二維正態(tài)分布

1、第14講 二維正態(tài)分布 中心極限定理教學(xué)目的：了解二維正態(tài)分布，理解獨(dú)立同分布的中心極限定理和棣莫佛拉普拉斯定理。教學(xué)重點(diǎn)：獨(dú)立同分布的中心極限定理。教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用獨(dú)立同分布的中心極限定理解決實(shí)際問題。教學(xué)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)教學(xué)過程:第四章 正態(tài)分布§4.4 二維正態(tài)分布定義 若二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 （ ）則稱服從二維正態(tài)分布，記作 。其中，都是分布的參數(shù)。滿足概率密度的兩條基本性質(zhì)：（1）。（2）。下面我們來討論二維正態(tài)分布的邊緣分布問題。隨機(jī)變量的邊緣概率密度為其中設(shè)，則有由與的對(duì)稱性可求得的邊緣密度為由此可見，二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是正態(tài)分布，并且可以知道下面我們可

2、以看到參數(shù)為隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)。 （定積分計(jì)算略）注 由第三章的內(nèi)容可知，若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則相關(guān)系數(shù)；但是，當(dāng)時(shí)，與卻不一定相互獨(dú)立。然而，在正態(tài)分布的情形下，當(dāng)相關(guān)系數(shù)時(shí)，二維正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度可化為 .所以，若隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，則隨機(jī)變量與相互獨(dú)立的充要條件是。例1 若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度。解 由于與都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，概率密度分別為，又隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，聯(lián)合概率密度為由此得隨機(jī)變量的分布函數(shù) 當(dāng)時(shí)，顯然有；當(dāng)時(shí)，有 所以的分布函數(shù)為由此得的概率密度為 注 若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則隨機(jī)變量函數(shù)的分布稱為自由

3、度為2的分布。§4.5 中心極限定理中心極限定理是研究在適當(dāng)?shù)臈l件下獨(dú)立隨機(jī)變量的部分和的分布收斂于正態(tài)分布的問題。定理1 （林德伯格（Lindeberg）列維（Levy）中心極限定理）設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量服從同一分布，且 ，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有定理的證明略，僅對(duì)定理的含義作一些說明。設(shè)，則有 又設(shè)隨機(jī)變量，則的分布函數(shù)趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。結(jié)論 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量服從同一分布，已知均值為，方差為，但分布函數(shù)未知。當(dāng)充分大時(shí)，隨機(jī)變量的和將近似地服從正態(tài)分布。 推論 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量服從同一分布，已知均值為，方差為，但分布函數(shù)未知。當(dāng)充分大時(shí),近似服從正態(tài)分布。 由推論知，不論服

4、從什么分布，只要它們相互獨(dú)立且服從同一分布，則它們的平均數(shù)，當(dāng)充分大時(shí)，總是近似地服從正態(tài)分布。 例2 某單位內(nèi)部有260部電話分機(jī)，每個(gè)分機(jī)有4%的時(shí)間要與外線通話，可以認(rèn)為每個(gè)電話分機(jī)用不同的外線是相互獨(dú)立的。問總機(jī)需備多少條外線才能95%滿足每個(gè)分機(jī)在用外線時(shí)不用等候?解 令，是260個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且。表示同時(shí)使用外線的分機(jī)數(shù)，根據(jù)題意應(yīng)確定最小的使成立。由上面的定理知查得，故取。于是有也就是說，至少需要16條外線才能95%滿足每個(gè)分機(jī)在用外線時(shí)不用等候。例3 用機(jī)器包裝味精，每袋凈重為隨機(jī)變量，期望值為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克，一箱內(nèi)裝200袋味精。求一箱味精凈重大于20500

5、克的概率。解 設(shè)一箱味精凈重為克，箱中第袋味精的凈重為克，。則是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且，。故因而有 定理2 （德莫佛（De Movire）拉普拉斯（Laplace）中心極限定理）設(shè)在獨(dú)立試驗(yàn)序列中，事件發(fā)生的概率為，隨機(jī)變量表示事件在次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)。則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有證 隨機(jī)變量表示事件在第次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則這些隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從相同的“0-1”分布，且有，則。由定理1知注 在次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)。定理2說明：當(dāng)充分大時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量將近似地服從正態(tài)分布。一般來說，當(dāng)較大時(shí)，二項(xiàng)分布的概率計(jì)算非常復(fù)雜，這時(shí)我們可以用正態(tài)分布來近似地計(jì)算二項(xiàng)分布。計(jì)算公式為例4 設(shè)隨機(jī)變量服從，求。解 例5 某電站供應(yīng)10000戶居民用電，設(shè)在高峰時(shí)每戶用電的概率為0.8，且各戶用電量多少是相互獨(dú)立的。求：（1） 同一時(shí)刻有8100戶以上用電的概率。（2） 若每戶用電功率為100W，則電站至少需要多少電功率才能保證以0.975的概率供應(yīng)居民用電？解 （1）設(shè)隨機(jī)變量表示在10000戶中同時(shí)用