方程方程組及不等式不等式組

1、.教學(xué)內(nèi)容：方程、方程組及不等式、不等式組學(xué)習(xí)目標(biāo)：1 .掌握一元一次、一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用；能解二元一次、二元二次、三元 次方程組,會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.2 .類比方程組的知識(shí)點(diǎn),掌握不等式組的知識(shí)點(diǎn).重點(diǎn)、難點(diǎn)1 .方程的有關(guān)概念,同解原理2 .方程的分類fr-次方程代數(shù)方程有理方程整式方程,兀一次方程分式方程無理方程L3. ,兀,次方程ax+b=°,a=0, a一次項(xiàng)系數(shù),b常數(shù)項(xiàng)bx =求根公式：a唯一實(shí)根4. 一元二次方程2ax +bx +c = 0, a #0a二次項(xiàng)系數(shù)；b一次項(xiàng)系數(shù)；c常數(shù)項(xiàng)根的判別式： =b2 -4ac.0有兩個(gè)不等實(shí)根 1 = 0有兩個(gè)相等實(shí)根工

2、0無實(shí)根當(dāng)之0時(shí),求根公式xi,2-b b2 - 4ac2a2a解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法當(dāng)20時(shí),根Xi, x2與系數(shù)a、b、c關(guān)系bcxi x2 = 一 g = a ,a構(gòu)造以xi, 修為根的方程有無數(shù)個(gè),構(gòu)造以1為二次項(xiàng)系數(shù)的2x -x1 x2 x x1 x2 =05 .分式方程定義；解法：分式化整式,注意驗(yàn)根；解的個(gè)數(shù)6 .方程組的有關(guān)概念7 .二元一次方程組,二元二次方程組,三元一次方程組解法思路：消元、降次方法：代入法、加減法8 .解的情況：個(gè)數(shù)9 .不等式的概念：ax+b>0, a¥0或ax+b<0, a#010 .不等式的根本性質(zhì)及同解

3、原理11 .不等式的解集及解法,解的個(gè)數(shù)12 .利用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集13 .注意類比的方法14 .絕對(duì)值不等式、分式不等式要轉(zhuǎn)化成不等式組來解,可看作不等式組的應(yīng)用.【典型例題】例1.關(guān)于x的方程4x+m=2(x2m)與2(3x+4m)=3m+2(x1)的解相同,求 m的值.5mx 二一解：4x m =2(x 2m)的解為 25m 2一一 ._. x =2(3x +4m) =3m+2(x -1)的解為43m 5m 2 丁兩個(gè)方程的解相同,24m = 2_ 3m說明：假設(shè)要求 x的值是多少,不必將 m = 2代入原方程,只需代入2或5m 2 x =4 ,得 x = -3例2.解以下

4、方程2x -1 2x 5 6x -7 ,二1(1)23401 -0.2x ,0.07 - 0.1 x-1 =0.30.04解：(1)方程兩邊同乘12,得6(2x -1) -4(2x 5) =3(6x -7) -12去括號(hào),得 12x-6-8x-20 =18x-21-12移項(xiàng),得 12x -8x -18x = -21 -12 6 20合并同類項(xiàng),得-14x=-71x = 一2說明：解一元一次方程是解其它方程的根底,根本思路是把方程變形為最簡(jiǎn)方程ax = b(a豐0),再求解.(2)利用公式的根本性質(zhì),原方程化為：1 -2x 1 _ 7 -10x4去分母,得 4 -8x-12 -21 - 30x2

5、9x =22說明：注意不要將分式的性質(zhì)和等式的性質(zhì)相混淆.例3.解以下方程C 21,2x2 4x -二-1(1) x2+2x+22116(x2 ) 5( x) - 38 = 0(2) xx112. 2"-二一解：(1)設(shè) x +2x+2=y,那么 x +2x+2 y212(x2 2x 2) -4 = -1原方程可化為x 2x 212y-3 =0那么有 y2整理,得 2y -3y , 1 = 0解得y1 =1,當(dāng)x2+2x +2 =1時(shí),x2 2x 1 =0x1 = x2 = Tc1c3x2 2x 2x 2x - = 0當(dāng)2時(shí),2丁 < 0 ,此方程無實(shí)根經(jīng)檢驗(yàn),x = T是原方

6、程的根.x 1 = yx24=y2-2(2)設(shè) x ,那么 x2原方程化為6(y 一2) 5y -38 = 02整理得 6y 5y -50 = 0y1 = 解得103 '5y2 =21010yi 二 一二工當(dāng) 3時(shí),- 2整理得3x 10x 3=01°x1 - - , x2 - -3解得132y2 = 5 x 1 =-當(dāng) 2時(shí), x 22整理得 2x2 -5x 2 = 0x3 = ,x4 =2解得 2x4 二 2 工一一、一一, 都是原方程的根.101x1 - - , x2 - -3, x3 =經(jīng)檢驗(yàn),3222例4.不解方程,判斷關(guān)于x的方程x -2(x-k)+k =-3的根

7、的情況.22解：原方程整理為x 2x+k +2k+3 = 0：=(-2)2 -4(k2 2k 3)=4 -4(k2 2k 1) 2=4 -4(k 1)2 -82=-4(k 1) -4(k 1)2 -02_.-4( k 1) -0.-4(k 1)2 -4 ：0即 M0 ,故原方程沒有實(shí)數(shù)根.2例5. m為何值時(shí),方程m-1x 2mx m+3 = 01無實(shí)根；2有實(shí)根；3只有 一個(gè)實(shí)根；4有兩個(gè)實(shí)根；5有兩個(gè)不等實(shí)根；6有兩個(gè)相等實(shí)根.解：1分兩種情況：當(dāng)m=1時(shí),方程為2x+4=0,它有一個(gè)實(shí)根,不符合題意,舍去；當(dāng) m #1時(shí),4 =4m2 4m1m +3 = -8m +12一 一 一 3-

8、8m 12 ：二 0, m 只需也0,即2時(shí)無實(shí)根m-1.0: 32分兩種情況,當(dāng)1A之0 時(shí),即1m 23,m _一2且m #1時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)根當(dāng)m=1時(shí),方程為2x+4=0有一個(gè)實(shí)根3m - -綜上所述,即2時(shí),方程有實(shí)根3當(dāng)m= 1時(shí),方程為一元一次方程,只有一個(gè)實(shí)根m -1 =0(4)當(dāng) |A =8m + 12 占 0,即mJ2且m 01時(shí),方程有兩個(gè)實(shí)根當(dāng) |A = Km + 12>0,即3 m2且m.1時(shí),方程有兩個(gè)不等實(shí)根當(dāng)( = _8m*12=0,即3m = 一2時(shí)方程有兩個(gè)相等實(shí)根說明：一定要注意審題,區(qū)別題目的不同問法./22m為實(shí)數(shù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)例6.關(guān)于x的一元二次方

9、程m 一1x -2m-1x + 1 = 0 根的倒數(shù)和大于零,求 m的取值范圍.dX2；1< 2:3:4:二 5 解：由題意知,應(yīng)滿足 解由1知：m ' 士1 由2得：m2 -10：-02m -1fx +x2 =m 一 11x-=-m -1-(2m-1)2 -4(m2 -1)22=4m -4m 1 -4m 4 =-4 m 5-05 .m -4把3、4代入5 ,得：2m -11X2 = m2 -1 .2m-10X1X21-2m 一 111+Xi X21 m 2一:二 m - -綜上所述24 ,且m ¥ 1說明：解決這類題目,常常需要列出五個(gè)條件.在此題中,1式由于是一元二

10、次方程,故二次項(xiàng)系數(shù) m2 -1 ¥0； 2式由于有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,故 A之0 ； 3、4為一元二次方程根1 10.這五個(gè)不要遺+ 1X11 十X2與系數(shù)的兩個(gè)關(guān)系式；5是此題關(guān)于一元二次方程兩實(shí)根的特殊條件 X1 X2 條件綜合起來,此題方可解出.所以同學(xué)在審題時(shí)一定要認(rèn)真分析題目中的每個(gè)詞語, 漏條件,特別要注意挖掘隱含條件.2例7. (1)設(shè)X1,X2是關(guān)于X的萬程x +kX+2 = 0的兩個(gè)根,求證:2 2(2)如果關(guān)于 X的方程X +kx+2=0及方程x -x-2k =0均有實(shí)數(shù)根,問方程22X +kx+2=0與方程x -X-2k =0是否有相同的根假設(shè)有,請(qǐng)求出這個(gè)相同的根；

11、假設(shè)沒 有,請(qǐng)說明理由.證實(shí)：(1)由題意,得= k2 -8 0河 +x2 = -kx1x2 =211 kX1x2k k k十+ =+ = + = 0xX22X1X2222即原等式成立.2 2(2)解：設(shè)方程x x-2k=0與方程x +kx+2 = 0有相同的實(shí)數(shù)根a,那么可得:a2 - a -2k =0a2 ka 2=0二 ka +2 +a +2k =0 ,變形為 a(k + 1) +2(k + 1) = 0即(a 2)(k 1) =0假設(shè) k +1 = 0 ,那么 k = -1,代入方程 x2 +kx +2 =0及 x2 -x -2k = 0 2. 一一 一 .二兩方程均為x x+2=0,

12、 = 7<0,無實(shí)根二 k # 1,即 k +1 =0那么a +2 =0,即 a = -2兩個(gè)方程有相同的實(shí)數(shù)根 -2.Xi| 二一二0的兩個(gè)實(shí)根,且X22說明：第2問的解法是有關(guān)“兩個(gè)一元二次方程有相同根問題的一個(gè)常見解法,注 意分類討論.22例8.：Xi、X2是關(guān)于X的方程4x 3m5x 6m 求m的值.解：由次方程根與系數(shù)的關(guān)系,有:XiX23m -54'X1X2-m22Xi一|1 = 2,二 Xi ,X2X2均不為零X1X2:二 0Xi.<X20,Xi取X2即Xi,x2異號(hào)32設(shè) Xi =3k,X22k,3k(-2k)那么43 2-m2, 3m -5k 二42.2

13、m k =,42(3m-5)2=4m2)22整理得m -6m 5 = 0mi = i, m2 =5將m = i和m = 5分別代入 mi = i, m2 =5中,符合反思：通過此題的分析及解題過程,應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：xi 3L1二i由x22去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí),一定要考慮XiX2的正、負(fù);(2)求m的過程中,通過設(shè)參數(shù)較為簡(jiǎn)便,也可利用Xi3一二 X22 的關(guān)系代入去求;2(3)求出m的值后,還應(yīng)代入 A = b -4ac去檢驗(yàn)是否符合 A >0.例9.解方程組：. 2.2x - 4xy 4y x - 2y - 2 = 03x 2y -11 =00法一：用代入法11 -3x,y = 由2得：2

14、把3代入1得：二3：1：二224x11 -3x11 -3x 2x -° - 4廣22一 一 2 一一 一 整理,得 4x -21x 27 = 0211-3幻.2二02=3代入3 ,得_ 94代入3 ,得17 = 3二原方程組的解為 y1 =1 解法二：(用因式分解法)9I z _ X2 一417y22方程 1可化為x2y +x2y2=.gpX-2y 2X-2y-1 =0二 x -2y +2 =0 或 x 2y -1 =0原方程組可化為：lx -2y 2 =0 x-2y-1 =03x+2y_11 =0和'3x+2y-11 = 0Xi =3分別解得yi=19X2 =4172至說明

15、：此題為I型二元二次方程組,一般可用代入法求解,當(dāng)求出一個(gè)未知數(shù)的值后, 定要代入到二元一次方程中去求另一個(gè)未知數(shù)的值. 2-2,/|x - 2xy y =4： 122例 10.解方程組 l2x +5xy-3y =0 <2>解：由<1>得：(x_y)2=4,二 x-y=2或x-y = -2由 <2>,得(2xy)(x+3y)=02x - y =0 或 x+3y = 0原方程組化為以下四個(gè)方程組：x-y=2x-y=2x-y = -2x - y = -2? < < <2x y = 0x +3y =02x - y = 0x + 3y = 032y

16、2二原方程組的解為：_ 3Xx1 = -2X2 21x3 =2y=Y y2 =_1M=4說明：此題為ii型二元二次方程組,要注意根據(jù)方程的特點(diǎn),選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ?例11.解以下方程組:(1)(2)(3)(1)j_x 2y = 42xy - -21lx2 y2 =131xy = 6210 x 十二115x7j+y 2 2分析：此題是I型二元二次方程組,可以用代入法來解,再介紹另外一種解法.解：:方程1是x與2y的和,方程2是x與2y的積二x與2y是方程z2 4z 21 = 0的兩個(gè)根解此方程得Z1 = -3, z2 = 7£二3 或二3X X1 = 3 XX2 7、 yi =: y2

17、 = -f 即原方程組的解是'2,12(2)解：<1 a + <2 > 父2得： 2(x + y) = 25, x + y =工5<1 a <2 >x2得：2(x -y) = 1, x - y = 1可化為以下四個(gè)方程組：x y=5 " y=5Jx y = -5 _Lx y = -5x-y=1 x-y = -1x-y=1 x-y=-1二原方程組的解為y1=2'ix：u 仁；仁3x y = a說明：(1)題可以看成xy = b 特殊類型的方程組,可用一元二次方程的根與系數(shù)的 關(guān)系來解. 22' 22xy=ax-y=a(2)題是

18、、xy =b型的二元二次方程組,另外還有x±y=b型的二元二次方程組,也有簡(jiǎn)便的特殊解法.x10z =1135z 1二 z(3)解：設(shè)x+y,那么原方程組變?yōu)榻怅P(guān)于z和x的方程組,得ix =3 iz = 1 ,ix = 34 1、x +y二1-Lx = 3x y =1_Lx = 3解得V = -2Lx = 3經(jīng)檢驗(yàn)iy = -2是原方程組的解說明：(3)題是分式方程組,這類方程組要設(shè)法轉(zhuǎn)化成整式方程組來解,需要檢驗(yàn),有時(shí)在應(yīng)用題或綜合題中會(huì)遇到.y2 =2x例12.方程組y=kx +1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解 (1)求k的取值范圍x = x1 x = x2(2)假設(shè)方程組的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為l

19、y=y1和ly = y2是否存在實(shí)數(shù)k ,使 xi +xix2 +x2 =1,假設(shè)存在,求出k的值；假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由.2 2解：(1)原方程組可化成kx 2(k -1)x 1 - °k2 =0由題意可知=2(k-1)2 - 4k2 =-8k 4 °k二01< 2k2且k / 0時(shí),方程組有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.2(k -1)1, x + x2 =一-2, x1x2 2 k k2(k -1)1 dx1 x1x2 x2 =z- r = 11122 k2 k2丁 k #0 ,去分母同乘k2.k2 2k -3 =0解得 k1 = -3, k2 = 1L 1- k : 一2

20、二k =1舍去即當(dāng) k = 一3 時(shí),x1 + X1X2 + x2 =1 成立；12的自然數(shù)解.3(x 2) <2 -5(x -4)-3x例13.解不等式組L 23解：由<1>得x<2由 <2> 得 x > -5-5x2二不等式組的解中自然數(shù)有0, 1, 2例14.解以下不等式131A三 4(1) 23x -6 ：0(2) 2x 1解：(1)-8 <3x -1 <8-7 < 3x < 9-7 <x <333x -6 02x I：0x 2：1x 二23x -6 二 02x 1 0二2xx解得I 2或I不等式組1無解,不

21、等式組2的解集為:-:x : 2二原不等式的解集為：21一一：x : 22【模擬試題】做題時(shí)間：40分鐘一.選擇題1 .下面四個(gè)方程中,有兩個(gè)不等實(shí)根的是2 ._2._A. x 1=0B. x-x1=0x2 -x - = 02C.4D. x x -1 = 02.方程x2 +3x-6 = 0的兩根為x1、x2 ,那么以3x1、3x2為根的 次方程是A. x2 -9x 54 = 02C. x 9x - 18 = 0lx = 113.ly =9是方程組-Lm = 2A. n = 3mx2B. x 9x - 54 = 0D. x2 9x 18 =0ny = 49、nxmy = 15的解,那么-Lm -

22、 -2B. n=3C. n = 一2D.m - -3n - -24 .一個(gè)矩形周長(zhǎng)為 24,寬的長(zhǎng)度不超過 4,那么長(zhǎng)a的取值范圍是A. 20 < a < 24B. 0 :二 a < 12C. 8 :二 a 二 12D. 8 < a 二 125x - 6 : 2x m5 .不等式組3x -12 <4x -13解集是1 < x < 4 ,那么m的值是A. 6B. -3C. -6D. 32 .填空題6 .設(shè)m+nm+2+n 15=0,那么 m + n 的值為27 .如果方程3x 一m 1x+m = 5的兩個(gè)實(shí)根互為相反數(shù),那么 m =；假設(shè)兩實(shí)根 互為倒數(shù),那么 m =,假設(shè)有一個(gè)實(shí)根