2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教B版必修第一冊學(xué)案：第3章 3.1 3.1.2 第2課時　函數(shù)的平均變化率 Word版含解析

1、第2課時函數(shù)的平均變化率學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.理解斜率的含義及平均變化率的概念(重點)2掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的充要條件(重點、難點)通過利用函數(shù)f(x)的平均變化證明f(x)在i上的單調(diào)性，提升數(shù)學(xué)運算和培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)科考隊對“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨特的沙漠氣候進(jìn)行科學(xué)考查，如圖是某天氣溫隨時間的變化曲線請根據(jù)曲線圖思考下列問題：問題(1)在區(qū)間6，17對應(yīng)的曲線上任取不同兩點a(x1，y1)，b(x2，y2)，一定大于零嗎？(2)如果在區(qū)間2，10對應(yīng)的曲線上任取不同兩點c(x3，y3)，d(x4，y4)，一定大于零嗎？1直線的斜率(1)定義：給定平面直角坐標(biāo)系中的

2、任意兩點a(x1，y1)，b(x2，y2)，當(dāng)x1x2時，稱為直線ab的斜率；(若記xx2x1，相應(yīng)的yy2y1，當(dāng)x0時，斜率記為)，當(dāng)x1x2時，稱直線ab的斜率不存在(2)作用：直線ab的斜率反映了直線相對于x軸的傾斜程度2平均變化率與函數(shù)單調(diào)性若i是函數(shù)yf(x)的定義域的子集，對任意x1，x2i且x1x2，記y1f(x1)，y2f(x2)，則：(1)yf(x)在i上是增函數(shù)的充要條件是0在i上恒成立；(2)yf(x)在i上是減函數(shù)的充要條件是0在i上恒成立當(dāng)x1x2時，稱為函數(shù)yf(x)在區(qū)間x1，x2(x1x2時)或x2，x1(x1x2時)上的平均變化率通常稱x為自變量的改變量，y

3、為因變量的改變量拓展(1)注意自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，公式中，若xx2x1，則yf(x2)f(x1)；若xx1x2，則yf(x1)f(x2).(2)平均變化率可正可負(fù)，也可為零但是，若函數(shù)在某區(qū)間上的平均變化率為0，并不能說明該函數(shù)在此區(qū)間上的函數(shù)值都相等比如，f(x)x2在區(qū)間2，2上的平均變化率為0，但f(x)x2在2，2上的圖像先下降后上升，值域是0，4.(3)平均變化率的幾何意義是函數(shù)yf(x)圖像上的兩點a(x1，f(x1)，b(x2，f(x2)連線所在直線的斜率(4)平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”利用平均變化率可以刻畫變量平均變化的趨勢

4、和快慢程度，但效果是“粗糙不精確的”只有當(dāng)xx2x1無限變小時，這種量化才由“粗糙”逼近“精確”3平均變化率的物理意義(1)把位移s看成時間t的函數(shù)ss(t)，則平均變化率的物理意義是物體在時間段t1，t2上的平均速度，即.(2)把速度v看成時間t的函數(shù)vv(t)，則平均變化率的物理意義是物體在時間段t1，t2上的平均加速度，即.1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)一次函數(shù)yaxb(a0)從x1到x2的平均變化率為a.()(2)函數(shù)yf(x)的平均變化率的幾何意義是過函數(shù)yf(x)圖像上兩點a(x1，f(x1)，b(x2，f(x2)所在直線的斜率()(3)在a，b上，ya

5、x2bxc(a0)任意兩點的平均變化率都相等()答案(1)(2)(3)×2如圖，函數(shù)yf(x)在1，3上的平均變化率為 ()a1b1c2 d2b1.3(教材p99例4改編)一次函數(shù)y2x3在r上是_函數(shù)(填“增”或“減”)減任取x1，x2r且x1x2.y12x13，y22x23，20，故y2x3在r上是減函數(shù)4過點m(1，m)，n(m1，4)的直線的斜率為1，則m的值為_1由直線的斜率公式得1，即1，解得m1.5已知函數(shù)f(x)2x23x5，當(dāng)x14，且x1時，求y的平均變化率.解f(x)2x23x5，x14，x2x1x，yf(x2)f(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x3x1

6、5)2(x)2(4x13)x.當(dāng)x14，x1時，y2×12(4×43)×121.則21.平均變化率的計算【例1】一正方形鐵板在0 時邊長為10 cm，加熱后會膨脹，當(dāng)溫度為t 時，邊長變?yōu)?0(1at)cm，a為常數(shù)試求鐵板面積對溫度的平均膨脹率思路點撥由正方形的邊長與面積關(guān)系列出函數(shù)表達(dá)式，再求面積的平均變化率解設(shè)溫度的增量為t，則鐵板面積s的增量為：s1021a(tt)2102(1at)2200(aa2t)t100a2(t)2，所以平均膨脹率200(aa2t)100a2t.求平均變化率只需要三個步驟：(1)求出或者設(shè)出自變量的改變量；(2)根據(jù)自變量的改變量求

7、出函數(shù)值的改變量；(3)求出函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值1路燈距地面8 m，一個身高為1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影點c處沿直線勻速離開路燈(1)求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關(guān)系式；(2)求人離開路燈10 s內(nèi)身影長度y關(guān)于時間t的平均變化率解(1)如圖所示，設(shè)此人從c點運動到b點的距離為x m，ab為身影長度，ab的長度為y m，由于cdbe，則，即，所以y0.25x.(2)84 m/min1.4 m/s，則y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y0.25×1.4t0.35t，所以10 s內(nèi)平均變化率0.35(m/s)，即此人離開燈10 s內(nèi)身

8、影長度y關(guān)于時間t的平均變化率為0.35 m/s.利用平均變化率證明函數(shù)的單調(diào)性【例2】若函數(shù)yf(x)是其定義域的子集i上的增函數(shù)且f(x)0，求證：g在i上為減函數(shù)思路點撥由yf(x)在i上為增函數(shù)的充要條件可得0，再證0即可證明任取x1，x2i且x2x1，則xx2x10，yf(x2)f(x1)，函數(shù)yf(x)是其定義域的子集i上的增函數(shù)，y0，0，gg(x2)g(x1).又f(x)0，f(x1)f(x2)0且f(x1)f(x2)0，g0，0，故g在i上為減函數(shù)單調(diào)函數(shù)的運算性質(zhì)(1)若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間i上具有單調(diào)性，則f(x)與f(x)c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性(2)f(

9、x)與a·f(x)，當(dāng)a0時具有相同的單調(diào)性；當(dāng)a0時具有相反的單調(diào)性(3)當(dāng)f(x)恒為正值或恒為負(fù)值時，f(x)與具有相反的單調(diào)性(4)在f(x)，g(x)的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結(jié)論：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)不能確定單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)不能確定單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)不能確定單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)不能確定單調(diào)性減函數(shù)2已知函數(shù)f(x)1，x3，5，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并證明解由于yx2在3，5上是增函數(shù)，且恒大于零，因此，由性質(zhì)知f(x)1在3，5上為增函數(shù)證明過程如下：任取x1，x23，5且x1x2，即xx2x10，則yf(x2

10、)f(x1)1.(x12)(x22)0，y0，0，故函數(shù)f(x)在3，5上是增函數(shù)二次函數(shù)的單調(diào)性最值問題探究問題1二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0)的對稱軸與區(qū)間m，n可能存在幾種位置關(guān)系？試畫草圖給予說明提示2求二次函數(shù)f(x)ax2bxc在m，n上的最值，應(yīng)考慮哪些因素？提示若求二次函數(shù)f(x)在m，n上的最值，應(yīng)考慮其開口方向及對稱軸x與區(qū)間m，n的關(guān)系【例3】已知函數(shù)f(x)x2ax1，求f(x)在0，1上的最大值思路點撥解因為函數(shù)f(x)x2ax1的圖像開口向上，其對稱軸為x，當(dāng)，即a1時，f(x)的最大值為f(1)2a；當(dāng)>，即a>1時，f(x)的最大值為f

11、(0)1.1在題設(shè)條件不變的情況下，求f(x)在0，1上的最小值解(1)當(dāng)0，即a0時，f(x)在0，1上單調(diào)遞增，f(x)的最小值為f(0)1.(2)當(dāng)1，即a2時，f(x)在0，1上單調(diào)遞減，f(x)的最小值為f(1)2a.(3)當(dāng)0<<1，即0<a<2時，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故f(x)的最小值為f1.2在本例條件不變的情況下，若a1，求f(x)在t，t1(tr)上的最小值解當(dāng)a1時，f(x)x2x1，其圖像的對稱軸為x，當(dāng)t時，f(x)在其上是增函數(shù)，f(x)的最小值為f(t)t2t1；當(dāng)t1，即t時，f(x)在其上是減函數(shù)，f(x)的最小值為f(

12、t1)t2t1；當(dāng)t<<t1，即<t<時，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,設(shè)f（x）ax2bxc（a0），則二次函數(shù)f（x）在閉區(qū)間m，n上的最大值、最小值有如下的分布情況： 對稱軸與區(qū)間的關(guān)系mn，即（，m）mn，即（m，n）mn，即（n，）圖像最值f（x）maxf（n），f（x）minf（m）f（x）maxmaxf（n），f（m），f（x）minf（x）maxf（m），f（x）minf（n）知識：1平均變化率中x，y，的理解(1)函數(shù)f(x)應(yīng)在x1，x2處有定義；(2)x2在x1附近，即xx2x10，但x

13、可正可負(fù)；(3)注意變量的對應(yīng)，若xx2x1，則yf(x2)f(x1)，而不是yf(x1)f(x2)；(4)平均變化率可正可負(fù)，也可為零但是，若函數(shù)在某區(qū)間上的平均變化率為0，并不能說明該函數(shù)在此區(qū)間上的函數(shù)值都相等2判斷函數(shù)yf(x)在i上單調(diào)性的充要條件(1)yf(x)在i上單調(diào)遞增的充要條件是0恒成立；(2)yf(x)在i上單調(diào)遞減的充要條件是0恒成立方法：證明函數(shù)單調(diào)常用的方法：(1)定義法；(2)平均變化率法1函數(shù)f(x)在區(qū)間2，1上滿足0，且圖像關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)f(x)在區(qū)間1，2上()a單調(diào)遞增，且有最小值f(1)b單調(diào)遞增，且有最大值f(1)c單調(diào)遞減，且有最小值f(2)d單調(diào)遞減，且有最大值f(2)c函數(shù)f(x)在區(qū)間2，1上滿足0，函數(shù)f(x)在區(qū)間2，1上是增函數(shù)其圖像關(guān)于y軸對稱，函數(shù)f(x)在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，f(x)minf(2)，f(x)maxf(1).故選c.2函數(shù)f(x)從1到4的平均變化率為()abc1 d3ay1，x413，則平均變化率為.故選a.3李華在參加一次同學(xué)聚會時，他用如圖所示的圓口杯喝飲料，李華認(rèn)為：如果向