靜電場中的導(dǎo)體與電介質(zhì)

1、第二章 靜電場中的導(dǎo)體與電介質(zhì)10多個數(shù)量2.1導(dǎo)體與電介質(zhì)的區(qū)別：（1）宏觀上，它們的電導(dǎo)率數(shù)量級相差很大（相差 級，而不同導(dǎo)體間電導(dǎo)率數(shù)量級最多就相差幾個數(shù)量級）。（2 ）微觀上導(dǎo)體內(nèi)部存在大量的自由電子，在外電場下會發(fā)生定向移動，產(chǎn)生宏觀上的電流而電介質(zhì)內(nèi)部的電子處于束縛狀態(tài)，在外場下不會發(fā)生定向移動（電介質(zhì)被擊穿除外）2.2靜電場中的導(dǎo)體1. 導(dǎo)體對電場的響應(yīng)：靜電場中的導(dǎo)體，其內(nèi)部的自由電子會發(fā)生定向漂移，電荷分布會 發(fā)生變化，這是導(dǎo)體對電場的響應(yīng)方式稱為 靜電感應(yīng)，導(dǎo)體表面會產(chǎn)生感應(yīng)電荷，感應(yīng)電荷 激發(fā)的附加場會在導(dǎo)體 內(nèi)部削弱外電場直至 導(dǎo)體內(nèi)部不再有自由電子定向移動，導(dǎo)體內(nèi)電荷

2、宏觀分布不再隨時(shí)間變化，這時(shí)導(dǎo)體處于 靜電平衡狀態(tài)。2.導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)的必要條件：Ej - 0 （當(dāng)導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部不再有自由電子定向移動，導(dǎo)體內(nèi)電荷宏觀分布不再隨時(shí)間變化，自然其內(nèi)部電場（指 外場與感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場相疊加的總電場）必為0。3.靜電平衡下導(dǎo)體的電學(xué)性質(zhì)：（1）導(dǎo)體內(nèi)部沒有凈電荷，電荷（包括感應(yīng)電荷和導(dǎo)體本身帶的電荷）只分布在導(dǎo)體表面。這個可以由高斯定理推得：匚£ dS，s是導(dǎo)S ；0體內(nèi)“緊貼”表面的高斯面，所以q =0。（2）導(dǎo)體是等勢體，導(dǎo)體表面是等勢面。顯然V -Vb Ei dl 0，a,b為導(dǎo)體內(nèi)或a b （a） i導(dǎo)體表面的任意兩點(diǎn)，

3、只需將積分路徑取在導(dǎo)體內(nèi)部即可。45（3）導(dǎo)體表面以處附近空間的場強(qiáng)為:E ?， .-為鄰近場點(diǎn)的導(dǎo)體表面面元處的；0電荷密度，?為該面元的處法向。簡單的證明下：以導(dǎo)體表面面元為中截面作一穿過導(dǎo) 體的高斯柱面，柱面的處底面過場點(diǎn)，下底面處于導(dǎo)體內(nèi)部。由高斯定理可得：'ds! E ds亠i lEj ds，Sj,s2分別為高斯柱面的上、下底面。因?yàn)閷?dǎo)體表面為等勢s1s2"0呻H面所以E二E?，所以.ESidsds 二 Eds 而 Ei =0 所以 Eds 二，即 E =r? G 0 E先沿導(dǎo)體表面面兀處法線方向，：0E沿導(dǎo)體表面面兀處法線指向?qū)w內(nèi)部）。（4）導(dǎo)體表面的靜電壓強(qiáng):

4、證明：任取導(dǎo)體表面的一個電荷元、；dS，設(shè)除去該電荷元外其它場源（包括外場源、導(dǎo)體表面的其它電荷元） 在該電荷元處產(chǎn)生的電場為E ；由高斯定理可算出電荷元ds在導(dǎo)體表面外鄰近點(diǎn)的電場強(qiáng)度E?。而E： E” = r?，所以Er?,電荷2元J.dS受到的靜電力d匸Edq四？，所以pdF?。2z0ds 2z0n導(dǎo)體所受靜電力由p ds給出（s是導(dǎo)體表面）。S2.3靜電平衡下的空腔導(dǎo)體1空腔內(nèi)沒有帶電體：（1）導(dǎo)體內(nèi)表面處處沒有電荷，電荷只分布在導(dǎo)體的外表面。4在導(dǎo)體內(nèi)作包含內(nèi)表面的高斯面S,由于巳=0,所以S內(nèi)包含的凈電荷為 0.這包含兩種情況：（I）導(dǎo)體內(nèi)表面處處沒有電荷。 （n）導(dǎo)體內(nèi)表面存在等

5、量異號電荷。這種情況下將有電場線從導(dǎo)體內(nèi)表面一處指向?qū)w內(nèi)表面另一處，既導(dǎo)體內(nèi)表面電勢不等，這不符合導(dǎo) 體處于靜電平衡狀態(tài)下是等勢體這一性質(zhì)，所以只能有結(jié)果（I）。（2）空腔內(nèi)場強(qiáng)處處為 0,空腔成為等勢區(qū)，與導(dǎo)體電勢相等。假設(shè)腔內(nèi)有電場線，由（1）可知電場線不能貫穿于導(dǎo)體內(nèi)表面之間，又由于腔內(nèi)無電荷所以電場線不能以腔內(nèi)某點(diǎn)為終點(diǎn)或起點(diǎn)，這樣電場線只能在腔內(nèi)形成閉合曲線這與靜電場 線的性質(zhì)不符合，所以腔內(nèi)必?zé)o電場，自然空腔成為等勢區(qū)，與導(dǎo)體電勢相等。由上分析我可知：導(dǎo)體的外表面所包圍區(qū)域場強(qiáng)始終為0，不受外電場的影響。像這種導(dǎo)體的外表面“保護(hù)”它所包圍區(qū)域不受外電場的影響的現(xiàn)象稱為靜電屏蔽。2

6、. 空腔內(nèi)有帶電體：（1） 導(dǎo)體的內(nèi)表面的帶電量與腔內(nèi)電荷等量異號。結(jié)合導(dǎo)體內(nèi)場強(qiáng)為 0與高斯定理就可得 至V。（2） 將內(nèi)表面接地則腔內(nèi)電場不會影響導(dǎo)體的內(nèi)表面以外區(qū)域。這個根據(jù)電荷守恒與高斯 定理得到。2.3靜電場中的電介質(zhì)上面介紹了導(dǎo)體響應(yīng)外電場的方式（靜電感應(yīng)），電介質(zhì)響應(yīng)外電場的方式則為極化。構(gòu)成電介質(zhì)的分子分為兩種：（1）無極分子，電荷中心重合（2 ）有極分子，電荷中心不重1. 無極分子的 位移極化：無極分子在外電場中，受到靜電力的作用，電荷中心不再重合形成電偶極子，這些電偶極子取向與外電場一致。2. 有極分子的 取向極化：在無外電場情況下，有極分子的電偶極距沿各個方向的概率相 同

7、。在外電場作用下分子的電偶極距取向?qū)l(fā)生變化，當(dāng)外電場的作用和熱運(yùn)動的作 用達(dá)到平衡時(shí)，絕大多數(shù)分子的電偶極矩不同程度和外電場一致。由上可以看出電介質(zhì)中取向與外電場一致的分子的電偶極距數(shù)目可以反應(yīng)電介質(zhì)的極化 程度。單位體積內(nèi)向與外電場一致的分子偶子距數(shù)量越多則電介質(zhì)極化程度就越高。由此 定義：p3. 極化強(qiáng)度矢量：P（ p是dV內(nèi)取向與外電場一致的分子電偶極距，dV是介dV質(zhì)里包含某點(diǎn)的無限小體積元。則P就為該點(diǎn)極化強(qiáng)度）4. 極化電荷：介質(zhì)中，取向與外電場一致的分子電偶極子穿出面s的電荷總和就是面 S上的極化電荷。5. 極化強(qiáng)度與極化電荷分布的關(guān)系：設(shè)介質(zhì)里的任一面元 ds，設(shè)分子的電偶極

8、距 p = ql ,以dS為底，為斜高作一圓柱體，圓柱體體積記為dV，設(shè)dV內(nèi)取向與外電場一致的分子電偶矩?cái)?shù)量為N ,顯然在圓柱體內(nèi)的分子電偶矩都穿出面元dS又Nql dsP dsNq，所以Nq就是穿過面元ds的極化電量dq 。在介質(zhì)里任取一dV閉合曲面S,則穿出S的極化電量q°=Pds,由電荷守恒（原來電介質(zhì)是呈電中性）s可知面內(nèi)有等值異號的極化電荷q P ds。s一 、 扌、6. 各項(xiàng)同性電介質(zhì)的極化規(guī)律：電場不太強(qiáng)時(shí)，該電介質(zhì)中的任意點(diǎn)的極化強(qiáng)度P的方向與該電場強(qiáng)度E （包括外電場與極化電荷產(chǎn)生的附加場）的方向一致，大小與該點(diǎn)444的電場強(qiáng)度E成正比，即P = ；0E其中 為該

9、點(diǎn)的極化率。若電介質(zhì)又是均勻的則為常數(shù)。2.4有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理實(shí)驗(yàn)表明組成物質(zhì)的原子中原子核與核外電子的靜電作用也遵循庫侖定律。因此有電介質(zhì) 時(shí)的靜電場，可把電介質(zhì)看成彌散在真空中的粒子（電介質(zhì)分子）團(tuán)。這樣高斯定理還成 立只是要考慮到高斯面內(nèi)的極化電荷：E燈2 =，其中q是面S內(nèi)的自由電荷,s0q 是面S內(nèi)的極化電荷，而q P dS，所以（ ；°E P）dS二q，令D二；0E P ,ssD叫作電位移矢量，則有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理就可以寫成：DdS二q 。由于真空中S的極化強(qiáng)度P=o，可看出真空中的高斯定理就是有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理的特例。坤 T 4444電介質(zhì)的性能方程：對于各向同

10、性的電介質(zhì)， P = ；0E。所以D = ；0E P = （ ）；0E，令；r =1 ，稱作電介質(zhì)的相對電容率，令；-；r ；0，稱為電介質(zhì)的絕對電容率。貝UD - ；0；rE - ；E，稱為電介質(zhì)的性能方程。（一個重要結(jié)論）各向同性的均勻介質(zhì)中內(nèi)部的極化電荷體密度l總等于自由電荷休密度1訂的-（1）倍爲(wèi)證明：JP =（D - ；0E） -（D -一 E）=-（1-丄戶 D 二（1-丄）4可看出當(dāng)各向同性的均勻介質(zhì)內(nèi)沒有自由電荷時(shí)，電介質(zhì)內(nèi)部不會出現(xiàn)極化電荷，此時(shí)極 化電荷只分布在不同介質(zhì)的分界面上。2.5靜電場的邊值關(guān)系I設(shè)兩電介質(zhì)電容率分別為M、；2 ； S是兩電介質(zhì)的交界面，在 S上取一

11、面元ds （ ?是IIdS的法向由介質(zhì)2指向介質(zhì)1）,其中ds為無窮小量。以dS為主截面作一圓柱面，圓柱面的高為高階無窮小量，則側(cè)面的電位移通量是可略去的。由有介質(zhì)時(shí)的高斯定理得：D d； =q0，而D &叫D di D匾 2印，其中, ds為圓柱面兩底面，did% , ss4 -I*彳4»峙4彳才ds - -ds2。所以D1 -dq D2 ds2二U ds - D2 ds=q0。設(shè)交界面的自由電荷面密度為-9，則（U -D2） n?=D1n -D2n二。這樣如果交界面上自由電荷面密度 、：0 = 0，則說 明電位移矢量D在交界面處法向不連續(xù)，若交界面上自由電荷面密度、：0

12、=0，則D在交界面處法向連續(xù)。對于電場E我可以用類似的方法分析，但 由于交界面存在極化電荷，所卄H 、以無論交界面上是否有自由電荷，E在交界面處法向都不連續(xù)。有電質(zhì)下靜電場的環(huán)路定理：E d - 0仍是成立的，在S上任取一線元dl （ ?為其L單位方向矢量），以dl （無窮小）所在直線為對稱軸作一以dl為長的矩形回路，回路穿過在沿回路的寬上的路徑各分可視為0即面S,矩形回路的寬取為高階無窮小，這樣電場E d?二 E1dl1 E2dl：，其中 d? =dl： = -dl2，所以（E - E2） dl 二 0。設(shè)矩形回路所在平面的法向?yàn)閚0，面S上線元dl處的法向?yàn)閞?o由幾何關(guān)系可得dl二k?

13、?0，其中k = 0為常數(shù)。所以（巳-E2） dl （巳-E2） k? %二燈（巳-E2） n =0，而由憶是由我們所取的矩形回路取向有關(guān),面處電場切向是連續(xù)的。n0是任意的。所以（巳E2）斤=巳七 一 E2t =0,即在交界2.7電容器的電容1. 孤立導(dǎo)體的電容： 孤立導(dǎo)體在它自己激發(fā)的電場中具有一定的電勢，導(dǎo)體的電勢與它的帶電量成正比。定義：電容c二點(diǎn)；表示每變化單位電勢，導(dǎo)體帶電量變化了多少。電容 是一個與電量 q無關(guān)而僅與導(dǎo)體幾何參數(shù)有關(guān)的常量。電容的單位是F , 1F=1C/V ,1F -10lF -1012pF o2電容器與其電容：電勢差與電量成正比且不受其它導(dǎo)體影響的兩個導(dǎo)體組成

14、的系統(tǒng)稱為 電容器，記cq。VaVb3幾個常見的電容器及其電容（1）平行板電容器：設(shè)兩極板面積為 S,極板間距為do d I： S , q、-q分別是兩極板 A、 B上的帶電量，設(shè)這兩極板的電荷面密度為分別為 ：，-：。兩極板間填充著電容率為 ；的 電介質(zhì)，我們計(jì)算下它的電容。由定義我們知道c q，由此我們要先Va Vbf E dl-A來分析極板間的電場分布。我們以A極板上的一面元 ds為中截面作一高斯柱面，柱面的上底面處于極板內(nèi)，下底面處于極板間的電介質(zhì)中，由于極板處于靜電平衡狀態(tài)所以極板 內(nèi)的電位移矢量為0，而電介質(zhì)內(nèi)電位移矢量在高斯柱面的側(cè)面是沒有電通量的，所以*D dS二D d；八ds

15、 , d：為下底面的面元矢量，方向由A指向B （要注意到D與d：S是同向的）所以D = 6，由電介質(zhì)的性能方程 D = eE , E = ? ,為A極板法向由Azq6s &S指向B。所以C -尹f E dl Ed dA(2)圓柱形電容器電容：2兀丨Ra(3)球形電容器電容： C = 4 RARB rb - ra計(jì)算的思路是相同的，這里就直接給出計(jì)算結(jié)果。4電容的聯(lián)結(jié)(1)電容的并聯(lián)設(shè)n個電容并聯(lián)起來，其電容與極板電量分別為G、q ,加在電容的兩端電壓為 Uj =U(i=1,2n)?，F(xiàn)計(jì)算其等效電容 C。因?yàn)楦麟娙莶⒙?lián)所以等效電容兩端的電壓為U，此時(shí)nnqin等效電容的帶電量為 v qi

16、，所以C二亠CiyU y(2) 電容的串聯(lián)現(xiàn)將這n個電容串聯(lián)起來，等效電容的兩端電壓為n=7 U j ,而由電荷守恒可知各電容i日帶電量相同，相鄰兩電容的相鄰兩極板帶等量異號電荷,即等效電容的帶電量為q。所以ni呂Cj' Ui i呂q5.電容器儲能電容器的極板一旦帶電，它就儲存了能量，設(shè)電容器的電容為C,充電完畢完極板帶電量為Q,極板兩端電壓為 U,電容器所儲存的電勢能是來源于充電過程電源克服極板上的電 荷產(chǎn)生的電場把自由電荷從電容器的一個極板遷移到另一個極板，設(shè)充電某一瞬時(shí)，極板上的電量為q，此時(shí)兩極板間的電勢差為，電源把電量為一dq的電子從正極板搬運(yùn)至負(fù)C極板，電源作的元功dA =

17、-，電容器儲存的電勢能增加了dW qdq，從充電開始C至充電結(jié)束電容器儲存的電勢能W二2Q qQdq 二0 C2Cfeu27. 電場能量密度電磁理論和實(shí)驗(yàn)證明：電能不是分布在電荷上，而分布在電場中。電容器中所儲存的電勢能實(shí)際就是極板上電荷在兩極板之間所激發(fā)的電場具有的能量。以平行板電容器為例推導(dǎo)電場中的能量密度公式，設(shè)平行板兩極板面積為S,兩極板之間的距離為d，極板間的均勻電介質(zhì)的電容率為；，我們知道電容器所儲存的 電勢能1 21 gS 21 U 212W CUU（ ） SdE n是點(diǎn)電荷qj在q處產(chǎn)生的電勢。所以Wqiui （其中ui是除qi其它電荷在qi處 yV , V是兩極板之間的體積（

18、也是電場分d 2d布的空間區(qū)域的體積）；這些能量分布在有電場的空間區(qū)域，由上我們可將電勢能寫成1斗屮W 1斗屮W D EV，那么兩極板之間電場存在區(qū)域的電場能量密度 WeD E。這個2 V2式子稱為 電場能量密度公式。雖然公式是由平行板電容器這一特例推導(dǎo)出的，但這是一個 普遍成立的公式。若電場能量分布不均勻，則不為常數(shù)，空間體積V內(nèi)的電場能量14 >W： iiiWedV D EdVg J gg g gV2 V2.8帶電體的靜電能I1.點(diǎn)電荷之間的 相互作用能（W.）：設(shè)兩點(diǎn)電荷。我們知道q通過激發(fā)E1作用于q2（q2則通過激發(fā)E2作用于q），q2在E1中具有電勢能 W21，q1在E2中具

19、有電勢能 W2，并有W21=W；2。即q,q2組成的系統(tǒng)確定的電勢能w= W2=W21是q1,q2共有的，稱電勢能W是q,q2的相互作用能。2. 帶電體系的自能（Ws）:由點(diǎn)電荷qj組成的點(diǎn)電荷系，它們之間相互作用的相互作用能 之和稱為該系統(tǒng)的自能。（對于孤立的由若干個電荷連續(xù)分布的帶電體組成的系統(tǒng)可看 成點(diǎn)電荷系）。3. 靜電能（W）:對于孤立的帶電體它的自能就是它的靜電能。但對于（孤立的）由若干個電荷連續(xù)分布的帶電體組成的系統(tǒng)中的任一個帶電體，它不僅具有自能，還具有其它 帶電體對它的作用能，這兩部分能量之和是這個帶電體 的靜電能。但從整體看，系統(tǒng)的自能就是系統(tǒng)的靜電能。需要注意的是：帶電體

20、的靜電能并不等于帶電體的各部分在電場中具有的電勢能之和 W （點(diǎn)電荷系則 W'丄為qu，ui是qi處其它電荷產(chǎn)生的電勢i之和，對于連續(xù)帶電體則過渡到積分：W二udq，積分包含線、面、體形式），W與W存在著簡單倍數(shù)關(guān)系。4. 帶電體的靜電能的計(jì)算：1 n（1） 點(diǎn)電荷系 g |i =1,2,., n* :由靜電能 W的定義我們知 W二一' q? Uij ,其中Uj2 y 用1產(chǎn)生的電勢之和），即W= W o21（2）單一電荷連續(xù)分布的帶電體：W = udq，積分遍及整個帶電區(qū)域，其中u為電2荷元dq處的電勢，這個電勢是由整個帶電體產(chǎn)生的，dq處的電勢可以認(rèn)為不含有dq的貢獻(xiàn)（dq

21、產(chǎn)生的電勢du較其它電荷元產(chǎn)生的電勢來說是一個無窮小量）1（3）若干個電荷連續(xù)分布的帶電體組成的系統(tǒng)：W =- udq，這時(shí)積分遍及所有的帶2電體。值得考慮的一個問題：系統(tǒng)中任一帶電體（以下記為1）的靜電能怎么求？ 上面提到過，此時(shí)帶電體的靜電能包含兩方面，一個是它的自能Ws，別一個是其它帶電體對它的作用能We,i。W = Ws+We1WS=2.u1dq,其中u1是帶電體1在dq處產(chǎn)生的電勢，W。二.udq ，其中1o1是除外其它帶電體在dq處產(chǎn)生的電勢 W| = qdq u1 dq，兩項(xiàng)積分只遍及帶電體2'1顯然W, =W =寸.udq （這里的積分是遍及所有帶電體）。那么W的它的結(jié)構(gòu)是什么樣的呢?設(shè)該系統(tǒng)由n個電荷連續(xù)分布的帶電體組成,ui，ui分別為帶電體i、除去i的其它帶電體在i上電荷元dq處產(chǎn)生的電勢，u為某一電荷元dq處的總電勢。1 n 1 1 W udqudq，而-1 udq ( qdq ui dq)其中積分只遍及 2 2iii帶電體i。. ui dq二iUi