，RX軸上x>2R0各點(diǎn)的電場強(qiáng)度：J(x 2R0)2E &血品q/2(X R0/2)2q(X 2R0)212.如圖所示，兩塊半無限大相互垂直的接地導(dǎo)體平面,在其平分線上放置一點(diǎn)電荷q,求（1）各鏡像電荷的位置及電量;兩塊導(dǎo)體間的電位分布。

9、Sol. ( 1)qiq2q3qo，(a, 0, 0) qo，(0, a, 0) qo，(a, 0,(2)(x,y,z)14 0(略)q。R0R1q2R2其中：R。Jx2(ya)22 zR1J(xa)22y2 zR2Jx2(ya)22 zR3J(xa)22y2 z0)q3R3第4章 恒定電場與恒定磁場1.線性和各項(xiàng)同性的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)部電荷體密度等于，凈余電荷只能分布在該導(dǎo)電媒質(zhì)的表面上。2.線性和各項(xiàng)同性的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中,3.在電導(dǎo)率不同的導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上，E1tE2t電場強(qiáng)度E和電流密度J的邊界條件為:J1n J2n4.在電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)中,l2 Pc E 功率損耗密度pc與電場強(qiáng)度大小

10、E的關(guān)系為O5.恒定磁場的矢量磁位 A與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的關(guān)系為_B2ajA ; A所滿足的泊松方程6.對線性和各項(xiàng)同性磁介質(zhì)（磁導(dǎo)率設(shè)為2 H度Wm,V空間磁能）,恒定磁場_ （磁場強(qiáng)度大小為 H ）的磁能密 v2Wm =7.已知恒定電流分布空間的矢量磁位為:2 2exx y ?yy x ?Cxyz, C 為常數(shù)，且 A滿足庫侖規(guī)。求（1）常數(shù)C ; （2）電流密度J ; （3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B O（直角坐標(biāo)系中:Sol. (1)庫侖規(guī):AxyAya ya*)Ezzaza y-)ezxax-)y2a2aA 2xy z2x ez 4xyz 得:22xyCxy 0y2a2a2 2y zex4xz ?y4

11、yz ez(y2 x2)exx2a2x-ex2y?y2X在平板電容器的兩個極板間填充兩種不同的導(dǎo)電媒質(zhì)（1,1和8. （P .136.習(xí)題 4.2）2）,其厚度分別為a和d2。若在兩極板上加上恒定的電壓u。試求板間的電位、電場強(qiáng)度E、電流密度J以及各分界面上的自由電荷密度。Sol.用靜電比擬法計(jì)算。用電介質(zhì)（）替代導(dǎo)電媒質(zhì)，靜電場場強(qiáng)分別設(shè)為Ei、E2E1 d1 E2d2D1 D2U01E12 E2EiexE2ex2U 02d1 1d 21U0(0xdi)2d11d2(d1x d2)電位移：D1D21E1ex12d 12U01 d2(x)靜電比擬:E(x)E1X2U01d2（0xdi)Eidi

12、E2(xdi)1x ( 2U02d1 1d2(d1(T則導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場:2U 0x2d11d 21X ( 21)d12d11d2U0did2d1(0di)(d1d2)exex2U22d11U02d11d 2（0di)1d 2(d1d2)1 2U 02d11d 212d12 ( x)2U 01d 21U01d222d 12n x d1d1(1 22 1 )U 01d22 d1可知：非理想電容器兩極上的電荷密度為非等量異號x d1 d2。只有理想電容器才有電容定義。9. 一橫截面為正方形的扇形均勻?qū)щ娒劫|(zhì)， 建立圓柱坐標(biāo)，若電位I _ U0 （常量）及42恒定電場的電場強(qiáng)度 e ；（2）該情

13、況下導(dǎo)電媒質(zhì)的直流電阻其、外半徑分別為00。求a、2a ,電導(dǎo)率為（1）導(dǎo)電媒質(zhì)上電位分布以及。如圖Sol.由邊界條件可知，導(dǎo)電媒質(zhì)上電位僅與坐標(biāo)有關(guān)，即(1) 21 d2"2Uo及2Uo0 a 2a(2)JJdSSSzz2Uo 1（第 9題圖）2aJ (a da2a2丄(ad )2 aU0ln2直流電阻：R -p02 aln210. 一橫截面為正方形的扇形均勻?qū)щ娒劫|(zhì)，其、外半徑分別為 圖建立圓柱坐標(biāo)，若電位及導(dǎo)電媒質(zhì)上恒定電場的電場強(qiáng)度Uo （常量）及ESol.由邊界條件可知，導(dǎo)電媒質(zhì)上電位d-d2aa、2a ,電導(dǎo)率為。如0。求（1）導(dǎo)電媒質(zhì)上電位分布以（2）該情況下導(dǎo)電媒質(zhì)的

14、直流電阻僅與坐標(biāo)有關(guān)，即4EJre00 2JrEL3C00 2o- 2cI0 a 2a（第 10題圖）直流電阻：R ¥2ln 2220第5章電磁波的輻射1.復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程中兩個旋度方程為2.坡印亭矢量S的瞬時表示式是，平均值是3.自由空間中時變電磁場的電場滿足的波動方程為2# k2E 0。2E0,這個方程在正弦電磁場的情況下變?yōu)?.在無損耗的均勻媒質(zhì)2H中，正弦電磁場的磁場滿足的亥姆霍茲方程為5.6.7.8.9.(A)(C)k2Hk2k2(B) k2(D) k212在時變電磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度電場強(qiáng)度E與位的關(guān)系為已知某一理想介質(zhì)流復(fù)矢量為Jd IjB與位的關(guān)系為0>中)

15、時諧電磁場的角頻率為，位移電0cos 型ej(A) 1 蟲COS-ne jj a(C) dx 屯sin-nye jj aa、Jo皆為常數(shù)。則電場強(qiáng)度復(fù)矢量電偶極子天線的功率分布與(a) sin2(c) cos2自由空間的原點(diǎn)處的場源在函數(shù)和A。r(a) t -；c在球坐標(biāo)系中,.2/ 、 sin(a)(B)(D)4 J0 njexcos 亠 ej40 aI扌 J0. n jexsin *j4 0答案：B的關(guān)系為(b) sin(d) cost時刻發(fā)生變化，此變化將在時刻影響到r處的位(c)c電偶極子的輻射場(遠(yuǎn)區(qū)場)sin(b)r(d)任意(c)的空間分布與坐標(biāo)的關(guān)系是sinsin2(d)r10

16、. 一均勻平面波垂直入射至導(dǎo)電媒質(zhì)中并在其中傳播，則(A)不再是均勻平面波。(B)空間各點(diǎn)電磁場振幅不變(C)電場和磁場不同相。(D)傳播特性與波的頻率無關(guān)。答案：C11.下列電場強(qiáng)度所對應(yīng)的電磁波為線極化方式的是10 e j z ey10j eIey10 e jA cz/( z/(10 e j z(B)E £10 e j z(D)E e<10 e j z由e j z ey10 e j z 答案：C12、已知真空中某時諧電場瞬時值為E(x, z,t) yS in (10x)cos( t kzz)。試求電場和磁場復(fù)矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。解：所給瞬時值表示式寫成下列形

17、式E(x,z,t) Re(?ysin(10 x)e jkzzej t因此電場強(qiáng)度的復(fù)矢量表示為(x,z) eysin(10 x)e 陀由麥克斯韋方程組的第二個方程的復(fù)數(shù)形式可以計(jì)算磁場強(qiáng)度的復(fù)矢量為H(x,z)亠j 0EyxEx e EyEyzEz10一 sin(10 x) ez 0j-cos(10 x) e 心0功率流密度矢量的平均值Sav等于復(fù)坡印廷矢量的實(shí)部，即Sav Re(S) 1Re(E H*) 1Reex?yezExEyEzHyHz1Re(EyHz ezEyHx)Jin2(10 x)01 5 kez-Re ex sin(20 x)2 j 0ez kz sin2(10 x)2 013

18、、已知真空中時變場的矢量磁位為求：（1）電場強(qiáng)度E和磁場強(qiáng)度解：（1）把矢量磁位的瞬時值表示為則矢量磁位的復(fù)數(shù)形式為根據(jù)磁場強(qiáng)度復(fù)數(shù)形式H與矢量磁位復(fù)數(shù)形式A(z,t)xA0 cos( t kz)H ； (2)坡印廷矢量及其平均值。A( z,t)Re(?xA0e jkzej tA（Z）之間關(guān)系可以求出exeyez花）亠0A)丄0xAx Ayey人ey( jkAo)e jkz磁場強(qiáng)度的瞬時值為根據(jù)麥克斯韋方程組的第一個方程H(z,t) ?y(kAo )cos( tT H J j Dkz2)，此時J0，電場強(qiáng)度與磁場強(qiáng)度之間關(guān)系為E(z)丄(“ H)ex ey ez電場強(qiáng)度的瞬時值為（2）坡印廷矢

19、量為x y zHxHy HzDxE(z,t) Re E ej texcos(t kz )2S E Hext kz -)ez山Lcos2( t kz -)2坡印廷矢量的平均值為ISav1Re(E H*) ez蟲2 2第6章、均勻平面波的傳播1.2.兩個同頻率、同方向傳播，極化方向相互垂直的線極化波的合成波為圓極化波，的振幅 相同，相位相差/ 2 O均勻平面波垂直入射到理想導(dǎo)體表面上，反射波電場與入射波電場的振幅相等相位相差則它們3.4.均勻平面波從空氣垂直入射到無損耗媒質(zhì)射系數(shù)為1/ 5在自由空間傳播的均勻平面波的電場強(qiáng)度為5.6.7.8.9.r 2.25, r 1,0表面上，則電場反eX100

20、cos20 z V / m，則波的傳播方向?yàn)?Z，頻率為3 X109 Hz ，波長為H0.1m弓100 c “ e cos t 20 z A/my377，平均坡印，波的極化方式為X方向的線極化波L ,對應(yīng)的磁場為 一4 J 5000Sav ez 市yW/m2亭矢量Sav為377均勻平面波電場方向的單位矢量eE、磁場方向的單位矢量 eH以及傳播方向的單位矢量i i eaven三者滿足的關(guān)系是損耗媒質(zhì)的本征阻抗為n De Dh，表明損耗媒質(zhì)中電場與磁場在空間同一位置存在著 相位差，損耗媒質(zhì)中不同頻率的波其相速度不同，因此損耗媒質(zhì)又稱為 色散 媒質(zhì)。設(shè)海水的衰減常數(shù)為，則電磁波在海水中的穿透深度為1

21、幅將變?yōu)檫M(jìn)入海水前的 _eO在良導(dǎo)體中，均勻平面波的穿透深度為在無源的真空中，已知均勻平面波的,在此深度上電場的振(d) JE Eoe j z和 HHoej z，其中的Eo和Ho為2常矢量，則必有 ezE。0;(b) ezH。0;(c) E。H00; (d) E0 H0010.以下關(guān)于導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播的電磁波的敘述中，正確的是不再是平面波(b)電場和磁場不同相(c)振幅不變(d)以TE波的形式傳播108t 2 z) V/m11、已知空氣中存在電磁波的電場強(qiáng)度為EeyE0COS(6試問：此波是否為均勻平面波？傳播方向是什么？求此波的頻率、波長、相速以及對應(yīng)的磁場強(qiáng)度H O相位和方向均相解：均勻平面

22、波是指在與電磁波傳播方向相垂直的無限大平面上場強(qiáng)幅度、 同的電磁波。電場強(qiáng)度瞬時式可以寫成復(fù)矢量E=eyE0ejkz該式的電場幅度為E0，相位和方向均不變，且 E tz 0 E gz，此波為均勻平面波。傳播方向?yàn)檠刂鴝方向。由時間相位 t 6波的頻率f108t61083 108 Hz波數(shù)k波長相速Vp由于是均勻平面波,22_V 空3 dt k因此磁場為10 m/sZWZW12、在無界理想介質(zhì)中，均勻平面波的電場強(qiáng)度為exEoSi n(2810t2 z)，已知介質(zhì)的r 1，求r，并寫出H的表達(dá)式。2108, k解：根據(jù)電場的瞬時表達(dá)式可以得到，而電場強(qiáng)度的瞬時式可以寫成復(fù)矢量為exE0e j2

23、z j2波阻抗為Zw匚40，則磁場強(qiáng)度復(fù)矢量為H邛E)僖ej2因此磁場為H ey 知n(2 108t 2Z)13、銅的電導(dǎo)率 5.8長、透入深度及其波阻抗。107 S/m， r r 1。求下列各頻率電磁波在銅傳播的相速、波(1)解：已知f 1MHz ； (2) f 100 MHz ； (3) f 10GHz 亠 10 9 F/m 和 0410 7 H/m，那么36-1 1.044 10180 f(1)當(dāng)1 MHz 時,1.044 10121 ,則銅看作良導(dǎo)體,衰減常數(shù)和相位常數(shù)當(dāng)f 10 GHz時,別為相速：V P 4.152 100.4152 m/s波長：透入深度：24.15210 4 m1

24、0 5 m丄6.6波阻抗：ZW(1j)2.6110 7(1j)Jf2.6110 4(1j)100 MHz時,1.04410101，則銅仍可以看作為良導(dǎo)體，衰減常數(shù)分別為卜215.132/?15.132:104相速：V P4.152104打4.152 m/s波長：24.152105m透入深度：丄6.6106m波阻抗：ZW(1j)2.6110 7(1j)jf2.6110 3(1j)15.132jf 15.1321032當(dāng)相位常數(shù)1.044 1081，則銅看作良導(dǎo)體，衰減常數(shù) 和相位常數(shù)f別為J15.132/T 15.132 105相速：Vp 4.152104尸41.52 m/s2波長：4.1521

25、06m透入深度：1-6.6107m波阻抗：ZwJo(1j)2.6110 7(1 j)jT 2.61 10 2(1 j)4S/m，衰減常數(shù)和波阻抗。r 81，14、海水的電導(dǎo)率r 1，求頻率為 10 kHz、10 MHz 和 10 GHz 時電磁波的波長、1036解：已知10 9 F/m 和10 7 H/m，那么109。(1)當(dāng) f10 kHz 時,18T 9109 81051，則海水可看作良導(dǎo)體， 衰減常數(shù) 和相位常數(shù)分別為3.97100.397相速：v p1.582 103jT 1.582105波長:15.83 m透入深度:12.52 m波阻抗:ZWj) 0.31610 3(1j)(T 0.099(1 j)當(dāng)f 10 MHz時,10288.891，則海水也可近似看作良導(dǎo)體， 衰減常數(shù)和相位常數(shù)分別為3.97 10 T 12.55 2相速：Vp