2017清華大學(xué)自主招生暨領(lǐng)軍計(jì)劃數(shù)學(xué)試題[精校版,帶解析]_歷年自主招生考試數(shù)學(xué)試題大全

1、WORD格式.資料2016年清華大學(xué)自主招生暨領(lǐng)軍計(jì)劃試題1 .已知函數(shù)f (x) =(x2+a)ex有最小值，則函數(shù) g(x) =x2+2x + a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A. 0 B . 1 C . 2 D .取決于a的值 【答案】C【解析】注意f/(x) =exg(x),答案C.2 .已知AABC的三個(gè)內(nèi)角 A, B,C所對(duì)的邊為a, b,c.下列條件中，能使得 AABC的形狀唯一確定的有( )A. a =1,b =2,c Z oB. A =150 ,asin A csin C . 2asin C = bsin BC. cos Asin B cosC cos(B C) cos B sin C =

2、 0,C =600 -0D. a = W3,b =1,A =60【答案】AD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,由于|o5|匕口 + 6,于是匕有雎一取值L符合題意j對(duì)于選項(xiàng)國(guó)由正弦定理，有+，+缶。=/，可得8與3二5=135。，無(wú)解j對(duì)于選項(xiàng)c,條件即3幺向(3-S = 0,于是(屈&0=(90號(hào)/力爐工儂浜0口：60°),不符合題意5 對(duì)于選項(xiàng)D,由正弦定理，有典3 = ；,又5 = 60、于是5 = 30、C = 900,符合題意.3 .已知函數(shù)f (x) =x2 1,g(x) =ln x ,下列說(shuō)法中正確的有()A. f(x), g(x)在點(diǎn)(1,0)處有公切線B,存在f(x)的某

3、條切線與g(x)的某條切線平行C. f (x), g(x)有且只有一個(gè)交點(diǎn)D. f (x), g (x)有且只有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】BD【解析】 注意到y(tǒng)=x1為函數(shù)g(x)在(1,0)處的切線，如圖，因此答案 BD.24.過(guò)拋物線y =4x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于 A, B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn).下列說(shuō)法中正確的有( )A.以線段 AB為直徑的圓與直線 x = -3 一定相離2B. |AB|的最小值為4C. |AB|的最小值為2D.以線段BM為直徑的圓與y軸一定相切【答案】AB1 1一 .，一.【解析】 對(duì)于選項(xiàng) A,點(diǎn)M到準(zhǔn)線x = 1的距離為一(| AF |十| BF |) = 一 | A

4、B | ,于是以線段 AB為直徑 223 911的圓與直線 x = -1 一定相切，進(jìn)而與直線x =-一定相離；對(duì)于選項(xiàng)B,C,設(shè)A(4a2,4a),則B(2-,-)2 4a2 a一21于是| AB |=4a2 +2 + 2 ,最小值為4.也可將| AB |轉(zhuǎn)化為AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的 2倍去得到最小值； 4a21 一.對(duì)于選項(xiàng)D,顯然BD中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與 -|BM |不一定相等，因此命題錯(cuò)誤 .2225.已知F1,F2是橢圓C:+4=1(a AbA0)的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上一點(diǎn).下列說(shuō)法中正確的有 a b( )A. a = &b時(shí)，滿足NF1PF2 =900的點(diǎn)P有兩個(gè)B. a &

5、gt; J2b時(shí)，滿足/F1PF2 =90°的點(diǎn)P有四個(gè)C. APFF2的周長(zhǎng)小于4a2aD. APFF2的面積小于等于一2【答案】ABCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A, B,橢圓中使得/F1PF2最大的點(diǎn)P位于短軸的兩個(gè)端點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng)C, AF1PF2的周-2.一 一,一 11 八 PFI + 1 PA 門 1。長(zhǎng)為 2a +2c < 4a；選項(xiàng) D, AF1PF2 的面積為一|PF1 |，| PF21sin NF1PF2 M - -一U-| 1 =a2.22 <2）26 .甲、乙、丙、丁四個(gè)人參加比賽，有兩花獲獎(jiǎng) .比賽結(jié)果揭曉之前，四個(gè)人作了如下猜測(cè)：甲：兩名獲獎(jiǎng)?wù)咴谝?、丙?/p>

6、丁中；乙：我沒有獲獎(jiǎng)，丙獲獎(jiǎng)了；丙：甲、丁中有且只有一個(gè)獲獎(jiǎng)；?。阂艺f(shuō)得對(duì).已知四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測(cè)是正確的，那么兩個(gè)獲獎(jiǎng)?wù)呤牵ǎ〢.甲B.乙C.丙D. 丁【答案】BD【解析】 乙和丁同時(shí)正確或者同時(shí)錯(cuò)誤，分類即可，答案：BD.7 .已知AB為圓O的一條弦（非直徑），OC _L AB于C , P為圓O上任意一點(diǎn)，直線 PA與直線OC相交于點(diǎn)M ,直線PB與直線OC相交于點(diǎn)N ,以下說(shuō)法正確的有（）A. O,M,B, P四點(diǎn)共圓B. A,M,B,N四點(diǎn)共圓C. A,O,P, N四點(diǎn)共圓D.以上三個(gè)說(shuō)法均不對(duì)【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A, ZOBM =/OAM =/OPM即得；對(duì)于選項(xiàng)

7、B,若命題成立，則 MN為直徑，必然有/MAN為直角，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C, /MBN =/MOP=2MAN即得.答案：AC.8 . sin A+sin B+sin C >cosA+ cosB+cosC 是 &ABC 為銳角三角形的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】 必要性：由于 sin B+sin C >sin B+sin('B) = sin B +cosB >1 , 2類似地，有 sin C sin A 1,sinB sin A 1 ,于是 sin A + sin B+sinC > cosA +

8、 cosB + cosC .不充分T當(dāng) a =E,b =C =三時(shí)，不等式成立，但 AABC不是銳角三角形. 24- ，一，一、 11 11 ,9 .已知x, y, z為正整數(shù)，且xEy Ez,那么方程一+=的解的組數(shù)為()xy z 2A. 8B. 10C. 11D. 12【答案】B11113._【解析】由于一=+W,故3WxW6.2 x y z x若 x=3,則(y -6)(z -6) =36,可得(y,z) =(7,42), (8,24), (9,18), (10,15), (12,12);若 x=4,則(y4)(z4)=16,可得(y,z) = (5,20),(6,12),(8,8);_

9、311220右 x =5 ,則-=+- <, y < 一，y = 5,6 ,進(jìn)而解得(x, y, z) = (5,5,10)；10 y z y 3若 x=6,則(y 3)(z3) =9 ,可得(y,z) = (6,6) .答案：B.10 .集合 A =a1，a2,，an,任取 1 Mi < j <k <n,ai +aj w A,aj +a A, ak +ai w A 這三個(gè)式子中至少有一個(gè)成立，則 n的最大值為()A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】不妨假設(shè) >生若集合月中的正數(shù)的個(gè)數(shù)大于等于3由于的 +生和6+為均大于% >于是有叼+用

10、=q+ % =外 > 從而用二q ?矛盾！所以集含A中至多有3個(gè)正數(shù)-同理可知集合A中最多有3個(gè)負(fù)救.取d = -32lQL23,滿足題意，所以理的最大值為7.答案B.11 .已知儀=1°, P =61°，尸=121° ,則下列各式中成立的有()A. tan 上 tan，tan : tantan tan =3B. tan ：tan : tan ： tantan tan : - -3C.tan 二二 tan “1 ； tantan 二 tan : tantan : Tan P - tantan 二 tan : tan【答案】BD【解析】 令 x = tan o

11、t, y = tan P, z = tan ¥ ,則="3 ,所以1 xy 1 yz 1 zxy z = "3(1+xy), z y = J3(1 + yz), x z = J3(1 + zx),以上三式相加，即有 xy + yz+zx = 3.類似地，有-=( +1),- - = v,r3( +1),- =73( +1),以上三式相加，即有 x y xy y z yz z x zx111十十 xyyz zxx y z ,x一匕，=3 .答案 BD.xyz12 .已知實(shí)數(shù)a,b, c滿足a+b+ c =1,則<4a +1 + ,4b+1 + j4c + 1的

12、最大值也最小值乘積屬于區(qū)間A. (11,12)B . (12,13) C . (13,14)D . (14,15)【解析】設(shè)函數(shù)的切線y/2f (x) = J4x+1 ,則其導(dǎo)函數(shù) f (x)=4x 11，作出f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象在x =一 32.211. 21(x - )+,以及函數(shù)f (x)733的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,。)和(3, J7)的割線4241, 一 一 一= -j=x ,如圖，于是可得,77-i x + -i 三 4 4x +1 W,7.72 211. 21(x) + ，左側(cè)等號(hào)當(dāng)733x或 4x = 3時(shí)取得； 右側(cè)等號(hào)當(dāng)x =1時(shí)取得.因此原式的最大值為 歷,當(dāng)a

13、= b = c ='時(shí)取得；最小值為 233J7,當(dāng)a =b = 1,c = 3時(shí)取得，從而原式的最大值與最小值的乘積為7V3£ (<144,Vi69).答案B.4222213.已知x, y,zwR, x+y+z=1,x +y +z =1,則下列結(jié)論正確的有(4A. xyz的取大值為0B. xyz的取大值為 27C. z的最大值為2D. z的最小值為33【答案】ABD【解析】由x+v + z = Ld +/ + / =1可得個(gè)+尸+zx = 0.設(shè)孫z = 則及>"是關(guān)于r的方程/(O)-oO 尸c = 0的三個(gè)根.令廣二產(chǎn)匕，則利用導(dǎo)數(shù)可得2,4 八，

14、所以13274，- - <C = xyz<0 ,等號(hào)顯然可以取到.故選項(xiàng)A, B都對(duì).因?yàn)閦>«2(V+/) = 2Q /),所以等號(hào)顯然可以取到故選項(xiàng)C書需.、 * 一 .，14.數(shù)列an滿足ai =1,a2 =2, an毛=6an4an(n w N )，對(duì)任息正整數(shù)n ,以下說(shuō)法中正確的有 ()一 2A. an書an 毛an 為定值B . an =1(mod9)或 an =2(mod9)C. 4an4an -7為完全平方數(shù)d . 8and1an-7為完全平方數(shù)【答案】ACD【解析】因?yàn)閍n 2 an3an 1 an2 一(6an2 an1)an 1= an .2

15、 6an -2an 1an122=an 電(anH2 -6an籍+an =an+an書an,選項(xiàng) A正確；由于 a3=11,故222-2an ； an也an = an書(6an書an) an = an書6an書an + an = -7 ,又對(duì)任息正整數(shù)恒成立，所以224an由an -7 =(an+ -an) ,8an由an -7 = (an書+an),故選項(xiàng)C、D正確.計(jì)算刖幾個(gè)數(shù)可判斷選項(xiàng)B錯(cuò)反.2說(shuō)明：右數(shù)列 an滿足an七=pan由-an，則an4 - an也an為7E值. .1,一 15 .右復(fù)數(shù)z滿足z+ =1,則z可以取到的值有(，5 -1C.2,51D.2【答案】CD【解析】因?yàn)?/p>

16、|z|工 Ez+1 =1,故匕5二1E|z怪吏二口，等號(hào)分別當(dāng)ZufHUi和z = Xl二1i時(shí) |z| z2222取得.答案CD.16 .從正2016邊形的頂點(diǎn)中任取若干個(gè)，順次相連構(gòu)成多邊形，若正多邊形的個(gè)數(shù)為（）A. 6552 B . 4536 C . 3528 D . 2016【答案】C【解析】 從2016的約數(shù)中去掉1 , 2,其余的約數(shù)均可作為正多邊形的邊數(shù).設(shè)從2016個(gè)頂點(diǎn)中選出k個(gè)構(gòu)成正多邊形，這樣的正多邊形有 2016個(gè)，因此所求的正多邊形的個(gè)數(shù)就是2016的所有約數(shù)之和減去 2016k5 一 2_和1008.考慮到2016=2父3父7,因此所求正多邊形的個(gè)數(shù)為(1 +2

17、+4 +8 +16 +32)(1 +3+9)(1 +7) -2016 1008=3528 .答案 C.22過(guò)橢圓上一點(diǎn) P作l12的平行線,17 .已知橢圓 與+與=1(a Ab0)與直線l1:y = a2 b21分別交l1,l2于M,N兩點(diǎn).若1 MN|為定值，則）A. 2B. .3C. 2D. . 5【答案】C111111.【解析】設(shè)點(diǎn) P(Xo, y°),可得 M (Xo + y。, + yO), N( % y°,x° + y°),故息242242|MN | = J1x2+4y2為定值，所以=。=16,1巴=2,答案：C.1 4b 1, b4a 1

18、說(shuō)明：（1）若將兩條直線的方程改為y =±kx ,則=-；（2）兩條相交直線上各取一點(diǎn)M , N ,使得| MN |為定值，則線段 MN中點(diǎn)Q的軌跡為圓或橢圓18 .關(guān)于x, y的不定方程x2 +165 =2y的正整數(shù)解的組數(shù)為（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B1解析】方程兩邊同時(shí)模3,可得V = 2"mod3)T因2)不能被3整除，故/不能被3整除，所以V三l(mod3),故2l(mod3),所以,為偶數(shù)，可設(shè)y = 2用(me V),則有仁一以k+H =615 = 3x5x4,解得產(chǎn) r = *即,"熱答案：B> pM+x = 123, J&

19、#39; = 12.19 .因?yàn)閷?shí)數(shù)的乘法滿足交換律與結(jié)合律，所以若干個(gè)實(shí)數(shù)相乘的時(shí)候，可以有不同的次序.例如，三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c相乘的時(shí)候，可以有(ab)c,(ba)c,c(ab), b(ca), 等等不同的次序.記n個(gè)實(shí)數(shù)相乘時(shí)不同的次序有In種，則()A. I2=2 B . 13=12C . I4 =96 D , I5 =120專業(yè).整理【答案】B【解析】根據(jù)卡特蘭數(shù)的定義，可得In =CnAnn =1C21M H = (n 1)!C；ni .答案：ABn關(guān)于卡特蘭數(shù)的相關(guān)知識(shí)見卡特蘭數(shù)一一計(jì)數(shù)映射方法的偉大勝利20 .甲乙丙丁 4個(gè)人進(jìn)行網(wǎng)球淘汰賽，規(guī)定首先甲乙一組、丙丁一組進(jìn)行比賽，

20、兩組的勝者爭(zhēng)奪冠軍人相互比賽的勝率如表所示:甲乙丙T甲U303Q.a乙070.60.4內(nèi)0,7WL一0.5T0.20.60.5例如甲擊敗乙的概率是0.3 ,乙擊敗丁表中的每個(gè)數(shù)字表示其所在的選手擊敗其所在列的選手的概率, 的概率是0.4 .那么甲刻冠軍的概率是【答案】0.165【解析】 根據(jù)概率的乘法公式，所示概率為0.3(0.5m0.3+0.5父0.8)=0.165.21 .在正三棱錐P-ABC中，AABC的邊長(zhǎng)為1.設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為x,異面直線AB,CP的距則 ximy 二3【解析】當(dāng)XT8時(shí)，CP趨于與平面 ABC垂直，所求極限為 AABC中AB邊上的高，為 .11 22 .如

21、圖，正萬(wàn)體 ABCD AB1C1D1的棱長(zhǎng)為1,中心為O, BF = BC,A1E =A1A ,則四面體OEBF 24的體積為【解析】根據(jù)題意，有?n2ni2n0 (x ti)(1 sin x)dx =x x2n(1+sin2n x)dx = 0.JI1.1.1 1.1【斛析】 如圖' VOEBF - VO _EBF = 一 VG 上BF =一 VE_GBFVE_BCC1B1 二222 1696口 102 -2n 12n23 . (x-n)(1+sin x)dx =24 .實(shí)數(shù)x, y滿足(x22 -3213(x,y,z) = (1, 一,0)時(shí)，x + y + z取到最大值 一.根據(jù)

22、題意，有 2 +y2)3 =4x2y2 ,則x2 + y2的最大值為 .【答案】122、3, 22 , 22、222221【斛析】 根據(jù)題思，有(x +y) =4xy <(x +y),于是x +y <1 ,等號(hào)當(dāng)x = y =一時(shí)取得,2因此所求最大值為1.1 223 227【解析】 由柯西不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)25 . x, y,z均為非負(fù)頭數(shù)，滿足 (x+)+(t+1) +(z十一)=，則x + y + z的最大值與最小值分別 22422213 一x +y +z +x+2y+3z =，于4口 13,、2 、.22-3是 一 M(x + y+z) +3(x + y + z)y,解得

23、 x + y + z之4222 - 322 -3x + y + z的最小值當(dāng)(x,yz)=(0,0,)時(shí)取得，為 2226 .若O為MBC內(nèi)一點(diǎn)，滿足S obS倬o cS/o/f4:3:2 ,設(shè) AO = KAB + NAC ,則【答案】2 3【解析】根據(jù)奔馳定理，有一，一2 二27 .已知受數(shù)z =cos十i sin 3z2 z 2【解析】根據(jù)題意，有2_z2z 2,25 二二1 z 二z = cos 3:.5 二i sin -1.3.28 .已知z為非零復(fù)數(shù),z 40 , 、，_、，,40的實(shí)部與虛部均為不小于10 z1的正數(shù)，則在復(fù)平面中,z所對(duì)應(yīng)的向量OP的端點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積為200二一100 .3 - 300340設(shè) z =x+yi(x, y 仁 R),由于 一 zJTJT100 二-100,四邊形20 -40z|z|2 '上，義之1,101040x140y22 一 I, 22x y x y如圖，弓形面積為-1,ABCD 的面積為 2 -(IOvS-IO) 10 = 10073-100.2 100二200一于是所示求面積為 2(100 -100) (100、3-100) =200- 100, 3 -300. 33sin 4xsin 2xs