九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 證明題輔助線典型做法訓(xùn)練一 北師大版

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練題補(bǔ)形法的應(yīng)用班級(jí)_ 姓名_ 分?jǐn)?shù)_一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時(shí)顯得十分繁難，若通過(guò)適當(dāng)?shù)摹把a(bǔ)形”來(lái)進(jìn)行，即添置適當(dāng)?shù)妮o助線，將原圖形填補(bǔ)成一個(gè)完整的、特殊的、簡(jiǎn)單的新圖形，則能使原問(wèn)題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過(guò)對(duì)新圖形的分析，使原問(wèn)題順利獲解。這種方法，我們稱之為補(bǔ)形法，它能培養(yǎng)思維能力和解題技巧。我們學(xué)過(guò)的三角形、特殊四邊形、圓等都可以作為“補(bǔ)形”的對(duì)象?，F(xiàn)就常見(jiàn)的添補(bǔ)的圖形舉例如下，以供參考。一、補(bǔ)成三角形1.補(bǔ)成三角形例1.如圖1，已知E為梯形ABCD的腰CD的中點(diǎn)；證明：ABE的面積等于梯形ABCD面積的一半。分析：過(guò)一頂點(diǎn)和一腰中點(diǎn)作直線，交底的

2、延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，構(gòu)造等面積的三角形。這也是梯形中常用的輔助線添法之一。略證：2.補(bǔ)成等腰三角形例2 如圖2.已知A90°，ABAC，12，CEBD，求證：BD2CE分析：因?yàn)榻鞘禽S對(duì)稱圖形，角平分線是對(duì)稱軸，故根據(jù)對(duì)稱性作出輔助線，不難發(fā)現(xiàn)CF2CE，再證BDCF即可。略證：3.補(bǔ)成直角三角形圖3例3.如圖3，在梯形ABCD中，ADBC，BC90°，F(xiàn)、G分別是AD、BC的中點(diǎn)，若BC18，AD8，求FG的長(zhǎng)。分析：從B、C互余，考慮將它們變?yōu)橹苯侨切蔚慕?，故延長(zhǎng)BA、CD，要求FG，需求PF、PG。略解：4.補(bǔ)成等邊三角形例4.圖4，ABC是等邊三角形，延長(zhǎng)BC至D，延長(zhǎng)

3、BA至E，使AEBD，連結(jié)CE、ED。證明：ECED分析：要證明ECED，通常要證ECDEDC，但難以實(shí)現(xiàn)。這樣可采用補(bǔ)形法即延長(zhǎng)BD到F，使BFBE，連結(jié)EF。略證：二、補(bǔ)成特殊的四邊形1.補(bǔ)成平行四邊形例5.如圖5，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，并且E、F、G、H不在同一條直線上，求證：EF和GH互相平分。分析：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，故要證結(jié)論，需考慮四邊形GEHF是平行四邊形。略證： 2.補(bǔ)成矩形例6.如圖6，四邊形ABCD中，A60°，BD90°，AB200m，CD100m，求AD、BC的長(zhǎng)。圖6分析：矩形具有許多特殊

4、的性質(zhì)，巧妙地構(gòu)造矩形，可使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形，于是一些四邊形中較難的計(jì)算題不難獲解。略解：3.補(bǔ)成菱形圖7例7.如圖7，凸五邊形ABCDE中，A=B120°，EAABBC2，CDDE4，求其面積分析：延長(zhǎng)EA、CB交于P，根據(jù)題意易證四邊形PCDE為菱形。略解：4.補(bǔ)成正方形圖8例8.如圖8，在ABC中，ADBC于D，BAC45°，BD3，DC2。求ABC的面積。分析：本題要想從已知條件直接求出此三角形的面積確實(shí)有些困難，如果從題設(shè)BAC45°，ADBC出發(fā)，可以捕捉到利用軸對(duì)稱性質(zhì)構(gòu)造一個(gè)正方形的信息，那么問(wèn)題立即可以獲解。 略解：5.補(bǔ)成梯形圖9例9如圖

5、9，已知：G是ABC中BC邊上的中線的中點(diǎn)，L是ABC外的一條直線，自A、B、C、G向L作垂線，垂足分別為A1、B1、C1、G1。求證：GG1 (2AA1BB1CC1)。分析：本題從已知條件可知，中點(diǎn)多、垂線多特點(diǎn)，聯(lián)想到構(gòu)造直角梯形來(lái)加以解決比較恰當(dāng)，故過(guò)D作DD1L于D1，則DD1既是梯形BB1C1C的中位線，又是梯形DD1A1A的一條底邊，因而，可想到運(yùn)用梯形中位線定理突破，使要證的結(jié)論明顯地顯示出來(lái)，從而使問(wèn)題快速獲證。略證： 三、練習(xí)1、在ABC中，AC=BC，D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長(zhǎng)線于E，又AE=BD，求證：BE平分ABC。ABQCP2、如圖，已知：在ABC內(nèi)，BAC=60°，ACB=40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是BAC、ABC的角平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP3、已知：BAC=90°，AB=AC，AD=DC，AEBD，求證