第一節(jié)-任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)重點(diǎn)講義資料(共12頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)的概念(1)了解任意角、弧度制的概念，能正確進(jìn)行弧度與角度的互化(2)會(huì)判斷三角函數(shù)值的符號(hào)(3)理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義知識(shí)點(diǎn)一角的有關(guān)概念(1)從運(yùn)動(dòng)的角度看，可分為正角、負(fù)角和零角(2)從終邊位置來(lái)看，可分為象限角和軸線角(3)若與角的終邊相同，則用表示為2k(kZ)易誤提醒(1)不少同學(xué)往往容易把“小于90°的角”等同于“銳角”，把“0°90°的角”等同于“第一象限的角”其實(shí)銳角的集合是|0°<<90°，第一象限角的集合為|2k<

2、;<2k，kZ(2)終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等自測(cè)練習(xí)1若k·360°，m·360°(k，mZ)，則角與的終邊的位置關(guān)系是()A重合 B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C關(guān)于x軸對(duì)稱 D關(guān)于y軸對(duì)稱解析：角與終邊相同，與終邊相同又角與的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱角與的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱答案：C知識(shí)點(diǎn)二弧度的概念與公式在半徑為r的圓中分類定義(公式)1弧度的角把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角，用符號(hào)rad表示角的弧度數(shù)公式|(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算1°rad；1 rad°弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l|&

3、#183;r扇形的面積公式Slr|·r2易誤提醒角度制與弧度制可利用180° rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用. 自測(cè)練習(xí)2弧長(zhǎng)為3，圓心角為的扇形半徑為_(kāi)，面積為_(kāi)解析：弧長(zhǎng)l3，圓心角，由弧長(zhǎng)公式l|·r，得r4，面積Slr6.答案：46知識(shí)點(diǎn)三任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫作的正弦，記作sin x叫作的余弦，記作cos 叫作的正切，記作tan 各象限符號(hào)正正正正負(fù)負(fù)負(fù)負(fù)正負(fù)正負(fù)口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦

4、線有向線段AT為正切線易誤提醒三角函數(shù)的定義中，當(dāng)P(u，)是單位圓上的點(diǎn)時(shí)有sin ，cos u，tan ，但若不是單位圓時(shí)，如圓的半徑為r，則sin ，cos ，tan .自測(cè)練習(xí)3若sin <0且tan >0，則是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：由sin <0，得在第三、四象限或y軸非正半軸上，又tan >0，在第三象限答案：C4已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸若P(4，y)是角終邊上一點(diǎn)，且sin ，則y_.解析：由三角函數(shù)的定義，sin ，又sin <0，y<0且，解之得y8.答案：8考點(diǎn)一角的集合表示及象限角

5、的判斷|1(2015·東城期末)若角滿足(kZ)，則的終邊一定在()A第一象限或第二象限或第三象限B第一象限或第二象限或第四象限C第一象限或第二象限或x軸非正半軸上D第一象限或第二象限或y軸非正半軸上解析：由，kZ，當(dāng)k0時(shí)，終邊在第一象限當(dāng)k1時(shí)，終邊在第二象限當(dāng)k1時(shí)，終邊在y軸的非正半軸上，故選D.答案：D2已知sin >0，cos <0，則所在的象限是()A第一象限 B第三象限C第一或第三象限 D第二或第四象限解析：因?yàn)閟in >0，cos <0，所以為第二象限角，即2k<<2k，kZ，則k<<k，kZ.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，為第一象限

6、角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，為第三象限角，故選C.答案：C3在720°0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為_(kāi)解析：所有與45°有相同終邊的角可表示為：45°k×360°(kZ)，則令720°45°k×360°<0°，得765°k×360°<45°，解得k<，從而k2或k1，代入得675°或315°.答案：675°或315°解決終邊相同的角的集合的兩個(gè)方法(1)利用終邊相同的角的集合可以求適

7、合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需角(2)利用終邊相同的角的集合S|2k，kZ判斷一個(gè)角所在的象限時(shí)，只需把這個(gè)角寫(xiě)成0,2)范圍內(nèi)的一個(gè)角與2的整數(shù)倍的和，然后判斷角所在的象限考點(diǎn)二三角函數(shù)的定義|已知角的終邊在直線y3x上，求10sin 的值解設(shè)終邊上任一點(diǎn)為P(k，3k)，則r|k|.當(dāng)k>0時(shí)，rk，sin ，10sin 330；當(dāng)k<0時(shí)，rk，sin ，10sin 330.綜上，10sin 0.用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義

8、求解(2)已知角的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來(lái)求相關(guān)問(wèn)題1已知是第二象限角，P(x，)為其終邊上一點(diǎn)，且cos x，則x()A. B±C D解析：依題意得cos x<0，由此解得x，選D.答案：D考點(diǎn)三扇形的弧長(zhǎng)及面積公式|(1)已知扇形周長(zhǎng)為10，面積是4，求扇形的圓心角(2)已知扇形周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形面積最大？解(1)設(shè)圓心角是，半徑是r，則(舍)，故扇形圓心角為.(2)設(shè)圓心角是，半徑是r，則2rr40.S·r2r(402r)r(20r)(r10)2100100，當(dāng)且僅

9、當(dāng)r10時(shí)，Smax100，2.所以當(dāng)r10，2時(shí)，扇形面積最大弧度制應(yīng)用的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)弧度制下l|·r，Slr，此時(shí)為弧度在角度制下，弧長(zhǎng)l，扇形面積S，此時(shí)n為角度，它們之間有著必然的聯(lián)系(2)在解決弧長(zhǎng)、面積及弓形面積時(shí)要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形2已知扇形的半徑是2，面積為8，則此扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A4B2C8 D1解析：設(shè)半徑為r，圓心角的弧度數(shù)為，由Sr2，8××4，4.答案：A9.數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用【典例】(1)滿足cos 的角的集合為_(kāi)(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一

10、點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于C(2,1)時(shí)，的坐標(biāo)為_(kāi)思路點(diǎn)撥(1)利用三角函數(shù)線可直觀清晰地得出角的范圍(2)點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵，可在圓中作三角形尋找P點(diǎn)坐標(biāo)和三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系解析(1)作直線x交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為.(2)如圖所示，過(guò)圓心C作x軸的垂線，垂足為A，過(guò)P作x軸的垂線與過(guò)C作y軸的垂線交于點(diǎn)B.因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2，所以劣弧2，即圓心角PCA2，則PCB2，所以|PB|sincos 2，|CB|cossin 2，所以xP2|CB|2sin 2

11、，yP1|PB|1cos 2，所以(2sin 2,1cos 2)答案(1)(2)(2sin 2,1cos 2)思想點(diǎn)評(píng)(1)利用三角函數(shù)線解三角不等式要在單位圓中先作出臨界情況，然后觀察適合條件的角的位置；(2)解決和旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問(wèn)題要抓住旋轉(zhuǎn)過(guò)程中角的變化，結(jié)合弧長(zhǎng)公式、三角函數(shù)定義尋找關(guān)系跟蹤練習(xí)函數(shù)yln(sin x)的定義域?yàn)開(kāi)解析：(1)sin x>，作直線y交單位圓于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角的終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為.答案：(kZ)A組考點(diǎn)能力演練1已知MP、OM、AT分別為角的正弦線、余弦線、正切線，則一定有()AMP

12、<OM<AT BOM<AT<MPCAT<OM<MP DOM<MP<AT解析：如圖所示，MP、OM、AT分別為角的正弦線、余弦線、正切線，由于<<，所以O(shè)M<MP，又由圖可以看出MP<AT，故可得OM<MP<AT，故選D.答案：D2已知sin <0，cos <0，則角的終邊所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：由sin <0得角的終邊在第三或第四象限，由cos <0得角的終邊在第二或第三象限，所以滿足sin <0，cos <0的角的終邊在第三象限，故

13、選C.答案：C3已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()A2 Bsin 2C. D2sin 1解析：由題設(shè)，圓弧的半徑r，圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l2r.答案：C4若x(0,2)，則sin x>的必要不充分條件是()A.<x< B.<x<C.<x< D.<x<解析：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)與充分必要條件依題意，由sin x>，x(0,2)得知<x<，可以推得<x<；反過(guò)來(lái)，由<x<不能得知sin x>，如取<x<，此時(shí)sin x.因此，sin x>的必要不充分條件

14、是<x<，故選B.答案：B5點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()A. B.C. D.解析：設(shè)點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)Q，則AOQ2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，所以xOQ，cos，sin，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.答案：A6如果角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么tan 的值是_解析：由定義知tan .答案：7已知角(0<2)的終邊過(guò)點(diǎn)P，則_.解析：本題考查了三角函數(shù)值的概念及同角三角函數(shù)的關(guān)系問(wèn)題由已知條件sin>0，cos<0可得角的終邊在第四象限，又由tan (0<2)可得.答案：8(2016

15、3;成都一診)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知任意角以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，若其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)，且|OP|r(r>0)，定義：sicos ，稱“sicos ”為“的正余弦函數(shù)”，若sicos 0，則sin_.解析：因?yàn)閟icos 0，所以y0x0，所以的終邊在直線yx上，所以當(dāng)2k，kZ時(shí)，sinsincos；當(dāng)2k，kZ時(shí)，sinsincos .綜上得sin.答案：9已知扇形OAB的圓心角為120°，半徑長(zhǎng)為6，(1)求的長(zhǎng)；(2)求所在弓形的面積解：(1)120°，r6，的長(zhǎng)l×64.(2)S扇形OABlr×4

16、5;612，SABOr2·sin×62×9，S弓形S扇形OABSABO129.10已知角的終邊上有一點(diǎn)P(x，1)(x0)，且tan x，求sin cos 的值解：的終邊過(guò)點(diǎn)(x，1)(x0)，tan ，又tan x，x21，x±1.當(dāng)x1時(shí)，sin ，cos ，因此sin cos 0；當(dāng)x1時(shí)，sin ，cos ，因此sin cos .綜上sin cos 0或.B組高考題型專練1(2011·高考課標(biāo)全國(guó)卷)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2()A BC. D.解析：角的終邊在直線y2x上，tan 2.則cos 2.答案：B2(2012·高考安徽卷改編)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O(0,0)，P(6,8)，將向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(8，6) B(8，6)C(6,8) D(6，8)解析：|O