第八章 粘性不可壓縮流體的層流運(yùn)動(dòng)

1、8.6 不可壓縮粘性流體在無窮長(zhǎng)直圓管內(nèi)流。由實(shí)驗(yàn)知，其璧面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h與圓管的直徑D，熱傳導(dǎo)系數(shù)k,流體的平均速度U，密度r，粘度系數(shù)m和流體比熱c有關(guān)，其中h具有h/D的量綱。試由量綱分析證明Nu=f(ReP,r) .hDk式中Nu=普朗特?cái)?shù)。 叫做努塞爾特（Nusselt）數(shù)，Re=rUDm是雷諾數(shù)，Pr=cmk是解：由題意：h=f(D,k,U,r,m,c此式中有n=6個(gè)物理量，其中含r=4個(gè)基本量綱，按p定理可簡(jiǎn)化為n-r=2個(gè)無量綱間的函數(shù)關(guān)系。記質(zhì)量，長(zhǎng)度，時(shí)間和溫度的基本量綱分別為M,L,T,K寫出各量的量綱如下：D=h=L，k=W/(LK)=MLTékù

2、34;Dú=MTëû-3-1-3K-1，U=LT。 -1，r=ML-3，m=ML-1T-1，K，c=L2T2K-1現(xiàn)取D，k，U，r為基本量，將其余各量與這些基本量組合成無量綱量。例如，設(shè)h=DkUr，列出此式兩側(cè)的量綱有： abgxMT-3K-1=Mb+xT-3b-gK-bLa+b+g-3xìb+x=1ìa=-1ïïï-3b-g=-3ïb=1顯然兩側(cè)的冪次應(yīng)該分別相等：í解得í， -b=-1g=0ïïïa+b+g-3x=0ïx=0î&

3、#238;-1即h=Dk，于是Nu=hDk構(gòu)成一個(gè)無量綱量。同理： r=f1(h,D,k,U,m,c)，取D,U,k,m為基本量，將其余各量與這些基本量組合成無量綱量。設(shè)r=DUkm，列出此式兩側(cè)的量綱有： abgxML-3=Mb+xLa+b+g-3xT-3b-rK-bìb+x=1ìa=0ïïïa+b+g-3x=-3ïb=0兩側(cè)的冪次應(yīng)該分別相等：í解得í， -3b-g=0g=0ïïï-b=0ïx=1îî8.8截面為半圓形的無限長(zhǎng)直管中的不可壓縮流體做層流

4、運(yùn)動(dòng)，沿管軸方向某一長(zhǎng)度l上的壓降為p。由實(shí)驗(yàn)知p與l無關(guān)，且不沿管軸位置而變，只與管中的平均速度U,管的半徑a和流體粘度系數(shù)有關(guān)。試由量綱分析理論推出通過管的體積流量Q如何隨a,p 和 l變化。=f1(U,a ) l此式有n=4個(gè)物理量，且有r=3個(gè)基本量綱， 解： 以題有：p據(jù)定理可化為n-r=1個(gè)無量綱關(guān)系，記質(zhì)量、長(zhǎng)度、時(shí)間基本量綱分別為M、L、T。 有p-2-2-1-1=MLT, =MLT, U=LTl-1, a=L 取pl,a 為基本量p令U=lar-2-2ML-1T-1=MLTLr -2-2ML-1T-1即LT-1=MLTLr解得=1, =-1, r=2p-12即U=l故Upa2

5、a 構(gòu)成無量綱量。l8.11 圖中兩個(gè)無窮大的平行板之間有兩層厚度都是h的互不混合的均質(zhì)不可壓縮流體，粘度系數(shù)為1和2。下板不動(dòng)，上板沿板面向右以勻速U滑動(dòng)，試求兩層流體中的速度分布以及上、下板面所受剪應(yīng)力的大小和方向。設(shè)上、下游遠(yuǎn)處壓強(qiáng)相等，不計(jì)體力，試用圖標(biāo)畫出你所用的坐標(biāo)系。解：對(duì)于該流動(dòng)，N-S方程組在直角坐標(biāo)系下的分量形式是： 連續(xù)=0，ux+vy1=0h1動(dòng)量方程：DDt=Fb-1p+(2S) ，huux+vuy=-1px+(ux22+uy22)8.11 題圖uvx+vvy=-1py+(vx22+vy22)（1） 對(duì)于y=0以下的下層液體來說，邊界條件是：y=-h:u=0,v=0,

6、y=0:u=u,v=0.*（2）由于x方向是無窮長(zhǎng)，沒有特征長(zhǎng)度，所以u(píng)x=0，于是上述第一個(gè)方程有vy=0，結(jié)合邊界條件知v0，于是由第三個(gè)方程知py=0，于是流動(dòng)的特點(diǎn)是u=u(y),vo,p=p(x).由此知第二個(gè)方程變?yōu)榫€性的：2dudx22=pxpx又有已知條件上、下游遠(yuǎn)處壓強(qiáng)相等，所以dudx22=0故有2=0它在滿足所給u的邊界條件時(shí)有如下解：u2=u*h(y+h)（2）對(duì)于y=0以上的上層液體來說，邊界條件是：y=-h:u=0,v=0,y=0:u=u,v=0.*同理解得u1=u-uh*y+u*（3）有兩液體界面處力平衡條將知二者剪切應(yīng)力應(yīng)相等，故有1du1dy=2du2dy將表

7、達(dá)式代入得u=*11+2UU，代入得u1=11+2hU(2y+1h)，u2=11+2h(y+h)。（4）如果將兩板間液體作為研究對(duì)象，由力的平衡條件知上下板面所受剪應(yīng)力一定相等，可驗(yàn)證求之。上板面的剪應(yīng)力s=1(du1dydu2dy)y=h=11U1+2h12=12U1+2h12，方向與U相反；下板面的剪應(yīng)力x=2()y=-h=2U1+2h1=U1+2hU，方向與U相同。其實(shí)液體中層間所受剪應(yīng)力處處相等，均為w=121+2h，這正滿足力平衡條件。8.12粘度系數(shù)為的均質(zhì)不可壓縮流體沿x方向流過平板（y=0）上方的半無窮大空間，。設(shè)流場(chǎng)y時(shí)速度為U。設(shè)平板為多孔介質(zhì)，穿過它有流體吸出（法向速度v

8、w=常數(shù)<0）中壓強(qiáng)均勻，處處v=vw，試求二維定常解u(y)。若任取一特征長(zhǎng)度L，定義u'=uvw=vw，Re=UL，當(dāng)vw=-0.1時(shí)，試對(duì)Re=1,10,100時(shí)畫出剖面u'(y')，vL三條曲線畫在同一張圖上，請(qǐng)討論：1）使u'(')=0.99的'在三種情況下各取何值？2）當(dāng)流體粘性很?。≧e>>1）時(shí)，u'(y')與無粘流無旋解有何區(qū)別？ ， y'=解：由題意，對(duì)于該二維定常流動(dòng)，邊界條件為 y=0: u=0, v=vw=const<0y=: u=U, v=vw=const<0y由N

9、-S的分量形式uv+=0 （1） xy2u2uu+v=+v 2+ （2） 2xyxxyuu1p2v2vu+v=-+v 2+ （3） 2xyxxyvv1p8.12題圖ux=0 , 對(duì)于該流動(dòng)，x方向是無窮長(zhǎng)，沒有特征長(zhǎng)度，所以再由方程（1）得出vy=0vx=0。 又由于 v=vw=const ， 所以又流場(chǎng)中壓強(qiáng)均勻，則所以 u=u(y), v=pxw=py=0， v=cons,t = p const由方程（2）得vw積分得u=vvweuyv=vuy22 C1+vwy+C2 -Uvmv由邊界條件求出C1=U, C2=vln故求出定常解u(y)=U(1-evwyv)8.13無限長(zhǎng)的平板與水平面的夾角為，其上有一層厚度為h的均質(zhì)不可壓縮粘性流體在重力作用下平行于板面流動(dòng)，其上為自由面。求此定長(zhǎng)流動(dòng)的速度分別，流量、平均速度、最大速度和作用于板面上的摩擦力，并求流體中的壓強(qiáng)分布。解 ：自由面(y=h)上，有 p=p0令粘度系數(shù)為，邊界條件為y=0: u=0, v=0, p=p0+ghy=h: uy=0, v=0, p=p0 8.13題圖此為二維流動(dòng)ux+vy=0 （1）22vuuu+v=-+gsin+ 2+ （2） 2xyxxyuu