圓壓軸八大模型題-圓內(nèi)接等邊三角形

1、；°NAA2方2締hN4M圖（3）壓軸題八大模型題（四）瀘州市七中佳德學(xué)校 易建洪引言；與圓有關(guān)的證明與計(jì)算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數(shù)第二題 的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習(xí)題。一般都是在固定習(xí)題模型的基礎(chǔ)上變化 與括展，本文結(jié)合近年來各省市中考題，整理了這些習(xí)題的常見的結(jié)論，破題的要點(diǎn)，常用 技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺(tái)階性幫助考生解決問題。類型4圓內(nèi)接等邊三角形如圖，點(diǎn)P為等邊ABC外接圓劣弧8C上一點(diǎn)（1）求證J PA = PB + PC設(shè)BC交于點(diǎn)- 若ep=4, PC=2,求CM的長度.若AB=4, PC=2求CM的長度.【分析】（1）證明

2、：連結(jié)CD.在PA上截取PD=PC.證得 ACD絲BCP, AAD=PB,又 DP=PC,I丸此 PA=PB+PC. ©0中 ABMACPM, = = 13AB M4 2 AB MA設(shè) MC=x,則 AM=2x,MN=2-x,又 AN=2 7T,在RtAAMN中，由勾股立理得CM=x=2 + 2皿3«圖（2）過點(diǎn)C作CE丄AP于E,過點(diǎn)A作AN丄BC于點(diǎn)N由（1可得AP=BP+CP=4+2=6,RtPCE o斤中 PE=1XE=73 ,則 AE込AU277，因此 AB=AU2>/L由（2可得 CM=±t3【典例】（2018 -湖南常徳）如圖，已知00是等邊三

3、角形ABC的外接圓，點(diǎn)0在圓上，在CD的延 長線上有一點(diǎn)F,使"=», AE/BC交CF于E（1）求證J EA是00的切線:圖41(2) 求證J BD=CF【分析】（1）連結(jié)0A后,由ZOAC=30 BC/AE得ZCAE=ZBCA = 60 因此Z04£=90。證得 AE 是OO 的切線-(2) ZADF=ZABC= 60 且 DF=DA 得等邊 AM,且ABC也是等邊三角形，可得ADB絲"： 因此BD = CFO0是等邊三角形MC的外接圓,ZOAC=30 Z8CA=60°,【解答】證明：（1）連接06*：AE/BC. Z£4C=ZB

4、C4=60°, Za4f=Z0AC+ ZE4C=30°+60°=90°,（2）ABC 是等邊三角形，:.AB=AC, Z8AC=YA、B、C、0 四點(diǎn)共圓，ZADF=Z&BC=60。, *：ADDF. :.AADF 是等邊三角形，.ADAF. ZD4f=60% ZB&C+ ZCAD=ZDAF+ ZCAD.即 ZBAF= ZCAF.在bad和中，'AB=AC7- ZBAD=ZCAF bad經(jīng)C4GAD=AFIBD=CF【點(diǎn)撥】等邊三角形的邊等角等易構(gòu)造三角形全等和相似，圓上一點(diǎn)與圓內(nèi)接等邊三角形三頂點(diǎn) 的連線之間的關(guān)系探究，可以運(yùn)用

5、延長法與截短法：含60。角三角形，知兩邊求第三邊：借相交弦或平行線得三角形相似，作等邊三角形的高，借叱例線段和勾股泄理建方程求線段是 關(guān)鍵。【變式運(yùn)用】1.(2011 瀘州)如圖，點(diǎn)P為等邊A3C外接圓劣弧BC上一點(diǎn).(1)(2)求Z8PC的度數(shù)J 求證J ft4 = PB + PC：(3)設(shè), fiC交于點(diǎn)M,若AB=4. PC=2,求CM的長度.(1)T點(diǎn)P為等邊如C外接圓劣弧ec上點(diǎn)*.四邊形人8PC是惻的內(nèi)接四邊形/. Z BPC+ ZBAC= 180°, /. Z 8PC120° (2)證明；連結(jié)CO.在陽上截取PD PC, 'AB AC-BC ZAPB

6、ZAPC 60°.解：ABC為等邊三角形，ZMC=60。,AAPCD為等邊三和形，.'.ZPCD=Z4C8 = 60 CP CD.ZPCD - ZDCM=ZAC8 - ZOCM.即 ZACD=ZBCP, 在ACQ 和 ZiBCP 中，(AC = BC乙ACD = ZBCP, A A4CDA8CP>CP = CD:.AD PB- PAFD + DP. DP PC. :.PA PS + PC：(3)解：PCD和ABC都為等邊三角形,ZMQC=ZACM = 60°, CD-PC.又 TZ DMC=ZCMA.CQMsmcM, A8 = 4, PC 2,ACM： AM

7、DM： MC=DC: AC=PC： AC2: 41： 2.設(shè) DM=x.則 CM = 2x- SM = 4-2x, PM = 2 X.AM 4x. AD AM - DM 4x - x=3xZBMP=ZCMA. ZPBM=ZCAM.BPMsmCM.'.eP： AC=PMi CM.即 3x： 4=(2 ' X): 2x.解得K=-l±7n (舍去負(fù)號(hào))，3則G 土血，5=2 + 2皿32如圖，已知AQ是A8C外角ZE4C的平分線，交BC的延長線于點(diǎn)6 延長04交A8C 的外接圓于點(diǎn)F，連結(jié)F& FC.D(1) 求證J FB=FC；(2) FB = FA FD；(3

8、) 若朋是ABC的外接圓的直徑，ZEAC= 120% BC=6cm,求 AD 的長.證明J (1) *：AD平分Z£AGA ZEAD=ZZWC四邊形AFBC內(nèi)接于圓，Z£MC=ZFBC圖437 ZEAD= ZFA8= ZFCB.A ZFBC=ZFCB.F8=FG(2) T ZFAB =ZFCB=ZFBC、ZAFB=Z8FD 人FB FAFBAsfDB. =FD FBF82 = MAX(3) 解:VAB是圓的直徑. ZACBZ £4C=120A ZDAC= - Z£4C=60°2四邊形ACBF內(nèi)接于E3h ZDAC=ZFBC=60°.又

9、 FB=FCBFC 是等邊三角形，:.ZBAC=ZBFC=60 A ZD=30V8C=6> :.AC=2羽.AO=24C=4 0 3. (2016 -德陽)如圖，點(diǎn)D是等邊三角形人BC外接圓上一點(diǎn).M是5D上一點(diǎn)，且滿足DM = DC,點(diǎn)f是AC jBD的交點(diǎn).(1)求證：CM線段00的長及BCE的面枳解:(1) V &BC是正三角形,=ZADB=Z BQC=60°,又VDM=DC COM是等邊三角形 即 DM=CM=CD.A ZDMC=60 .- ZAD8=ZDMC=60%:.CM/ADi(2) *： ZDACZDBC. Z8MC= ZADC=120 而 AC=BG A &DC9 8MC. /.BM=AD=1. BD=BM+MD=1 + 2 = 3 由(1)可得， AD£s CM已而 AD=1, CM=2, AD _ AE _ DE _ 1" ME"2又"MD2. aDF=|- M£=扌4f 11壓= 且點(diǎn)f在線段&C上，AE=§AC, ZBAC=ZBDC=60°, ZABDZACD.2.DC EC . 2 訐 C人BEs DCE,計(jì)茨 喬=丄21 +