第7章動態(tài)電路狀態(tài)變量分析

1、“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)第七章第七章 動態(tài)電路的狀態(tài)變量分析動態(tài)電路的狀態(tài)變量分析 n 7.1 電路的狀態(tài)和狀態(tài)變量電路的狀態(tài)和狀態(tài)變量 n 7.2 狀態(tài)方程及其列寫狀態(tài)方程及其列寫 n 7.3 狀態(tài)方程的解法狀態(tài)方程的解法 n 7.4 應(yīng)用實例：解微分方程電路應(yīng)用實例：解微分方程電路“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)7.1 電路的狀態(tài)和狀態(tài)變量電路的狀態(tài)和狀態(tài)變量 本章將給出電路的狀態(tài)和狀態(tài)變量的定義，討論本章將給出電路的狀態(tài)和狀態(tài)變量的定義，討論狀態(tài)方程的列寫方法和求解方法。狀態(tài)方程的列寫方法和求解方法。一、狀態(tài)變量一、狀態(tài)變量 狀態(tài)的定義：狀態(tài)的定義

2、：一個電路的狀態(tài)是指在某個給定時刻必一個電路的狀態(tài)是指在某個給定時刻必須具備最少量的信息，這些信息與該時刻以后的激勵，須具備最少量的信息，這些信息與該時刻以后的激勵，就能夠完全確定以后任何時刻該電路的行為。就能夠完全確定以后任何時刻該電路的行為。 狀態(tài)變量法不僅適用于分析線性非時變電路，而狀態(tài)變量法不僅適用于分析線性非時變電路，而且適合用來分析線性時變電路和非線性電路。且適合用來分析線性時變電路和非線性電路。狀態(tài)變量狀態(tài)變量( (state variable)state variable)：一組能夠確定電路行為一組能夠確定電路行為的最少變量。的最少變量?！笆晃迨晃濉币?guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電

3、路基礎(chǔ)礎(chǔ) 一般來說，電路變量的集合一般來說，電路變量的集合x(t)滿足以下兩個條件滿足以下兩個條件，可作為電路的狀態(tài)。，可作為電路的狀態(tài)。(1) (1) 如果已知如果已知x(t)（其各個元素都是獨立的）在其各個元素都是獨立的）在t t0 0時刻時刻的值的值x(t0)以及從以及從t0開始的輸入開始的輸入w(t)，則對任意則對任意t t0，x(t)就能完全確定。就能完全確定。(2) (2) 由由x(t)和和w(t)可確定任何其它電路變量集可確定任何其它電路變量集y(t)。 在電路分析中，一般選全部獨立的電容電壓在電路分析中，一般選全部獨立的電容電壓uC（或或電荷電荷qC）和獨立的電感電流和獨立的電

4、感電流iL（或磁通或磁通 L L）的集合作為電的集合作為電路的狀態(tài)路的狀態(tài)x(t)。 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)狀態(tài)軌跡狀態(tài)軌跡( (state trajectory)state trajectory) 狀態(tài)向量狀態(tài)向量x(t)在任一時在任一時刻刻t的值稱為電路在該時刻的狀態(tài)。每一時刻的狀態(tài)在狀的值稱為電路在該時刻的狀態(tài)。每一時刻的狀態(tài)在狀態(tài)空間中都對應(yīng)一個態(tài)空間中都對應(yīng)一個“點點”，所有這些，所有這些“點點”形成的形成的“軌跡軌跡”，稱為，稱為狀態(tài)軌跡狀態(tài)軌跡。通過狀態(tài)軌跡人們就可以判斷通過狀態(tài)軌跡人們就可以判斷電路的基本性質(zhì)電路的基本性質(zhì)狀態(tài)空間狀態(tài)空間( (stat

5、e space)state space)把每個狀態(tài)變量作為一個坐標(biāo)把每個狀態(tài)變量作為一個坐標(biāo)形成的空間。形成的空間?！笆晃迨晃濉币?guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)例：例：RLC并聯(lián)電路的響應(yīng)分析并聯(lián)電路的響應(yīng)分析 （1）以以iL為求解對象的微為求解對象的微分方程分方程220LLLd idiLLCidtR dt初始值：初始值：iL(0+)= I0、uC(0+)=U0 （2 2）以）以iL和和uC作為變量分別列寫作為變量分別列寫RLC并聯(lián)并聯(lián)電路的方程，則有：電路的方程，則有：LCdiLudtCCLSduuCiidtR 在二階電路中學(xué)過在二階電路中學(xué)過“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基

6、礎(chǔ)礎(chǔ)表示成矩陣形式表示成矩陣形式 100111LLSCCdiidtLiuduCCRCdt是以是以iL和和uC為變量的一階微分方程組。為變量的一階微分方程組。00(0 )(0 )LCiIuU初始值初始值iL(0+)= I0、uC(0+)=U0也可表示成也可表示成稱這一階微分方程組為稱這一階微分方程組為RLC并聯(lián)電路動態(tài)過程的狀態(tài)方程并聯(lián)電路動態(tài)過程的狀態(tài)方程( (state equations)state equations)，并可簡寫成并可簡寫成 xAxBw“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ) xAxBw其中其中x= iL uCT稱為電路的狀態(tài)稱為電路的狀態(tài)x中的元素中的元素iL和

7、和uC稱為狀態(tài)變量稱為狀態(tài)變量A A、B B 為系數(shù)矩陣，取決于電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件參數(shù)為系數(shù)矩陣，取決于電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件參數(shù)W 為輸入向量為輸入向量x(0+)= I0 U0T 為電路的初始狀態(tài)為電路的初始狀態(tài)x(0-) 電路的原始狀態(tài)電路的原始狀態(tài)x(0+)=x(0-)=x(0)=x0根據(jù)換路定律有根據(jù)換路定律有“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)（1 1）當(dāng)）當(dāng)w = 0，x0 0時，狀態(tài)方程描述零輸入響應(yīng)；時，狀態(tài)方程描述零輸入響應(yīng)；（2 2）當(dāng)）當(dāng)w 0，x0= 0時，狀態(tài)方程描述零狀態(tài)響應(yīng)；時，狀態(tài)方程描述零狀態(tài)響應(yīng)；（3 3）當(dāng)）當(dāng)w 0，x0 0時，狀態(tài)方程描述完全響

8、應(yīng)。時，狀態(tài)方程描述完全響應(yīng)。( (a) a) 過阻尼情況的時域波形過阻尼情況的時域波形( (b) b) 過阻尼情況的狀態(tài)空間軌跡過阻尼情況的狀態(tài)空間軌跡RLC并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)(a) 欠阻尼情況欠阻尼情況(b) 無阻尼情況無阻尼情況(c) 發(fā)散情況發(fā)散情況電路的狀態(tài)空間軌跡能夠反映電路的特性電路的狀態(tài)空間軌跡能夠反映電路的特性 1.1.過阻尼情況過阻尼情況: : 狀態(tài)軌跡從狀態(tài)軌跡從t t=0=0+ + 的初始狀態(tài)的初始狀態(tài)x x0 0=I I0 0 U U0 0 T T開始，在開始，在t t= = 時終止于坐標(biāo)原點時終止

9、于坐標(biāo)原點 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)（2 2）欠阻尼情況：狀態(tài)軌跡是從）欠阻尼情況：狀態(tài)軌跡是從t t=0=0+ + 到到t t= = 時的螺旋線時的螺旋線 （3 3）無阻尼情況：狀態(tài)軌跡是以原點為對稱的橢圓）無阻尼情況：狀態(tài)軌跡是以原點為對稱的橢圓 （4 4）響應(yīng)為增幅振蕩情況：在）響應(yīng)為增幅振蕩情況：在t t趨于趨于 時，零輸入響時，零輸入響應(yīng)成為無界，狀態(tài)軌跡是向外發(fā)散的。應(yīng)成為無界，狀態(tài)軌跡是向外發(fā)散的。 (a) 欠阻尼情況欠阻尼情況(b) 無阻尼情況無阻尼情況(c) 發(fā)散情況發(fā)散情況“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)注意：注意：在線性非時變電路中

10、，由于求解電路響應(yīng)所必需在線性非時變電路中，由于求解電路響應(yīng)所必需的初始條件可以由電容的初始電壓和電感的初始電流完的初始條件可以由電容的初始電壓和電感的初始電流完全確定，所以通常選取獨立的電容電壓全確定，所以通常選取獨立的電容電壓uC和獨立的電感和獨立的電感電流電流iL作為狀態(tài)變量作為狀態(tài)變量 即電路獨立狀態(tài)變量的個數(shù)即電路獨立狀態(tài)變量的個數(shù)電路的電路的復(fù)雜度復(fù)雜度( (complexity)complexity)，亦稱亦稱自由度自由度( (freedom)freedom)。 （1 1）無源（）無源（RLCRLC）電路的復(fù)雜度為電路的復(fù)雜度為n = nC + nL lC qL （2 2）有源電

11、路復(fù)雜度的上下限為）有源電路復(fù)雜度的上下限為0 n nC + nL lC qL “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)7.2 7.2 狀態(tài)方程及其列寫狀態(tài)方程及其列寫.1狀態(tài)方程和輸出方程狀態(tài)方程和輸出方程 一、一、狀態(tài)方程狀態(tài)方程一階微分方程組一階微分方程組1212( , ) 1,2,iinmxf x xx w wwtin其一般形式為其一般形式為( , ) t xf x w矩陣形式為矩陣形式為11 1,2,nmiikkijjkjxa xb win線性非時變動態(tài)電路，狀態(tài)方程是一階線性微分方程組線性非時變動態(tài)電路，狀態(tài)方程是一階線性微分方程組其形式為其形式為“十一五十

12、一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ) xAxBw矩陣形式為矩陣形式為0(0 )xx初始條件初始條件狀態(tài)向量狀態(tài)向量T12nx xxxT12nx xx xT12mw wwwT010200nx xxx初始狀態(tài)初始狀態(tài)n狀態(tài)變量狀態(tài)變量xi的個數(shù)的個數(shù)m輸入激勵輸入激勵wj的個數(shù)的個數(shù)“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)二、輸出方程的一般形式為二、輸出方程的一般形式為1212( , ) 1,2,iinmyg x xx w wwtir( , ) tyg x w矩陣形式矩陣形式11 1,2,nmiikkijjkjyc xd wir線性非時變動態(tài)電路，輸出方程是線性代數(shù)方程組線性非時變動態(tài)電

13、路，輸出方程是線性代數(shù)方程組其形式為其形式為yCxDw矩陣形式矩陣形式r為輸出變量為輸出變量yi的個數(shù)的個數(shù) T12ry yyy為輸出向量為輸出向量“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)C=cikr n和和D=dijr m系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣yCxDwEw此時輸出方程的形式為此時輸出方程的形式為如果電路中存在如果電路中存在（1）C與電壓源與電壓源uS組成的回路組成的回路（2）L與電流源與電流源iS組成的割集組成的割集SLLSdidiuLLLidtdtCSCSduduiCCCudtdt則輸出方程中將出現(xiàn)輸出向量導(dǎo)數(shù)則輸出方程中將出現(xiàn)輸出向量導(dǎo)數(shù)“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)

14、礎(chǔ)7.2.2 7.2.2 線性非時變動態(tài)電路狀態(tài)方程的列寫線性非時變動態(tài)電路狀態(tài)方程的列寫列寫方法列寫方法直接觀察直接觀察置換方法置換方法系統(tǒng)法系統(tǒng)法 這里介紹直接觀察或置換方法列寫電路的狀態(tài)方程。這里介紹直接觀察或置換方法列寫電路的狀態(tài)方程。不太復(fù)雜的電路不太復(fù)雜的電路復(fù)雜的電路復(fù)雜的電路一、直接觀察法一、直接觀察法步驟步驟(1) (1) 選一個樹，使它包含全部電容（和無伴電壓源支選一個樹，使它包含全部電容（和無伴電壓源支路）而不含電感（和無伴電流源支路）。路）而不含電感（和無伴電流源支路）。(2) (2) 對每個電容樹支確定的基本割集列寫對每個電容樹支確定的基本割集列寫KCLKCL方程；對

15、方程；對每個電感連支確定的基本回路列寫每個電感連支確定的基本回路列寫KVLKVL方程。方程。“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)(3) (3) 消去以上兩組方程中的非狀態(tài)變量（就是將非狀消去以上兩組方程中的非狀態(tài)變量（就是將非狀態(tài)變量用狀態(tài)變量和激勵來表示），并整理成標(biāo)準(zhǔn)形式態(tài)變量用狀態(tài)變量和激勵來表示），并整理成標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程。的狀態(tài)方程。 二、輸出方程的列寫二、輸出方程的列寫（1 1）用置換定理將每個電容）用置換定理將每個電容C用電壓源用電壓源uC置換置換將每個電感將每個電感L用電流源用電流源iL置換置換（2 2）將非狀態(tài)變量用狀態(tài)變量和輸入激勵表示）將非狀態(tài)變量用狀態(tài)變量

16、和輸入激勵表示（3 3）整理成標(biāo)準(zhǔn)形式的輸出方程）整理成標(biāo)準(zhǔn)形式的輸出方程 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)(1) (1) 選選1 1、3 3、4 4作為樹支，則作為樹支，則2 2、5 5為連支。為連支。例例.1 試列出圖試列出圖( (a)a)所示電路的狀態(tài)方程。所示電路的狀態(tài)方程。解：解：1.1.直接觀察法寫狀態(tài)方程直接觀察法寫狀態(tài)方程(2) (2) 對電容對電容C3確定的基本割集確定的基本割集1 1列寫列寫KCLKCL方程方程3352CLRduCiidt(a)“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)1割集2割集回路12534對電感對電感L5確定的基本

17、回路列寫確定的基本回路列寫KVLKVL方程方程442CRduCidt55311LCRsdiLuRiudt 對電容對電容C4確定的基本割集確定的基本割集2 2列寫列寫KCLKCL方程方程(3) (3) 用用uC3、uC4、iL5和和uS表示非狀態(tài)變量表示非狀態(tài)變量iR1和和iR2，得到得到341522CCRLRuuiiiR，“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)代入基本割集和基本回路方程，有代入基本割集和基本回路方程，有3343522CCCLduuuCidtRR 434422CCCduuuCdtRR55315LCLsdiLuRiudt 整理成標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程為整理成標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程

18、為332323344424255155511101100110CCCCSLLduC RC RCdtuduuudtC RC RidiRLdtLL“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)整理后可得標(biāo)準(zhǔn)形式的輸出方程整理后可得標(biāo)準(zhǔn)形式的輸出方程352CLRiii513LRCSuuuu 若以若以iC3和和uL5作為輸出變量，則有作為輸出變量，則有332245151110110CCCSLLuiRRuuuRi 2.2.寫輸出方程寫輸出方程“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)例例.2 將上例電路中的電感將上例電路中的電感L5改為電壓控制電壓源改為電壓控制電壓源 uR1，如

19、圖如圖( (a)a)所示。試列出電路的狀態(tài)方程。所示。試列出電路的狀態(tài)方程。 1割 集2割集12534解解: : 按直接觀察的步驟列寫按直接觀察的步驟列寫 （1 1）受控源可先按獨立源處理）受控源可先按獨立源處理 3312CRRduCiidt442CRduCidt(2)(2)列寫基本割集列寫基本割集1 1和和2 2的的KCLKCL方程方程(a)“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)(3) (3) 用用uC3、uC4和和uS表示非狀態(tài)變量表示非狀態(tài)變量iR1和和iR2，得到得到3341212(1)SCCCRRuuuuiiRR，代入基本割集方程，有代入基本割集方程，有3412331221

20、(1)(1)(1)CCSCduuuRRCudtR RRR 434422CCCduuuCdtRR標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程為標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程為12312323313444242(1)11(1)(1)110CCSCCRRduR R CR CudtRCuuduC RC Rdt“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)當(dāng)當(dāng) = 1時，狀態(tài)方程將變成時，狀態(tài)方程將變成444242424CCSCSduuuuudtR CR CR C 因為電路中含有受控源，當(dāng)因為電路中含有受控源，當(dāng) = 1時，電容電壓時，電容電壓uC3 =uS已不再獨立所造成的。已不再獨立所造成的。 由電路復(fù)雜度公式可知其獨立狀態(tài)變量的上下

21、限為由電路復(fù)雜度公式可知其獨立狀態(tài)變量的上下限為0 n 2。若若 1，則電路的復(fù)雜度為則電路的復(fù)雜度為2 2，電路有兩個狀態(tài)變量；，電路有兩個狀態(tài)變量；若若 = 1，則電路的復(fù)雜度降為則電路的復(fù)雜度降為1 1，電路只有，電路只有1 1個狀態(tài)變量個狀態(tài)變量“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)例例.3 試列出圖試列出圖( (a)a)所示電路的狀態(tài)方程。并以所示電路的狀態(tài)方程。并以uR7和和uR9作為輸出變量，列寫輸出方程。作為輸出變量，列寫輸出方程。 (a) (b) 拓?fù)鋱D拓?fù)鋱D 解：直接觀察法解：直接觀察法選支路選支路3 3、4 4、6 6、7 7、8 8和和9 9為

22、樹支；則為樹支；則1 1、2 2作為連支作為連支 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)1134679LCCRRRdiLuuuuudt 224789LCRRRdiLuuuudt 列寫基本回路列寫基本回路1 1和和2 2的的KVLKVL方程方程（2 2）列寫基本割集）列寫基本割集1 1和和2 2的的KCLKCL方程方程331CLduCidt4412CLLduCiidt(3)(3)非狀態(tài)變量非狀態(tài)變量uR6、uR7、uR8和和uR9用用iL1、iL2、uC3、uC4和和uS表示?？傻帽硎尽？傻?617712882()RLRLLRLuR iuR iiuR i，“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教

23、材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)uR9的求取可應(yīng)用置換定理，將電感和電容分別用電流的求取可應(yīng)用置換定理，將電感和電容分別用電流源和電壓源置換源和電壓源置換 (c) 用電流源置換圖用電流源置換圖(a)中間支路中間支路(d) 圖圖(c)的等效電路的等效電路可得可得9951259RSLLRuuRiiRR“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)經(jīng)整理可得標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程經(jīng)整理可得標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程61111111822222923359344441111011000001100LLLLSCCCCRRRdiLLLLdtLiRRRdiLLLiRdtuLuduRRdtCududtCC其中其中 59759R RR

24、RRR“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)整理后標(biāo)準(zhǔn)形式的輸出方程為整理后標(biāo)準(zhǔn)形式的輸出方程為177725959993595959400000LRLSRCCiRRuiuR RR RRuuRRRRRRu因為因為uR7和和uR9為輸出為輸出 7717259599912595959RLLRLLSuR iR iR RR RRuiiuRRRRRR “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)例例.4 試列出圖試列出圖( (a)a)所示電路的狀態(tài)方程。已知所示電路的狀態(tài)方程。已知R1=R2=5 ，g=0.2，C=1F，L1=2H，L2=3H，M=1H。12CLLCduCii

25、gudt1222211112211()(1)LLLLLLCSdidiMLR iuRiRR igRuRidtdt （1 1）列寫基本割集）列寫基本割集KCLKCL方程方程解解 直接觀察列寫直接觀察列寫 對耦合電感支路對耦合電感支路L L1 1確定的基本回路確定的基本回路1 1列寫列寫KVLKVL方程方程“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)1222211112211()(1)LLLLLLCSdidiMLR iuRiRR igRuRidtdt 對耦合電感支路對耦合電感支路L L2 2確定的基本回路確定的基本回路2 2列寫列寫KVLKVL方程方程(3) (3) 由兩個基本回路方程可解得由兩

26、個基本回路方程可解得 1211212221211()()()(1)()LLLCSdiMLR iMLRMR iMLgRuMLR idtL21111112211111()()()(1)()LLLCSdiML RiML RL R iMLgRuML RidtL212LL LM其中其中“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)可得標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程可得標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程12212212111211112111121()()(1)()()(1)110LLLLSCCdiMLML RMRMLgRLMRRdtLLLLidiMLML RL RMLgRLMRiRidtLLLLugduCCCdt代入具體參數(shù)，代

27、入具體參數(shù)，求得狀態(tài)方程求得狀態(tài)方程1122421522131501115LLLLSCCdidtidiiidtududt “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)二、用置換法列寫狀態(tài)方程二、用置換法列寫狀態(tài)方程 置換方法置換方法：即用電流源：即用電流源iL置換電感置換電感L，用電壓源用電壓源uC置換置換電容電容C。置換后的電路成為一個電阻性電路置換后的電路成為一個電阻性電路 則：則：“電流源電流源”iL兩端的電壓兩端的電壓 uL=LdiL/dt用狀態(tài)變量用狀態(tài)變量iL、uC和輸入激勵和輸入激勵iS、uS表示表示 “電壓源電壓源”uC中的電流中的電流 iC=CduC/dt用狀態(tài)變量用狀態(tài)

28、變量iL、uC和輸入激勵和輸入激勵iS、uS表示表示 整理后，即可得出狀態(tài)方程整理后，即可得出狀態(tài)方程 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)例例.5 試用置換法重新列出圖試用置換法重新列出圖 ( (a)a)所示電路的狀態(tài)所示電路的狀態(tài)方程方程 (a) 等效電路等效電路 9912595SRLLRuuiiRRR 由等效電路可得：由等效電路可得：“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)111346799346171212595()LLCCRRRSCCLLLLLdiuLuuuuudtRuuuR iR iiiiRRR 2224789947128212595()LLCR

29、RRSCLLLLLdiuLuuuudtRuuR iiR iiiRRR 3331CCLduiCidt44412CCLLduiCiidt于是于是“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)整理可得標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程整理可得標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程 61111111822222923359344441111011000001100LLLLSCCCCRRRdiLLLLdtLiRRRdiLLLiRdtuLuduRRdtCududtCC可見與通過直接觀察的可見與通過直接觀察的例例.3所得結(jié)果一致。所得結(jié)果一致。 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)7.2.3 7.2.3 非線性動

30、態(tài)電路的狀態(tài)方程列寫非線性動態(tài)電路的狀態(tài)方程列寫 描述非線性動態(tài)電路的方程是非線性微分方程描述非線性動態(tài)電路的方程是非線性微分方程 狀態(tài)方程一般可寫成狀態(tài)方程一般可寫成1112122212121212( , )( , )( , )nmnmnnnmdxf x xx w wwtdtdxfx xx w wwtdtdxfx xx w wwtdt或或( ) ( )( )dttttdt，xF xw“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)w(t)為為m維激勵向量維激勵向量 ( ) ( )( )dttttdt，xF xwx(t)為為n維狀態(tài)向量維狀態(tài)向量 若儲能元件為若儲能元件為非線性元件非線性元件，

31、則選擇元件特性中的控，則選擇元件特性中的控制量作為狀態(tài)變量。制量作為狀態(tài)變量。例如荷控電容，其庫伏特性為例如荷控電容，其庫伏特性為uC= f(qC)，則可選則可選qC作為作為狀態(tài)變量狀態(tài)變量 例如磁控電感，其韋安特性為例如磁控電感，其韋安特性為iL= f( L)，則可選則可選 L L作為作為狀態(tài)變量狀態(tài)變量 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)非線性狀態(tài)方程仍可以直接觀察或采用電路分析方法等非線性狀態(tài)方程仍可以直接觀察或采用電路分析方法等來列寫。來列寫。直接觀察的步驟是直接觀察的步驟是（1 1）計算電路的復(fù)雜性，選取獨立的狀態(tài)變量；）計算電路的復(fù)雜性，選取獨立的狀態(tài)變量；（2 2）

32、列電路方程；）列電路方程；（3 3）消除非狀態(tài)變量；）消除非狀態(tài)變量；（4 4）寫出標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程。）寫出標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程。 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)例例.6 試直接觀察寫出圖所示電路的狀態(tài)方程。已知電試直接觀察寫出圖所示電路的狀態(tài)方程。已知電壓源的電壓為壓源的電壓為uS，兩個線性非時變電阻分別為兩個線性非時變電阻分別為R6和和R7，各各非線性元件的特性方程分別為非線性元件的特性方程分別為u1=f1(q1)，u2=f2(q2)，u3=f3(q3)，i4=f4( 4)，i5=f5( 5)。解：解：(1)(1)選獨立的狀態(tài)變量。由于圖示電路為常態(tài)電路選

33、獨立的狀態(tài)變量。由于圖示電路為常態(tài)電路，所以獨立的狀態(tài)變量有五個?，F(xiàn)選，所以獨立的狀態(tài)變量有五個?，F(xiàn)選q1 ，q2，q3， 4， 5作為狀態(tài)變量作為狀態(tài)變量。 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)（2 2） 對與電容有關(guān)的節(jié)點寫出對與電容有關(guān)的節(jié)點寫出KCLKCL方程方程146dqiidt 節(jié)點節(jié)點1 1：245dqiidt 節(jié)點節(jié)點2 2：357dqiidt 節(jié)點節(jié)點3 3：對含電感的回路寫出對含電感的回路寫出KVLKVL方程方程412duudt 回路回路I I：523duudt 回路回路IIII： “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)（3 3） 將有關(guān)的支路方程將有

34、關(guān)的支路方程u1=f1(q1)，u2=f2(q2)，i3=f3(q3)，i4=f4( 4)，i5=f5( 5)代入上述代入上述 KCLKCL和和 KVLKVL方程，得方程，得1446()dqfidt 24455()()dqffdt3557()dqfidt41122()()df qfqdt52233()()dfqf qdt“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)（4 4）消去非狀態(tài)變量。由于）消去非狀態(tài)變量。由于i6，i7為非狀態(tài)變量，為非狀態(tài)變量，因此應(yīng)該消去。從圖中可知因此應(yīng)該消去。從圖中可知111666()ssuuf quiRR333777()uf qiRR“十一五十一五”規(guī)劃教材

35、規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)將上面二式代入（將上面二式代入（3 3）內(nèi)的各式，便得出非線性狀態(tài)方程）內(nèi)的各式，便得出非線性狀態(tài)方程1114466244553335574112252233()()()()()()()()()()sudqf qfdtRRdqffdtdqf qfdtRdf qfqdtdfqf qdt 初始條件由初始條件由q1(0+)，q2(0+)，q3(0+)， 4(0+)， 5(0+)確定確定?！笆晃迨晃濉币?guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)7.3 7.3 狀態(tài)方程的解法狀態(tài)方程的解法 狀態(tài)方程是一階微分方程組，最適合用數(shù)值方法狀態(tài)方程是一階微分方程組，最適合用數(shù)值方法（比如龍格庫塔

36、法）求解。特別是對于非線性電路和（比如龍格庫塔法）求解。特別是對于非線性電路和時變電路，其狀態(tài)方程一般只能用數(shù)值方法求解。時變電路，其狀態(tài)方程一般只能用數(shù)值方法求解。 線性非時變電路狀態(tài)方程線性非時變電路狀態(tài)方程是一階線性常微分方程組，是一階線性常微分方程組，其解法有三種，即時域解法、復(fù)頻域解法（拉氏變換法）其解法有三種，即時域解法、復(fù)頻域解法（拉氏變換法）和數(shù)值解法。這里僅討論一階線性常微分方程組，即線和數(shù)值解法。這里僅討論一階線性常微分方程組，即線性非時變電路狀態(tài)方程的時域解法和復(fù)頻域解法性非時變電路狀態(tài)方程的時域解法和復(fù)頻域解法“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ) xAxBw

37、xaxbw一、標(biāo)量一階微分方程解一、標(biāo)量一階微分方程解線性非時變電路的狀態(tài)方程線性非時變電路的狀態(tài)方程可視為向量一階微分方程可視為向量一階微分方程它在形式上和標(biāo)量一階微分方程它在形式上和標(biāo)量一階微分方程相同相同 標(biāo)量一階微分方程的解法標(biāo)量一階微分方程的解法atatatexeaxebw用用e-at乘式乘式 兩端，并移項得兩端，并移項得xaxbw()atatdexebwdt有：有：7.3.2 7.3.2 線性非時變電路狀態(tài)方程的時域解法線性非時變電路狀態(tài)方程的時域解法 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)0( )(0)( )tataex txebwd0( )(0)( )tatatax

38、te xeebwd對上式兩端從對上式兩端從0 0到到t t積分積分()atatdexebwdt將將x(0)移到等式右邊，再對等號兩端乘移到等式右邊，再對等號兩端乘eat，得得“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)( )( )( )ttt xAxBw二、狀態(tài)方程的時域解法二、狀態(tài)方程的時域解法 仿照求解標(biāo)量一階微分方程的方式來求解向量一階微仿照求解標(biāo)量一階微分方程的方式來求解向量一階微分方程，即求解狀態(tài)方程。分方程，即求解狀態(tài)方程。對狀態(tài)方程對狀態(tài)方程( )( )( )tttetetetAAAxAxBw兩端前乘兩端前乘e-At，并移項并移項( )( )ttdetetdtAAxBw有有對

39、上式兩端從對上式兩端從0 0 到到t t積分積分0( )(0)( )ttetedAAxxBw“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)0( )(0)( )tttteeedAAAxxBw( )(0)tziteAxx移項并左乘移項并左乘eAt，得得當(dāng)當(dāng)w(t)=0時，有解時，有解可見可見eAt可以將可以將x(0 ) = x0轉(zhuǎn)移成解轉(zhuǎn)移成解xzi，所以稱所以稱eAt為狀態(tài)轉(zhuǎn)為狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣換矩陣( (state transition matrix)state transition matrix)函數(shù)。函數(shù)。當(dāng)當(dāng)x(0)=0時，有解時，有解()00( )( )( )ttttzsteededAAA

40、xBwBw該解該解xzs也與也與eAt密切相關(guān)，所以計算密切相關(guān)，所以計算eAt是求解狀態(tài)方程的關(guān)鍵。是求解狀態(tài)方程的關(guān)鍵?！笆晃迨晃濉币?guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)230111()1()()!2!3!atkkeatatatatk 230111()()()!2!3!tkkettttk1AAAAA三、狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)三、狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)eAt的定義和性質(zhì)的定義和性質(zhì)1. 1. 狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)eAt的定義的定義狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)eAt作為矩陣指數(shù)函數(shù)仍然仿照指數(shù)函數(shù)作為矩陣指數(shù)函數(shù)仍然仿照指數(shù)函數(shù)定義為定義為則狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)則狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)eAt是一個和是

41、一個和A同階的同階的n n方陣，方陣，且當(dāng)且當(dāng)t = 0，eAt= e0 =1。 “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)2. 2. 狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)eAt的性質(zhì)的性質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)eAt的主要性質(zhì)有以下幾點。的主要性質(zhì)有以下幾點。230111()()()!2!3!tkkettttk1AAAAA(1)0tte ee1AA(2)ttttttddeeeeeedtdt ， AAAAAAAAAA(3)( )( )( )( )( )tttttdddetetetetetdtdtdtAAAAAxxxxAx(4) “十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)( )

42、( )tt xAx( )(0)( )sssXxAX1( )()(0)ss1XAx( )( )zittxx1() (0)s1Ax1()s1A3. 3. 狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)eAt的計算的計算 計算狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)計算狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)eAt的方法有多種，這里只的方法有多種，這里只討論拉普拉斯變換方法。討論拉普拉斯變換方法。設(shè)電路的輸入為零，狀態(tài)方程變?yōu)樵O(shè)電路的輸入為零，狀態(tài)方程變?yōu)閷ι鲜饺±献儞Q，得對上式取拉氏變換，得于是于是取拉氏反變換，有取拉氏反變換，有 -1-1將上式的解與式將上式的解與式 進(jìn)行比較，有進(jìn)行比較，有eAt = -1-1( )(0)tziteAxx“十一五十一五”

43、規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)3328A33()28sss1A例例.1 已知已知試求狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣指數(shù)函數(shù)試求狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣指數(shù)函數(shù)e eAtAt。解解: :對已知矩陣對已知矩陣A A先寫出先寫出 12838311()2323(3)(8)6113083123(5)(6)sssssssssssss1 A“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)5656565632332223tttttttteeeeeeee取拉氏反變換，得取拉氏反變換，得teA1()s1A -1-1“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)四、電路狀態(tài)方程的時域求解四、電路狀態(tài)方程的時域求解例例7.3.

44、3 7.3.3 圖圖( (a)a)所示電路中，所示電路中，R1=1 ，R2=1/4 ，L=1/3H，C =1/2F，uS(t)= (t)V，iL(0-)=9/5A，uC(0-)=11/5V。試對試對電路進(jìn)行狀態(tài)分析。電路進(jìn)行狀態(tài)分析。解解: : 按直接觀察的步驟列寫按直接觀察的步驟列寫 1LLCSdiLRiuudt (1) (1) 對電感對電感L確定的基本回路列寫確定的基本回路列寫KVLKVL方程方程(a)“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)2CCLduuCidtR對電容對電容C確定的基本割集列寫確定的基本割集列寫KCLKCL方程方程可得狀態(tài)方程可得狀態(tài)方程1211110LLSCC

45、RdiiLLdtuLuduCR Cdt333( )( )( )( )( )280ttttt xAxBwx代入具體參數(shù)代入具體參數(shù)并有并有x(0+)=x(0-)=x0=9/5 11/5T“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)5656565632332223ttttttttteeeeeeeeeA5656565656569/53233( )(0)11/522231.23A00.83VtttttzitttttttteeeeteeeeeeeteeAxx ()1()s1A然后由然后由eAt = -1 -1 計算狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)，計算狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣函數(shù)，求得零輸入響應(yīng)為求得零輸入響應(yīng)為在上例中已經(jīng)求

46、得在上例中已經(jīng)求得“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)求得零狀態(tài)響應(yīng)為求得零狀態(tài)響應(yīng)為()0( )( )ttzstedAxBw5()6()565()6()5()6()05()6()560949A96555( )61666V555tttttttttttttteeeeeedteeeeee全響應(yīng)為全響應(yīng)為5656434A5( )( )( )0124V5ttLzizsttCeeittttueexxx ()“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)7.3.2 7.3.2 線性非時變電路狀態(tài)方程的復(fù)頻域解法線性非時變電路狀態(tài)方程的復(fù)頻域解法 拉普拉斯變換方法求解電路的狀態(tài)方程的步驟拉普拉斯變換方法求解電路的狀態(tài)方程的步驟 xAxBw( )(0 )( )( )ssssXxAXBW()( )(0 )( )sss1A XxBW11( )()(0 )()( )( ) (0 )( )( )sssssss11 XAxABWxBW進(jìn)行拉普拉斯變換，有進(jìn)行拉普拉斯變換，有移項后可得移項后可得于是于是根據(jù)：根據(jù)： 其中其中 稱為預(yù)解矩陣稱為預(yù)解矩陣( (resolvent matrix) resolvent matrix) 1)()(AsIs“十一五十一五”規(guī)劃教材規(guī)劃教材電路基電路基礎(chǔ)礎(chǔ)( ) t x( )( )ssBW( ) (0 )sx -1 -1 +