完整版點(diǎn)差法習(xí)題有答案

1、點(diǎn)差法習(xí)題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題是高考常見的題型,在選擇題、填空題和解,做題中都是命題的熱點(diǎn).它的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程,借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法 求解.假設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)弦的端點(diǎn)1坐標(biāo),將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差,得到一個(gè)與弦 的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子,可以大大減少運(yùn)算量.我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法,它的一般結(jié)論叫做點(diǎn)差法公式.使用說明及學(xué)法指導(dǎo)】1、通過證實(shí)定理,熟悉“點(diǎn)差法的運(yùn)用；2、記住點(diǎn)差法推導(dǎo)出的公式,并熟練應(yīng)用；假設(shè)設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為Ax1,y1、BX2,y2,將這兩

2、點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差,得到一個(gè)與弦 一、自主證實(shí)AB的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子,可以大大減少運(yùn)算量.我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法.1、定理,在橢圓2 匕 b2>b>0中,假設(shè)直線1與橢圓相交于 M、N兩點(diǎn),點(diǎn)PX0,y0是弦MN的中點(diǎn),弦MN所在的直線kMNkMN那么VoX0b2a同理可證,在橢圓2Xb22y2a> b >0)中,kMN弦MN所在的直線l的斜率為V.X0假設(shè)直線1與橢圓相交于 M、N兩點(diǎn),2 a b2點(diǎn)PX0,y0是弦MN的中點(diǎn),22xy222、定理在雙曲線ab1(a>0,中,假設(shè)直線1與.雙曲線相交于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)Pxo, y.

3、是弦mn的中點(diǎn),弦MN所在的直線1的斜率為kMNkMN ,那么b2a2y2同理可證,在雙曲線 a1a >0, b >0中,假設(shè)直線1與雙曲線相交于 M、N兩點(diǎn),點(diǎn)PX0, y0是弦MN的中點(diǎn),弦 MN所在的直線1的斜率為kMN ,那么2k ya_kMN, 2X0b23、定理 在拋物線y2mxm 0中,假設(shè)直線1與拋物線相交于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)PX0, y0是弦MN的中點(diǎn),弦MN所在的直線1的斜率為kMN ,那么kMN y0m例1設(shè)橢圓方程為1點(diǎn)N的坐標(biāo)為221OP -(OA OB).當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí),求:(1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;4 ,過點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B,O為坐標(biāo)原

4、點(diǎn),點(diǎn)P滿足2,(2) I NP I的最大值和最小值22 XC : y2 - 1例2雙曲線3(1)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡；過點(diǎn)PQ,1)作直線l交雙曲線C于A、2222X y 1 X y52 D. 254x交于A、B兩點(diǎn),那么線段1AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是2同理可證,在拋物線x 2my(m2 X 例1、過橢圓一16例2、雙曲線1 ,經(jīng)過點(diǎn)M (1,1)能否作一條直線1 ,使1與雙曲線交于A、B ,且點(diǎn)M是線段AB的中(2)假設(shè)P恰為弦AB的中點(diǎn),求直線1的方程.例3拋物線,y2 4x的過焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程是()2122y X -2A. y X 1 B. y 2(X 1)C.2 D. y 2x 1

5、221 .橢圓x 2y 4,那么以(1,1)為中點(diǎn)的弦的長度為()303 6A. 3 2B. 2 3 C. 3D. 22 .雙曲線中央在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F(v,7,0),直線y X 1與其相交于M、N兩點(diǎn),MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為23 ,那么此雙曲線的方程為()2222x y 1y 1A. 34 B. 43 C.23.直線X y 2 0與拋物線y 【規(guī)律總結(jié)】0)中,假設(shè)直線1與拋物線相交于 M、N兩點(diǎn),點(diǎn)P(X0,y0)是弦MN的中點(diǎn),弦1 X0 mMN所在的直線1的斜率為kMN ,那么kMN以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程1內(nèi)一點(diǎn)M (2,1)引一條弦,使弦被 M點(diǎn)平分,求這條弦所在直線的方程.

6、點(diǎn).假設(shè)存在這樣的直線1,求出它的方程,假設(shè)不存在,說明理由. 過定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)軌跡2例3、橢圓匕75例4、橢圓上75x2,-、,11的一條弦的斜率為 3,它與直線x 12522X 1,求匕的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程.25的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)5 3x y 0(M ,求點(diǎn)M的坐標(biāo).求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程例5、中央在原點(diǎn),一焦點(diǎn)為F(0, J50)的橢圓被直線1 : y 3x2截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,、一,求橢圓的方程.2四、圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問題22例6、橢圓左 L 1,試確定的m取值范圍,使得對(duì)于直線y 4x m ,橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)

7、43稱.例1.解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為M (2,1)為AB的中點(diǎn)又A、B兩點(diǎn)在橢圓上,那么兩式相減得(x12 x22) 4( y12于是(x x2)(x1 x2) 4(y1yy2x1 x2x x24(y1 y2)A(xi,yi)、B(x2,y2)x X24 y2,22x1 4y116 , x2y 2 4y22 16y22) y2)( y1 44 20y) 01211即kAB1,故所求直線的方程為211 (x22),即 x 2y 4 0.例2.解：設(shè)存在被點(diǎn)那么x12 x1x22y122,兩式相減,得(xix2)(xi故直線AB: y(這說明直線yi2X2x2)2(x2y24)21)平分的弦AB

8、 ,且A(x1,y1)>y222121 /、(T (y1y2)(y122(x 1)消去y ,得2x2AB與雙曲線不相交,故被點(diǎn)B(x2, y2)y2)4x平分的弦不存在,即不存在這樣的直線評(píng)述：此題如果無視對(duì)判別式的考察,將得出錯(cuò)誤的結(jié)果,請(qǐng)務(wù)必小心.由此題可看到中點(diǎn)弦問題中判斷點(diǎn)的位置非常重要.(1)平分的弦可能不存在.假設(shè)中點(diǎn)M在圓錐曲線內(nèi),那么被點(diǎn)M平分的弦一般存在；(2)假設(shè)中點(diǎn)M在圓錐曲線外,M那么被點(diǎn)M例3.解：設(shè)弦端點(diǎn)Pl* yj、1Q(x2, y2),弦 PQ 的中點(diǎn) M (x°, y°),那么 xO 2x1X22 y1752 x02x1兩式相減得25

9、25(%1,y12y275y2)(y1y22 y02x225y2)即 2y0(y1y2)3(x1x2)75(x1 x2)(x1yy2xx2x2)032y0y2x1x232 y03,即 y0 1點(diǎn)M的坐標(biāo)為(一,2i)例4.解:設(shè)弦端點(diǎn)P(x1,町)、Q(x2,y2),弦 PQ 的中點(diǎn) M(x, y),那么x1 x22 又比75兩式相減得2x ,2xd1 ,2525(%y12y275y2)(y1y22 x225y2)2y即 y(y1 y2) 3x(x x2)0,75( x1x2)(x1 x2) 0y1y23x即-Xx2yyiy2&3xix23xx由 y275點(diǎn)My 0x2.,得 i25在

10、橢圓內(nèi)P(512) n(5.3)Q(22它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程為例5.解：設(shè)橢圓的方程為設(shè)弦端點(diǎn)P( x1, y1)、22當(dāng)ti,那么 a2 b2a bQ(x2,y2),弦PQ的中點(diǎn)50-0M (Xo, y0),那么3x022又紋包乂 2.2a b兩式相減得即 b2(yi2 y2 -2 aixi22,iX22 X01 , yiy22y°i.2/b (yiy2)yiy2y2)(yiy2)a2(xi2ax2) 02 aa2(xix2)(xix2)2xi x2b聯(lián)立解得a2 75所求橢圓的方程是b22575 25例6.解：設(shè)p(xi, y1), Pz(x2,y2)為橢圓上關(guān)于直線y4x m的對(duì)稱兩點(diǎn),P(x,y)為弦P1P2的中點(diǎn),那么_22223xi 4yi i2, 3x2 4y2兩式相減得,3