第三章 數(shù)字測圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、3.1 3.1 常用坐標(biāo)系及其轉(zhuǎn)換常用坐標(biāo)系及其轉(zhuǎn)換一、測量坐標(biāo)系概述一、測量坐標(biāo)系概述坐標(biāo)參坐標(biāo)參考系統(tǒng)考系統(tǒng)天球坐標(biāo)系：研究天體和衛(wèi)星的定位與運動天球坐標(biāo)系：研究天體和衛(wèi)星的定位與運動地球坐標(biāo)系：研究地球上物體的定位與運動地球坐標(biāo)系：研究地球上物體的定位與運動地固坐標(biāo)系地固坐標(biāo)系地心坐標(biāo)系地心坐標(biāo)系參心坐標(biāo)系參心坐標(biāo)系空間直角空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系大地坐標(biāo)系大地坐標(biāo)系空間直角空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系大地坐標(biāo)系大地坐標(biāo)系1 119541954年北京坐標(biāo)系年北京坐標(biāo)系克拉索夫斯基橢球橢球定向不準(zhǔn)確，大地水準(zhǔn)面差距西高東低。 該坐標(biāo)系統(tǒng)是經(jīng)過局部分區(qū)平差得到的2.19802.1980年國家大地坐標(biāo)系年

2、國家大地坐標(biāo)系采用參考橢球IAG-75國際橢球，橢球的短軸平行于地球的自轉(zhuǎn)軸,并將大地原點確定在我國中部陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)。高程系統(tǒng)以1956年黃海平均海水面為高程起算基準(zhǔn)。3. 3. 中國地心坐標(biāo)系統(tǒng)中國地心坐標(biāo)系統(tǒng)CGCS2000CGCS20004. WGS-844. WGS-84坐標(biāo)系坐標(biāo)系5. 5. 站心坐標(biāo)系：站心坐標(biāo)系：坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的過渡坐標(biāo)系。工程上在小范圍內(nèi)有時也直接采用站心坐標(biāo)系。 ( (一一) )不同基準(zhǔn)的坐標(biāo)系統(tǒng)不同基準(zhǔn)的坐標(biāo)系統(tǒng)( (坐標(biāo)原點，指向，橢球參數(shù)）坐標(biāo)原點，指向，橢球參數(shù)）（二）同一基準(zhǔn)中幾種常用坐標(biāo)系（二）同一基準(zhǔn)中幾種常用坐標(biāo)系1.1.空間直角坐標(biāo)系空間直角

3、坐標(biāo)系 2.2.大地坐標(biāo)系大地坐標(biāo)系3.3.高斯平面直角坐標(biāo)系高斯平面直角坐標(biāo)系 4 4、平面直角坐標(biāo)系、平面直角坐標(biāo)系 三個坐標(biāo)原點平移參數(shù) 三個坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)參數(shù) 一個尺度變換參數(shù)統(tǒng)稱為七參數(shù)。 二、測量坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換二、測量坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換（一）（一）不同基準(zhǔn)之間的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換：相同基準(zhǔn)之間轉(zhuǎn)換。（二）同一基準(zhǔn)內(nèi)坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換（二）同一基準(zhǔn)內(nèi)坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換 1.1.空間直角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換空間直角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換 大地坐標(biāo)系向空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方法為：大地坐標(biāo)系向空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方法為： 2222abea卯酉圈的半徑卯酉圈的半徑 2.空間直角坐標(biāo)系向空間大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方法為空

4、間直角坐標(biāo)系向空間大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方法為 在采用上式進行轉(zhuǎn)換時，大地緯度在采用上式進行轉(zhuǎn)換時，大地緯度B B需要用迭代的方法需要用迭代的方法求解。當(dāng)兩次迭代結(jié)果之差求解。當(dāng)兩次迭代結(jié)果之差時，就得到了時，就得到了B B。然后。然后就可確定就可確定H H 。3 3、大地坐標(biāo)系與高斯平面直角坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換、大地坐標(biāo)系與高斯平面直角坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換 2324424632235242225(5 -94)224(61- 58)720cos(1)6(5181458)1205NNxXsinBcosBl +sinBcos Btl +N sinBcos BttlNyNBlcos Btl +N cos Btttl

5、t = tan B 2222222cos abeBeb，l = L-Lo， 式中：式中：（一）測量坐標(biāo)與屏幕坐標(biāo)之間的變換（一）測量坐標(biāo)與屏幕坐標(biāo)之間的變換如圖所示，如圖所示，XOY是測量坐標(biāo)系，是測量坐標(biāo)系，xoy是屏幕坐標(biāo)系。是屏幕坐標(biāo)系。 屏幕坐標(biāo)系的坐標(biāo)單屏幕坐標(biāo)系的坐標(biāo)單位為像素，其取值一般位為像素，其取值一般只能是只能是0 0和正整數(shù)，具體和正整數(shù)，具體取值范圍與屏幕分辨率取值范圍與屏幕分辨率有關(guān)。有關(guān)。三、測量坐標(biāo)系到屏幕坐標(biāo)系和繪圖坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換三、測量坐標(biāo)系到屏幕坐標(biāo)系和繪圖坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換 若屏幕水平方向和垂直方向長度分別為若屏幕水平方向和垂直方向長度分別為sx和和sy，相應(yīng)的實

6、，相應(yīng)的實地長度分別為地長度分別為SY和和SX屏幕左下角的測量坐標(biāo)為屏幕左下角的測量坐標(biāo)為（X0，Y0），），任一點任一點P的測量坐標(biāo)的測量坐標(biāo)（X，Y）和相應(yīng)的屏幕坐標(biāo)和相應(yīng)的屏幕坐標(biāo)（x，y）之間之間存在如下關(guān)系：存在如下關(guān)系：其中，其中，kx=sx/SY和和ky=sy/SX分別為分別為x方向和方向和y方向的比例系數(shù)。方向的比例系數(shù)。 其中，其中，KX=SX /sy和和KY=SY /sx分別為分別為X方向和方向和Y方向的比例系數(shù)。方向的比例系數(shù)。)()(00XXksyYYkxyyx（1）00)(YxKYXysKXYyX（2）2)(2)(ymxmsyykysxxkx（二）圖形縮放時的坐標(biāo)變換

7、（二）圖形縮放時的坐標(biāo)變換1.定倍數(shù)縮放顯示定倍數(shù)縮放顯示設(shè)所選點在原窗口中的坐標(biāo)為設(shè)所選點在原窗口中的坐標(biāo)為(xm，ym)，其相應(yīng)的測量，其相應(yīng)的測量坐標(biāo)為坐標(biāo)為(XM，YM)，縮放倍數(shù)為，縮放倍數(shù)為k，則原窗口中任一點，則原窗口中任一點P的坐的坐標(biāo)標(biāo)(x，y)與縮放后窗口中的坐標(biāo)與縮放后窗口中的坐標(biāo)(x，y)之間存在如下關(guān)系之間存在如下關(guān)系：（3） 縮放后窗口中的坐標(biāo)縮放后窗口中的坐標(biāo)(x，y)與相應(yīng)測量與相應(yīng)測量坐標(biāo)坐標(biāo)(X，Y)之間存在如下關(guān)系：之間存在如下關(guān)系：MxXMyYYsxkKYXsykKX)2()2(2)(2)(yMyxMxsXXKkYsYYKkX (4) (5)2)(2)(

8、ymyxmxsyykysxxkx 設(shè)所選點在原窗口中的坐標(biāo)為設(shè)所選點在原窗口中的坐標(biāo)為(xm，ym)，其相應(yīng)測量坐，其相應(yīng)測量坐標(biāo)為標(biāo)為(XM ，YM)，所選矩形區(qū)域在，所選矩形區(qū)域在x方向和方向和y方向上的長度分方向上的長度分別為別為 ， 則原窗口中任一點坐標(biāo)則原窗口中任一點坐標(biāo)(x，y)與放大后窗與放大后窗口口中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)( )之間的關(guān)系為：之間的關(guān)系為：xsys和和xy， (6) 2.2.開窗放大顯示開窗放大顯示yyysskxxxssk其中，其中，和和分別為分別為x方向和方向和y方向上的放大倍數(shù)。方向上的放大倍數(shù)。MxYxMyXyYsxKkYXsyKkX)2()2(2)(2)(yMy

9、yxMxxsXXkkysYYkkx與相應(yīng)測量坐標(biāo)之間的關(guān)系為：與相應(yīng)測量坐標(biāo)之間的關(guān)系為： （7） （8）xy放大后窗口中的坐標(biāo)放大后窗口中的坐標(biāo)( (，)4104104141iiiiYYXX( (三三) )測量坐標(biāo)系到繪圖儀坐標(biāo)系的換算測量坐標(biāo)系到繪圖儀坐標(biāo)系的換算如圖所示，如圖所示，XOY為測量坐標(biāo)系，為測量坐標(biāo)系，xoy為繪圖儀坐標(biāo)系，為繪圖儀坐標(biāo)系，A（X1，Y1）、）、B(X2，Y2)、C(X3，Y3)、和和D(X4，Y4)是是4個圖個圖廓點的測量坐標(biāo)，則圖幅中心的測量坐標(biāo)為：廓點的測量坐標(biāo)，則圖幅中心的測量坐標(biāo)為： （9）圖幅中任一點圖幅中任一點P的測量坐標(biāo)與相應(yīng)的繪圖儀坐標(biāo)存在如

10、下關(guān)的測量坐標(biāo)與相應(yīng)的繪圖儀坐標(biāo)存在如下關(guān)系：系：MXXyMYYx1)(400001)(4000000式中式中 x、yP點的繪圖儀坐標(biāo)；點的繪圖儀坐標(biāo)； X、YP點的測量坐標(biāo)；點的測量坐標(biāo)； M測圖比例尺分母。測圖比例尺分母。(10) 多數(shù)繪圖儀的單位是脈沖當(dāng)量，一個脈沖當(dāng)量等于多數(shù)繪圖儀的單位是脈沖當(dāng)量，一個脈沖當(dāng)量等于0.025mm0.025mm，即，即1mm1mm相當(dāng)于相當(dāng)于4040個繪圖儀坐標(biāo)單位，即個繪圖儀坐標(biāo)單位，即1m=400001m=40000脈脈沖當(dāng)量。沖當(dāng)量。 一種保留給定區(qū)域內(nèi)的圖形而除掉區(qū)域外一種保留給定區(qū)域內(nèi)的圖形而除掉區(qū)域外圖形的一種圖形處理方法。圖形的一種圖形處理

11、方法。一、直線段的裁剪一、直線段的裁剪 直線段裁剪算法的基本思想是，根據(jù)線段直線段裁剪算法的基本思想是，根據(jù)線段兩端點的位置判斷該直線段是否與裁剪區(qū)域邊兩端點的位置判斷該直線段是否與裁剪區(qū)域邊界相交，如果相交，則計算出交點位置，并用界相交，如果相交，則計算出交點位置，并用裁剪區(qū)域內(nèi)的線段部分取代原線段。裁剪區(qū)域內(nèi)的線段部分取代原線段。3.2 3.2 圖形裁剪圖形裁剪若若yymax,則則C1=1,表示表示P點位于上邊界上方；點位于上邊界上方；若若yymin,則則C2=1,表示表示P點位于下邊界下方；點位于下邊界下方；若若xxmax則則C3=1,表示表示P點位于右邊界右方；點位于右邊界右方；若若x

12、 xmin,則則C4=1,表示表示P點位于左邊界左方。點位于左邊界左方。這里，這里，C1、C2、C3、和、和C4分別分別表示從左至右的第表示從左至右的第1位、第位、第2位、位、第第3位和第位和第4位編碼。若某位為位編碼。若某位為0，則表示，則表示P點的位置與取值為點的位置與取值為1相反相反。minxminymaxxmaxy設(shè)矩形區(qū)域的左下角坐標(biāo)為設(shè)矩形區(qū)域的左下角坐標(biāo)為( (， ) )，右上角坐標(biāo)為（，右上角坐標(biāo)為（，），），P P( (x x，y y) )為平面上任一點，則每一位編碼的定義如下：為平面上任一點，則每一位編碼的定義如下：四位編碼線段裁剪方法四位編碼線段裁剪方法如圖所示，線段相對

13、于矩形裁剪區(qū)域的位置，存在四種可能的情況；如圖所示，線段相對于矩形裁剪區(qū)域的位置，存在四種可能的情況；(1)線段兩端點的四位編碼均為0000，則該線段位于矩形裁剪窗口內(nèi)。(2)線段兩端點的四位編碼均不為0000，且邏輯相乘結(jié)果不為0。此時該線段位于矩形裁剪區(qū)域之外。(3)線段一個端點的四位編碼為0000，另一端點的四位編碼不為0000。此時2個端點位于裁剪區(qū)域內(nèi)外，則需要計算與邊界的交點。(4)線段兩端點的四位編碼均不為0000，且邏輯相乘結(jié)果為0，此時該線段與裁剪區(qū)域邊界無交點或有兩個交點。運算相乘規(guī)則：00=0, 01=0, 10=0, 11=1. max121max121)/()(yyy

14、yyyxxxxmin121min121)/()(yyyyyyxxxx)/()(121max121maxxxxxyyyyxx)/()(121min121minxxxxyyyyxxmaxminmaxminyyyxxx設(shè)線段兩端點的坐標(biāo)分別為（設(shè)線段兩端點的坐標(biāo)分別為（x x1 1，y y1 1）和（）和（x x2 2，y y2 2），則線），則線段與裁剪區(qū)域邊界的交點為：段與裁剪區(qū)域邊界的交點為：上邊界交點：上邊界交點： 下邊界交點：下邊界交點：右邊界交點：右邊界交點： 左邊界交點：左邊界交點： 線段與裁剪區(qū)域存在交點的判別準(zhǔn)則為：線段與裁剪區(qū)域存在交點的判別準(zhǔn)則為： （11）（12）（13）（1

15、4）（15）二、多邊形的裁剪二、多邊形的裁剪三、曲線的裁剪三、曲線的裁剪3.3 3.3 規(guī)則圖形的正形化處理規(guī)則圖形的正形化處理 在外業(yè)數(shù)據(jù)采集過程中，因棱鏡所放位置、儀器誤差以及個別人為因素等，勢必引起碎部點的點位誤差，從而使得許多規(guī)則圖形，如矩形房屋、平行鐵路、圓曲線等測繪成圖后的形狀有一定的變形。 用處理后的數(shù)據(jù)作為規(guī)則地物計算機制圖數(shù)據(jù)進行制圖，以確保規(guī)則地物制圖結(jié)果的美觀和制圖精度。我們把這一過程稱為規(guī)則圖形的幾何糾正，或規(guī)則圖形的正形化處理。一、直角化處理方法一、直角化處理方法1.1.采用比較法進行直角化處理采用比較法進行直角化處理 （1）過C、D兩點作垂直于AB直線垂足交點m、n

16、。 （2）在Bb方向線上，過C、D兩點與Bb直線的垂足交點為p、q。 （3）過C可確定D點的位置。 （4） 計算坐標(biāo)改正數(shù)的平方和。 （5） 依次分別以CD、DC、DA為起始邊進行直角化調(diào)整，取坐標(biāo)改正數(shù)平方和最小的坐標(biāo)作為直角化處理的最優(yōu)結(jié)果。xxyyVVV VV Vjkjiarctankjjkkjyyxxarctanijjiijyyxx ()()0jiijiijkjijjkjijjkkjkkaxbyaaxbbyaxbywjkjiw則可得到條件方程如下：則可得到條件方程如下：2.采用最小二乘法進行直角化處理采用最小二乘法進行直角化處理如圖，測量已知角如圖，測量已知角，則：，則：/2當(dāng)當(dāng) 時，

17、表示時，表示jkjk和和jiji邊構(gòu)成直角條件；當(dāng)邊構(gòu)成直角條件；當(dāng) 時，表示時，表示jkjk和和jiji為一條直線，即構(gòu)成直線條件。為一條直線，即構(gòu)成直線條件。直角化處理直角化處理在測量圓形構(gòu)筑物時，測量圓周上三個點可以唯一確定一個圓，當(dāng)測量點多于3個時，圓曲線上的測量點應(yīng)滿足圓曲線方程：設(shè) ， ， ， ， 。線性化處理得： 對條件平差方程按最小二乘原理進行平差處理，然后按照平差后的坐標(biāo)值進行圖形繪制，就可實現(xiàn)圓曲線的幾何糾正。二、圓形的正形化處理二、圓形的正形化處理000000002)2)2)2)20ixiiyiiixx vyy vxxxyyyr rw（222000iixxyyr000 y

18、yy000 xxx000 rrriixixxviiyiyyv3.4 3.4 曲線的光滑曲線的光滑 一、概述一、概述 曲線光滑也就是曲線擬合或內(nèi)插，即將曲線看成是由一系列的點列連接而成的，只要能根據(jù)已知點內(nèi)插出這些點列的位置，并確保在這些點處具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)或連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，就可保證得到的曲線是光滑的。 曲線的光滑處理方法有兩種類型： 一種是光滑后的曲線不一定通過已知點稱為曲線擬合；曲線擬合； 另一種是光滑后的曲線一定通過已知節(jié)點稱為曲線內(nèi)插曲線內(nèi)插，計算機地圖制圖中大都要求光滑后的曲線通過已知點。線性迭代的缺點是：迭代結(jié)果會造成曲線偏離全部特征點，向內(nèi)收縮，在曲線撓度大時愈加明顯，使曲線定位

19、精度較低。優(yōu)點是：圖形向內(nèi)收縮可以確保等高線即使在較密集的情況下也不會相交，且計算量小。當(dāng)曲線定位精度要求較低時，可采用線性迭代。二、線性迭代法二、線性迭代法擬合的曲線不通過給定的已知點。 三、分段三次多項式插值法三、分段三次多項式插值法 3 3號點處的導(dǎo)數(shù)的計算公式為號點處的導(dǎo)數(shù)的計算公式為 在曲線上每兩個數(shù)據(jù)點之間（即每條折線段上）建立起一條在曲線上每兩個數(shù)據(jù)點之間（即每條折線段上）建立起一條三次曲線，要求整條曲線上具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)來保證曲線的三次曲線，要求整條曲線上具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)來保證曲線的光滑性。每個節(jié)點上的一階導(dǎo)數(shù)是以該點為中心，加上前后各光滑性。每個節(jié)點上的一階導(dǎo)數(shù)是以該點為

20、中心，加上前后各相鄰的兩點（共五個點）共同確定的，因此又稱五點光滑法。相鄰的兩點（共五個點）共同確定的，因此又稱五點光滑法。 12343122343kkkkkkkkkkt)/()(11iiiiixxyyk（1 1）補點的方法：補點的方法： 232310)()(xxgxxggy132435xxxxxx 要求端點要求端點(x3，y3)和其相鄰的二個數(shù)據(jù)點和其相鄰的二個數(shù)據(jù)點(x2，y2)、(x1，y1)以及將要補足的二個點以及將要補足的二個點(x4，y4)、(x5，y5)都在都在拋物線拋物線 上，這樣可以滿足上，這樣可以滿足曲線的原有趨勢。又設(shè)曲線的原有趨勢。又設(shè)從而就能相應(yīng)地確定從而就能相應(yīng)地確定y y4 4和和y y5 5。 121223232323343434344545xxyyxxyyxxyyxxyyxxyyxxyy122334kkkkkk于是有：于是有： 23412322kkkkkk按順序過相鄰二點作一條三次曲線的方程：按順序過相鄰二點作一條三次曲線的方程：332210)()()(iiixxaxxaxxaay確定確定a a0 0，a a1 1，a a2 2，a a3 3的條件是：的條件是：（1 1）點（）點（x xi i, ,y yi i）和（）和（x xi i+1+1, ,y yi i+1+1）通過該曲線；）通過該曲線；（2 2）根據(jù)公式（）根據(jù)公式（1 1）