完整版數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)

1、知識(shí)框架數(shù)列的概念f數(shù)列的分類(lèi)!數(shù)列的通項(xiàng)公式函數(shù)角度理解、數(shù)列的遞推關(guān)系等差數(shù)列的定義 an等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的求和公式-anJ. =d(n _2)an = a1 (n -1)d0 nn(n -1).S 二, an)=na12一- dam 二 ap aq (m n 二 p q)求和公式及性質(zhì),掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用,就有可 能在高考中順利地解決數(shù)列問(wèn)題.一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式1觀(guān)察法.2由遞推公式求通項(xiàng).對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解,通?？赏ㄟ^(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題.1遞推式為 an+1=an+d 及 an+1=qan d, q

2、為常數(shù)例1、例1、解an滿(mǎn)足 an+1=an+2,而且 a1=1.求 an.an+1-a n =2 為常數(shù)an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列數(shù)列兩個(gè)基本數(shù)列等比數(shù)列的定義工=qn之2an 1等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的求和公式等比數(shù)列的性質(zhì)anSnan=1+2 (n-1 )n 1二aqai -anq=1 -q na1(q =1)a1(1 qn)一 (q =1)1 -q例2、an滿(mǎn)足a解二弧即 an=2n-11n書(shū)an ,而 a1 2 ,求 an = ?n 12 n.J是常數(shù)wanam =apaq (m , n = p , q),1%是以2為首項(xiàng),公比為5的等比數(shù)列-數(shù)列求和公式法分組求和錯(cuò)位相

3、減求和?裂項(xiàng)求和第=2,1尸(2)遞推式為 an+i=an+f (n)倒序相加求和累加累積、歸納猜想證實(shí)珈中/分期付款 數(shù)列的應(yīng)用八其他1例3、an中a1 = 2解：由可知an書(shū)-an(2n 1)(2n -1)2n 1令 n=1, 2, , (n-1 ),代入得(n-1 )個(gè)等式累加,即(a2-a 1) + (a3-a2)+ + ( an-a n-1 )掌握了數(shù)列的根本知識(shí),特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、2n - 3 2n -11/ /1 1、=-r Ci)+ ()2l 33 51*14n-3an =ai -(1 -):-2 2n - 1 4n -2 說(shuō)明 只要和f (1) +f (2

4、) +f (n-1)是可求的,就可以由an+1=an+f (n)以n=1, 2,(n-1)代入,可得 n-1個(gè)等式累加而求 an.(3)遞推式為an+1=pan+q (p, q為常數(shù))例 4、an中,a1 =1 ,對(duì)于 n>1 (nC N)有 an =3an+2 ,求 an .角軍法' "： 由遞推式得 an+1=3an+2, an3an-1 +2o 兩'式才目調(diào)an+1-a n=3 (an-an-1) 因此數(shù)列an+1-a n是公比為3的等比數(shù)列,其首項(xiàng)為 a2-a 1= (3X 1+2) -1=4 - an+1-an=4 " 3an+1=3an+2

5、3an+2-a n=4 , 3 即 a n=2 , 3 -1解法二：上法得a n+1-a n是公比為3的等比數(shù)列,于是有：a2-a 1=4, a3-a 2=4 3a4-a3=4 - 3 ,an-an-1 =4 - 3n-,把 n-1 個(gè)a尚=4 lA_3+33降+省靖)二彳8 "&-an=2 3n-1-11 - 3(4)遞推式為an+1=p an+q n (p, q為常數(shù))【例5】a用藥二,%產(chǎn)1+(；)叫求知.略解 在小血的兩邊乘以2呻導(dǎo)2n+L * an+1 = -(2%) +1,令勾=2%：2： L二 2.燈十一bn =一(4 一bn*)由上題的解法,得：4=3 - 2

6、(一)33an =今=3(歹一20 n*說(shuō)明對(duì)于遞推式可兩邊除以產(chǎn)1,得黑二 q2 + L弓|輔助數(shù)列g(shù), (bM),得履切=+ 1后用 q q qQnq q(5) 遞推式為 2門(mén)卡=pan+qan思路：設(shè) an42 = pan 書(shū)+ qan,可以變形為：an 也一uan41 = p (an書(shū)a an),Q + B - p就是y=Cq + 8)那么可從L 二P解得q,兄Q p =-qi于是an+1- “ an是公比為3的等比數(shù)列,就轉(zhuǎn)化為前面的類(lèi)型.2 11例6數(shù)列&中,為=1,%=2, ant2=-an+1+-an,3 6 求an.21a + p =p u + 3 =5分析n.R&#

7、39;=1a.qj2"餐解 在Ma =5+鏟門(mén)兩邊減去% ,得* * d+i-%是公比為首項(xiàng)為為=1的等比數(shù)列.產(chǎn)一?«；,+ ,4 = 1+孤-；6遞推式為S與an的關(guān)聚式數(shù)列求和的常用方法:1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng),重新組合分成幾組,轉(zhuǎn)化為特殊數(shù) 列求和.2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列如果an等差,bn等比,那么anbn此類(lèi)型可利用4Cn = l)1例設(shè)%前n項(xiàng)的和5.=4-卬-擊.求a血與y的關(guān)系;2試用n表示an.°叫做差比數(shù)列即把每一項(xiàng)都乘以bn的公比q ,向后錯(cuò)一項(xiàng),再對(duì)應(yīng)同次解1由乂=4-泣Sm+1 =4 -c c /1Sn 1 - Sn

8、- (a n - an 1)( 2 n 2n 一擊得_ 1H+1 nft-1)2n 4 )項(xiàng)相減,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng),使其正負(fù)抵消,只余有限幾 項(xiàng),可求和.1,適用于數(shù)列1和個(gè)an an 1可裂項(xiàng)為：an 1 =an -an 1 .,an an.1(,d anan,1_1. _1前 1 一 2 an 2n上式兩邊同乘以2n+1得2n Wan+2那么2 nan是公差為2的等差數(shù)列.2nan= 2+ ( n-1 ) 2=2n等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題：1、假設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai >0 ,公差d <0 ,那么前n項(xiàng)和&有最大值.#、a

9、n -0(i )右通項(xiàng)an ,那么Sn最大U ian 1 - 0(ii)假設(shè)Sn = pn2+qn,那么當(dāng)n取最靠近力-的非零自然數(shù)時(shí)Sn最 2p大；2、假設(shè)等差數(shù)列4 的首項(xiàng)ai <0 ,公差d A0 ,那么前n項(xiàng)和&有最小值4 、an m0(i)右通項(xiàng)an,那么Sn最小仁(ani -02q(ii)右 Sn = pn +qn ,那么當(dāng)n取最靠近的非零自然數(shù)時(shí) Sn最 2p??；數(shù)列通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式.Sn (即ai +& +lll+an = f(n)求an ,用作差法a =Si,(n=1)an - Sn-SnJ1(n>2)

10、6;f (1),(n =1) a1 La2an =f (n)求 an ,用作商法：an = « f (n) / n >°f(n-1),( _)條件中既有Sn還有an,有時(shí)先求Sn,再求2口；有時(shí)也可直接求20 假設(shè)an由一 an = f(n) 求 an 用 累 加 法an = (an - an)(an- an/) IH (a2-a1)+a (n >2) o亙'=f (n)求an ,用累乘法：an = -a- '亙衛(wèi)川三a (n之2).ananan_2a1遞推關(guān)系求 an ,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列).特別地,(1)形如an =kan+ b、a

11、n = kan+ bn (k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后,再求an ；形如an = kan+ kn的遞推數(shù)列都可以除以 kn得到一個(gè)等差數(shù)列后,再求an.a(2)形如an=n 的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng).kanJ bk(3)形如an由 = an的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng).(7)(理科)數(shù)學(xué)歸納法.(8)當(dāng)遇到an書(shū)-an=d或亙土 = q時(shí),分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論,結(jié)果可 an 1能是分段形式.數(shù)列求和的常用方法：(1)公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式.(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí),常將“和式中“同類(lèi)項(xiàng)先合并在一起,再運(yùn)用公

12、式法求和.(3)倒序相加法：假設(shè)和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián),那么?？煽紤]選用倒序相加法,發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法.4錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成,那么常選用錯(cuò)位相減法這也是等比數(shù)列前 n和公式的推導(dǎo)方 法.5裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差的形式,且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián),那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：“111n 之 2時(shí),一a1+Fa2 + an=2n 1+5222 一一1<1 A- <2 A 得：pan=2anW1=1 n(n 1) n n 1n

13、(n k)4(i-八11111:二= ()k2k2 -12 k -1 k 11111111一=< 2 < = 一；k k 1 (k 1)k k2 (k -1)k k -1 k1n(n 1)(n 2)(n 1)(n 2)n(n 1)!11n! (n 1)! 2d、.n)2一.2.n 、n 1、n . n n -1=2(、. n ：/n T)14 (n = 1)一 an =n書(shū)2 (n_2)練習(xí)1數(shù)列匕口滿(mǎn)足Sn+Sn+="5an書(shū),a1 = 4,求an3S ,(注意到an+=Sn+ Sn代入得：義也=4Sn、解題方法:求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求an又5

14、1 =4,Sn是等比數(shù)列,Sn=4n n*2時(shí),an=Sn-Sn= = 3,4n'4、疊乘法例如：數(shù)列匕/中,a1 =3, - =n- ,求anan n 1(n =1時(shí),a1 S1 ：. n 之2時(shí),an =Sn Sn)3、求差(商)法如： Qn 滿(mǎn)足 1al+a2 + +an =2n +5<1 >2222n1解：n =1時(shí),-a1 = 2 1 . 5, a1 =142解：至曳旦=- 2口 ：包=a1 a2an 23 na1 n又a1 = 3, , an =一n5、等差型遞推公式由an -an=f(n), a1 =ao,求an,用迭加法.ann 之2時(shí),a2 -a1 =f(

15、2)a3 -a2 =f(3)兩邊相加,得:anc -1c-1n1, can -an J,二f(n)an -凡=f(2) f(3)fn練習(xí)1-an =ao f(2) f(3)f(n)練習(xí)1數(shù)歹 U an, a1 =1, an = 3n' +an2 2 ),求 an6、等比型遞推公式an=canq+d(c、d為常數(shù),c#0, c#1, d#0)可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,設(shè) an X = c and X=an = can 4 c-1 X令(c - 1)x = d, xan 是首項(xiàng)為a1十-1c為公比的等比數(shù)列ra1c -1n-1dc - 一c-1數(shù)列an滿(mǎn)足a1 = 9,求an9n4=8 -47、倒

16、數(shù)法例如：a1由得:3,1,an 1 an 1)an -1an 12anan 22an求an1 名,I2為等差數(shù)列,an1,公差為an11=1 +(n -1) 一 = (n + 1)22n項(xiàng)和公式求和,另外記住以an2.數(shù)列求和問(wèn)題的方法(1)、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前 下公式對(duì)求和來(lái)說(shuō)是有益的.,、,口 8+1)1 + 2 + 3+n=多221 + 3 + 5+ + (2n-1)=n2 . 2 . 2 . 2n(n+l)(2n +1)la+22 + 33 + +na =-913+23+?+/=旦磬匕【例 8】 求數(shù)列 1, (3+5), (7+9+10), (13

17、+15+17+19),前 n 項(xiàng)的和.1 ,解此題頭際是求各奇數(shù)的和,在數(shù)列的刖n項(xiàng)中,共有1+2+n=n(n+1)2個(gè)奇數(shù),(2)、分解轉(zhuǎn)化法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和.【例 9】求和 S=1(n2-1) + 2 (n2-22) +3 - (n2-3 2) + +n(n2-n2) 解 S=n 2 (1+2+3+n) - (13+23+33+M)=n2 ,n (n +1) -工口.(n + 1)工 24=(口+ 1) (n - 1)=,(口=1)(3)、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列,采取把正著寫(xiě)與倒 著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加,然后求和.例 10

18、、求和：Sn = 3C：+6C：+III 十 3nC；例 10、解 Sn =0*C0+3Cn+6C2+| + 3nCrn又一 =3n. + 3 & -1) C丁】+ +0C： 相加,且運(yùn)用Ct = C：k可得2sti = 3n © +C： + +C：) = 3n * 2n,最后一個(gè)奇數(shù)為：1+ 1 n(n+1)-1 x2=n2+n-12因此所求數(shù)列的前n項(xiàng)的和為1 r 、1 + (n3 +n -1)Sn=-n (n + 1) - J二 (r? (n + 1) 2CSn=3n 2n-1(4)、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的,可把和式的兩端同

19、乘以上面的等比數(shù)列的公比,然后錯(cuò)位相減求和.例 11、 求數(shù)列 1, 3x, 5x2, ,(2n-1)x n-1 前 n 項(xiàng)的和.解 設(shè) $=1+3+5x2+(2n-1)x n-1 .當(dāng)xl時(shí),s宜J"； D * 口二11(2)X=0 時(shí),Sn=1 . 當(dāng)xw0且xwl時(shí),在式兩邊同乘以 x得xS n=x+3x2+5x3+ +(2n-1)x n,-,得(1-x)S n=1+2x+2x,2x3+ - +2xn-1-(2n-1)x n.由公式知S. =q- 1 + 1 - 1)切1翼If1 + x - (2n 4 1)五推 + (2n - l)xn+l= '(5)裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公

20、式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式,然后前后相消.常見(jiàn)裂項(xiàng)方法：11 ri 1 1n(n + k) k n n + k11I1L'n(n + l)(n + 2)2 n n + 1 n + 2而dk 9g叫一 一 1111例 12、求和+| 1 *5 3 *7 5 *9(2n -1)(2n 3)M田加 1111例3 求不口+ " +1,5 3 , 7 5 9(2n-l)(2n+3)I 1 1 1II (2n-1)(2 口+ 3) 4、2口-1 2口+ Y"III 1+ , , +a 4l 5 3 7 5 92n-3 2n +1 2n -1 2n + 3111 r-r i +4l 3 2n + l 2n+ 3 n(4n+5)- 3(2n +1)(2口+ 3)注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng),還剩下哪些項(xiàng),一般地剩下的正項(xiàng)與 負(fù)項(xiàng)一樣多.在掌握常見(jiàn)題型的解法的同時(shí),也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問(wèn)題 時(shí)的應(yīng)用.二、常用數(shù)學(xué)思想方法1.函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決.【例13】等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai>0,前n項(xiàng)的和為 氫 假設(shè)S=8 (l wk)問(wèn)n為何值時(shí)Sn最大解依題意,設(shè)f (口)= =口軟1 + fl" dai>0S產(chǎn)Sk