圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題的四種模型

1、圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題的四種模型定點(diǎn)問題是常見的出題形式，化解這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示 直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參 數(shù)影響的量。直線過定點(diǎn)問題通法，是設(shè)出直線方程，通過韋達(dá)定理和已知條 件找出k和m的一次函數(shù)關(guān)系式，代入直線方程即可。技巧在于：設(shè)哪一條直 線？如何轉(zhuǎn)化題目條件？圓錐曲線是一種很有趣的載體，自身存在很多性質(zhì)， 這些性質(zhì)往往成為出題老師的參考。如果能夠熟識(shí)這些常見的結(jié)論，那么解題 必然會(huì)事半功倍。下面總結(jié)圓錐曲線中幾種常見的幾種定點(diǎn)模型： 模型一：“手電筒”模型22例題、已知橢圓C: +*=1若直線l ： y =kx + m與橢

2、圓C相交于A, B兩點(diǎn) 43(A, B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線l過 定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解： 設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2),由 y "2 m 得(3+4k2)x2+8mkx + 4(m2-3)= 0 , 3x 4y =12& =64m2k2 -16(3 +4k2)(m2 -3)>0 , 3+4k2 -m2 >0:以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0),且女人口 kBD = -1 ,yiy2x - 2 X2 - 2-1, y1y2 +4x2 2(x1 +x2)+4 = 0 ,4=03(m2 -4k2)

3、4(m2 -3)16mk3 4k23 4k23 4k2整理得：7m2+16mk+4k2 = 0 ,解得：mi =-2k, m2 =-2k ,且滿足 3+4k2 - m2 a 0 當(dāng)m =-2k時(shí)，l: y=k(x-2),直線過定點(diǎn)(2,0),與已知矛盾;當(dāng) m =-2k時(shí)，l: y =k(x2),直線過定點(diǎn)(2,0)綜上可知，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).7方法總結(jié)：本題為“弦對(duì)定點(diǎn)張直角”的一個(gè)例子：圓錐曲線如橢圓上 任意一點(diǎn)P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB,則AB必過定點(diǎn) / 21 221 2(x0(a -b),y0(a -2)o (參考百度文庫文章：“圓錐曲線的弦對(duì)定點(diǎn)張直角的一

4、a b a b組性質(zhì)”)模型拓展：本題還可以拓展為“手電筒”模型：只要任意一個(gè)限定AP與 BP條件(如kAPkBP =定值，kAP +kBP =定值)，直線AB依然會(huì)過定點(diǎn)(因?yàn)槿龡l 直線形似手電筒，固名日手電筒模型)。此模型解題步驟：Step1 :設(shè)AB直線y =kx+m ,聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系，求出參數(shù)范IStep2 :由 AP與 BP關(guān)系(如 kAP *kBP = 一1 ),得一次函數(shù) k = f (m)或者 m = f (k);Step3 :將 k = f (m)或者m = f (k)代入 y =kx + m ,得 y = k(xx定)十 y定。類型題訓(xùn)練練習(xí)1:過拋物線M:y2

5、=2px上一點(diǎn)P(1,2)作傾斜角互補(bǔ)的直線 PA與PB, 交M于A、B兩點(diǎn)，求證：直線AB過定點(diǎn)。(注：本題結(jié)論也適用于拋物線與雙 曲線)練習(xí)2:過拋物線M:y2 =4x的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的弦 OA OB求證: 直線AB過定點(diǎn)。練習(xí)3:過2x2.y2=l上的點(diǎn)作動(dòng)弦AB AC且kABkAc=3,證明BC恒過定點(diǎn)。練習(xí):4:設(shè)A、B是軌跡C: y2=2px(P>0)上異于原點(diǎn)。的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為a和P,當(dāng)u,P變化且a時(shí)，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。練習(xí)5：已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN勺長(zhǎng)為8.(I)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方

6、程；(H )已知點(diǎn)B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P Q若x軸是ZPBQ的角平分線，證明直線l過定點(diǎn).T _ T _練習(xí)6：已知點(diǎn)B(1,0 )C(1,0 )P是平面上一動(dòng)點(diǎn),且滿足|PC| .|BC|=PB CB(1)求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程；(2)已知點(diǎn)A(m,2)在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE,且AD! AE,判斷：直線DE是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.【解】(1)設(shè) P(x”代入1 元門 BC|=PB CBJ(x1)2+y2 =1+x,化簡(jiǎn)得 y2 =4x.(5 分).直線DE過定點(diǎn)(5,-2).(定點(diǎn)(1,2)不滿足題意)練習(xí)7：已知點(diǎn)A(1,

7、 0), B (1, -1)和拋物線.C:y2=4x, O為坐標(biāo)原 點(diǎn)，過點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M P,直線M皎拋物線C于另一點(diǎn)Q如圖(I )證明： OMOP為定值；(II )若POM面積為g，求向量而與所2角；(田)證明直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn). 22解：(I)設(shè)點(diǎn) M (",yj P(江,丫2P、M A 44共線，(II)設(shè)/POM%,則 10MHOP| cosot =5.丁 Som =5,，|OM | |OP| sins =5.由 此可得a =1.又a w (0,n),，o( =45：故向量0M與OP的夾角為45:2(m)設(shè)點(diǎn)Q(近，丫3廣M、B Q三點(diǎn)共線，:kBQ = kQ

8、M ,4即 4( y2 y3) y2 y3 4 = 0.(*)即 (y -y2)(y2 +y3) =4x- y2,即y(y2 + y3) y2y3 =4x.由(*)式，-y2y3 =4(y2+y3)+4,代入上式，得(y+4)(y2 + y3)=4(x-1).由此可知直線PQ過定點(diǎn)E (1, 4).模型二：切點(diǎn)弦恒過定點(diǎn)例題：有如下結(jié)論：“圓x2+y2 =r2上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為22x0y+y0y=r2"，類比也有結(jié)論：“橢圓 =十與=1(a a b a0)上一點(diǎn)P(x0, y0)處的切a b2線方程為x2x+誓=1"，過橢圓C： /+y2=1的右準(zhǔn)線l上任

9、意一點(diǎn)M引橢圓C a2 b24的兩條切線，切點(diǎn)為A、B.(1)求證：直線AB恒過一定點(diǎn)；(2)當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求AABM勺面積?！窘狻?1)設(shè)M(延,a"0函丫1),8d,丫2)/西人的方程為用+ 丫1丫=1 34丁點(diǎn) M在 MA_t： x1 +ty1 =1 同理可得x2 +ty2 =1 33由知AB的方程為，x+ty =1,即x = V3(1-ty)易知右焦點(diǎn)F ( 73,0)滿足式，故AB恒過橢圓C的右焦點(diǎn)F (、B0)2(2)把 AB的方程 x = "3(1 y)代人士+ y2=1,化簡(jiǎn)得 7y-6y-1 = 04.|AB|=W= J36 +28 ="

10、;又 M至口 AB的距離 d=-J=277，1 33.ABM勺面積 S | AB| d 二隹 221方法點(diǎn)評(píng)：切點(diǎn)弦的性質(zhì)雖然可以當(dāng)結(jié)論用，但是在正式的考試過程中 直接不能直接引用，可以用本題的書寫步驟替換之，大家注意過程。方法總結(jié)：什么是切點(diǎn)弦？解題步驟有哪些？參考：PPT圓錐曲線的切線及切點(diǎn)弦方程，百度文庫參考：“尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下”，優(yōu)酷視頻拓展：相交弦的蝴蝶特征一一蝴蝶定理，資料練習(xí)1： (2013年廣東省數(shù)學(xué)(理)卷)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F(0,CXCA0)到直線l: x-y-2=0的距離為嫗.設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條 2切線PA,PB,其中A,B為

11、切點(diǎn).(I )求拋物線C的方程；(II)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y。)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程；(m)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求AF，BF|的最小值.【答案】(I)依題意，設(shè)拋物線C的方程為x2=4cy,由巴；3=3尼結(jié)合00, ,22解得c=1.所以拋物線C的方程為x2=4y.(H)拋物線C的方程為x2 =4y ,即y=1x2,求導(dǎo)得y，x 4222設(shè) A(x1, V。B5, y2 )(其中 =上，丫2 =A-)，則切線PA,PB的斜率分別為1x1, 1x2, 222所以切線 PA ： y -y1 = &x - 為)，即 y = - x- + y1,即 x1x-2y -2y1 =

12、0222同理可得切線PB的方程為 x2 x - 2 y - 2 y2 = 0因?yàn)榍芯€PA,PB均過點(diǎn)P(xo,yo ),x1xO 2yo - 2y1 = 0 , x2xO - 2y° 2y2 =0所以(x1,y1 ),(x2, y2 )為方程 x0x -2y0 -2y =0 的兩組解.所以直線AB的方程為x0x-2y -2y0 =0.(HI)由拋物線定義可知 AF| =yi+1, |BF| =y2 +1,所以 AF| -BF =(Vi+1XV2 +1 )=ViV2+(Vi+V2)+1聯(lián)立方程!7一2丫一2"二0,消去 x 整理得 y2+(2y0-x。2 )y+y02=0 x

13、2 =4y由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得 y1+丫2 =x。2-2y0, y1y2 = y。2所以 AF| |BF =y1y2 , y1 y2 1 ”2 x°2 -2丫0 1又點(diǎn)P(x0,y0 )在直線l上，所以x0=y0+2,產(chǎn)必所以 y02 x02 - 2y° 1 = 2y02 2 y0 5 = 2 i y0-22所以當(dāng)y° =-1時(shí)，AF| BF取得最小值，且最小值為9 .練習(xí) 2:(2013 年遼寧數(shù)學(xué)(理)如圖,拋物線 C1: x2 =4y,C2 : x2 = -2py( p A0),點(diǎn) M (x0,y0 ) 在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點(diǎn)為A

14、, B ( M為原點(diǎn)。時(shí)，A,B重合于 O) % =1-72,切線MA.的斜率為-1.(I)求p的值;(II)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方.(A B重合于。時(shí),中點(diǎn)為O).【答案】模型三：木目交弓玄過定點(diǎn)相交弦性質(zhì)實(shí)質(zhì)是切點(diǎn)弦過定點(diǎn)性質(zhì)的拓展，結(jié)論同樣適用。參考尼爾森數(shù)學(xué)第一季3下，優(yōu)酷視頻。但是具體解題而言，相交弦過定點(diǎn)涉及坐標(biāo)較多， 計(jì)算量相對(duì)較大，解題過程一定要注意思路，同時(shí)注意總結(jié)這類題的通法。22例題：如圖，已知直線L: x = my+1過橢圓C：今+今=1(abA0)的右焦點(diǎn)F, a b且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A B在直線G:x = a2上的射影依次為點(diǎn) D E。

15、連接 AE、BD試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE BD是否相交于一定點(diǎn)N?若交于定點(diǎn)N, 請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說明理由。法一：解：v F(1,0),k =(a2,0)先探索，當(dāng) m=0時(shí),直線Lox軸,則ABED24為矩形，由對(duì)稱性知，AE與BD相交于FK中點(diǎn)N ,且N(-1,0)猜想：當(dāng)m變2。化時(shí),AE-D相交于定點(diǎn)N(a,0)證明：設(shè) A(Xi，yjB(X2，y2)，E(a2,y2),D(a2,yi)當(dāng) m變化時(shí)首先 AE過定點(diǎn) N/. Kan=KEn.A、N E三點(diǎn)共線同理可得B、N、D三點(diǎn)共線2AE與BD相交于定點(diǎn)N(a1,0)2法2:本題也可以直接得出AE和BD方程，令y=

16、0,得與x軸交點(diǎn)M N,然 后兩個(gè)坐標(biāo)相減=0.計(jì)算量也不大。方法總結(jié)：方法1采用歸納猜想證明，簡(jiǎn)化解題過程，是證明定點(diǎn)問題 一類的通法。這一類題在答題過程中要注意步驟。2例題、已知橢圓C: L + y2=1,若直線l:x=t(t>2)與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直 4線l上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA,PA分別與橢圓交于 M N點(diǎn)，試問直線MN 是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。方法1:點(diǎn)A、A的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線 PA、PA的方程，直線PA和 橢圓交點(diǎn)是A(-2,0)和M通過韋達(dá)定理，可以求出點(diǎn) M的坐標(biāo)，同理可以求出 點(diǎn)N的坐標(biāo)。動(dòng)點(diǎn)P在直線l:x = t(t>2)上，相當(dāng)于知

17、道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了，由直 線PA、PA的方程可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過所 求的M N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線MN勺方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的t>2, 就可以了，否則就不存在。解：設(shè)M(x1,y“，N(x2,y2),直線AM的斜率為k1，則直線AM的方程為:k1（x+2）,由、"（:十2）消 y 整理得（1+4k；）x2 +16k2x + 16k； -4 = 0 x2 4y2 =4'；-2和是方程的兩個(gè)根,-2x1 -16kl2 - 42 - 8k12即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4 kl2 ,1 4k12 14k2)，21 4k214kl2 ' y

18、1 一 1 4k；'k1k2t，令y=0,得2ki2 _2同理，設(shè)直線AN的斜率為k2,則得點(diǎn)Nq坐標(biāo)為(髭，溫),直線MN的方程為：y = y2 - y1 , x - x,x2 - x1x=x*s將點(diǎn)M N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得：x=4 小一yt又；t>2,，0<；<2;橢圓的焦點(diǎn)為(有0).；=痣，即t = 3故當(dāng)t=逆時(shí) MN過橢圓的焦點(diǎn)。3方法總結(jié)：本題由點(diǎn) Ai(-2,0) 的橫坐標(biāo)2是方程 (1 k；4 x2)+ 2k1快i2 1的一辿艮，0吉合韋達(dá)定理，得到點(diǎn) M的橫縱坐標(biāo)： Xi =2 _8k; y ，k ;其實(shí)由四二”一 2)消 y 整理得(1+4k；

19、)x2 16k2x+16k；-4=0 ,14k21 4k2x2 4y2 =4得至Q 2x2 =16k2 -24，即x2 =眼二2 , y2 =4很快。不過如果看到：將-2x1 =16k121 4k；14k214k214k12中的k1用k2換下來，x1前的系數(shù)2用一2換下來，就得點(diǎn)N的坐標(biāo)("2:，二4k),14k2 14k2如果在解題時(shí)，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少，這樣真容易出錯(cuò)，但這樣減少 計(jì)算量。本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn) P的雙重身份：點(diǎn)P即在直線AM上也在直線AN 上，進(jìn)而得到 12 = _2,由直線MN勺方程X* = X二*得直線與x軸的交點(diǎn)， k1k2tx x1 x2-x1即橫截

20、距x=x2y1-x1y2 ,將點(diǎn)M N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)易得x = 9,由9 = 73解出y - y2t tt=迪，到此不要忘了考察t=勺叵是否滿足t>2。33方法2:先猜想過定點(diǎn)，設(shè)弦MN勺方程，得出AM、n方程，進(jìn)而得出與T 交點(diǎn)Q S,兩坐標(biāo)相減=0.如下：方法總結(jié)：法2計(jì)算量相對(duì)較小，細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，這其實(shí)是上文“切點(diǎn)弦 恒過定點(diǎn)”的一個(gè)特例而已。因此，法2采用這類題的通法求解，就不至于思路混亂 了。相較法1,未知數(shù)更少，思路更明確。22練習(xí)1: (10江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，已知橢圓x+y=1的左右9 5頂點(diǎn)為A,B,右焦點(diǎn)為F,設(shè)過點(diǎn)T(t,m)的直線TA,TB

21、與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1,y。， N(x2,y 2),其中 m>0,y1>0,y 2<0.設(shè)動(dòng)點(diǎn)p滿足pFp百二4,求點(diǎn)p的軌跡設(shè)xi=2,x 2=1,求點(diǎn)T的坐標(biāo)3設(shè)t=9,求證：直線MN、過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))解析：?jiǎn)?與上題同。練習(xí)2:已知橢圓E中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(-2,0)、B(2,0)、C 'i,3 I三點(diǎn).過橢圓的右焦點(diǎn)F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線l與橢圓E2交于M、N兩點(diǎn)，AM與BN所在的直線交于點(diǎn)Q.(1)求橢圓E的方程：(2)是否存在這樣直線m ,使得點(diǎn)Q恒在直線m上移動(dòng)？若存在，求出直線 m方程，若不存在，請(qǐng)說明理

22、由.解析：(1)設(shè)橢圓方程為mx2 + my2 = 1(m > 0,n > 0),將A(_2,0)、B(2,0)、C(1,3)代入橢圓E的方程，得24m =1,2299 解得m,n=L 橢圓E的方程土+L=1mn=143434(也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，知a =2類似計(jì)分)(2)可知：將直線l : y =k(x1)22代入橢圓E的方程x-+匕=1并整理.得(3+4k2)x2-8k2x + 4(k23) = 043設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)M(x1,y1), N(x2,y2),2由根系數(shù)的關(guān)系，得、-2.4"二齒直線 AM 的方程為：y =y(x+2)，即y = k(x1 -1)(x +

23、 2) x1 2x1 2由直線AM的方程為：y=q(x.2),即y=HxV(x.2) x2 - 2x2 - 2由直線AM與直線BN的方程消去y ,得直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x = 4上.故這樣的直線存在模型四：動(dòng)圓過定點(diǎn)問題動(dòng)圓過定點(diǎn)問題本質(zhì)上是垂直向量的問題，也可以理解為“弦對(duì)定點(diǎn)張直角” 的新應(yīng)用。例題1.已知橢圓CE+£=1(a>b>0)的離心率為 囊，并且直線y = x+b是拋物線 a2 b22y2 =4x的一條切線。(I )求橢圓的方程；(II)過點(diǎn)S(0,-1)的動(dòng)直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否 3存在一個(gè)定點(diǎn)T,使彳#以AB為直徑的

24、圓恒過點(diǎn)T?若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說明理由。解：(I)由 1yx +b消去 y得:x2 +(2b -4)x +b2 =0 y =4x因直線y =x +b與拋物線y2 =4x*目切二 = (2b -4)2 -4b2 = 0,b = 1'；e =c =逅,a2 =b2+c2,，a裊=1,二 a = &,故所求橢圓方程為+ y2 =1. (II )a 2a222當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x2+(y+1)2=(4)2 33當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x2+y2=1,由卜2+(y+：)2嗎2解得卜=。 x2 y2=1y=1即兩圓相切于點(diǎn)(0,

25、 1)因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是(0, 1).事實(shí)上，點(diǎn)T (0, 1)就是所求的點(diǎn)，證明如下。當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T (0, 1)若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L: y = kx3.1y =kx -23 消去 y得：(18k2 +9)x2 12kx_16=0x 2/+y =12記點(diǎn) A(xyj、B(X2,y2)9<12kx1 x2 - 2 -JJ18k +9又因?yàn)?TA = (x1,y11),TB=(x2,y21),-16x1 x2 =218k2 9TAXTB,即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T (0, 1),故在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T (0, 1)滿足條件.方法

26、總結(jié)：圓過定點(diǎn)問題，可以先取特殊值或者極值，找出這個(gè)定點(diǎn)，再證明用直徑所對(duì)圓周角為直角。例題2:如圖，已知橢圓C:1 + Z=1(aAbA0)的離心率是 走，AA分別是橢圓Ca b2-2D=2 o(1)求橢圓C的方程以及點(diǎn)(2)過點(diǎn)D作x軸的垂線n, 與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)D的坐標(biāo)；再作直線l: y二kx , mP ,直線l交直線n于點(diǎn)P*y的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn)。點(diǎn)D是x軸上位于A2右側(cè)的一點(diǎn)，|ad|a2d|=2 有 +=2,x a x -aQ。求證：以線段PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)，并求出 點(diǎn)的坐標(biāo)。解：(1) A(-a,0), A2(a,0), F(c,0),設(shè) D(x

27、,0),又 FD| =1 ,2一 (kx m)2 : 1而由韋達(dá)定理：2x0 =-4km-2km 由(*)-2km2k2= x0 = -2 = 2= 一 ,2k 1 2k 1 m m，x-c=1;x=c+1 于是1十1=2c 1 a c 1 - a一c 12 一=c +1 =(c +1 +a)(c +1 -a),又一 二=a = J2c,a 2_2=c2 c=0 ,又 c >0,c=1,/. a = T2,b=1 ,橢圓 C :二+ y2=1 ,且 D(2,0)。2y 二 kx m(2)方法 1: ；Q(2,2k+m),設(shè) P(x0,y。)，由 J x22y2 =1222222=x +2

28、(kx+m) =2= (2k +1)x +4kmx+2m 2=0,由于 A =16k2m2 -4(2k2 +1)(2m2 -2) =0=> 2k2 - m2 +1 =0= m2 =2k2 + 1 (*),2k212k 1No =kxo +m =十m 二一 , . P(，一), mmm m11設(shè)以線段PQ為直徑的圓上任意一點(diǎn)M(x,y),由MP,MQ=0有2k122 2k12k(x+一)(x2)+(y )(y (2k+m) =0= x +y +( 2)x+(2k+m+)y+ (1 )= 0 由 mmmmm對(duì)稱性知定點(diǎn)在x軸上，令y=0,取x=1時(shí)滿足上式，故過定點(diǎn)K(1,0)。法2:本題又

29、解：取極值，PQ與A阡行，易得與X軸相交于F (1,0)。接下來 用相似證明PF± FQ 問題得證。22練習(xí)：(10廣州二模文)已知橢圓C1：與+L=1(ab>0)的右焦點(diǎn)F2與拋物線a bC2： y2 =4x的焦點(diǎn)重合，橢圓C1與拋物線C2在第一象限的交點(diǎn)為P , | PF2 |=5 .圓C33的圓心T是拋物線C2上的動(dòng)點(diǎn)，圓C3與y軸交于M,N兩點(diǎn)，且|MN |=4.(1)求橢圓C1的方程；(2)證明：無論點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)到何處，圓C3恒經(jīng)過橢圓C上一定點(diǎn).(1)解法1：二拋物線C2： y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0) , 點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(1,0).橢圓C1的左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為F1(-1,0),拋物線C2的準(zhǔn)線方程為x = -1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(不，/),由拋物線的定義可知PF2 =x1 +1, PF? = 5,X +1 =工 解得 = 2 .333由y，=4x1 =8 ,且0>0 ,得火=2n.點(diǎn)P的坐標(biāo)為-,-76(.在橢圓 333322C1 ：與+ y2 =1(a Ab >0)中， a bc =1. 2a =|PF1 | | PF2 |= , (2 1)2 (2 <6 一0)2 . (2 -1)2 (2 ;6 -0)2 =4331 33 22a =2,b = Ja2 -c2 =啟.二橢圓 C1的方程為+-=1.43解法2:二拋物