典型例題一階微分方程的初等解法

1、第二章一階微分方程的初等解法例 2-1 求(3x2 +6xy2 )dx +(6x2y +4y42222)dy = 0 的通解.解解法1不定積分法.令 M (x, y) =3x2 +6xy2, N(x, y) =6x2y +4y3,那么 型 =i2xy,里 =12xy ,所以該方程為恰當(dāng)方程.y：:yUoo=M (x, y) = 3x 6xy , 一 x關(guān)于x積分,得U =x3 +3x2 y2 +中(y),U=6x y + ；''(y) = N(x, y) = 6x y 4y , -:y：(y) -4y3 , :(y) = yd (x y ) 3( y dx x dy )=0積分

2、,得原方程的通解為x3 +3x2y2+y4 = C.評注：求解一個對稱形式方程的時候,首先應(yīng)當(dāng)判定它是不是恰當(dāng)方程,如果是,那么就可以直接進(jìn)行求解, 否那么求其積分因子將方程化為恰當(dāng)方程來求解.實(shí)際應(yīng)用中,往往在判斷一個方程為恰當(dāng)方程之后,并不需要嚴(yán)格根據(jù)解法1和解法2的常規(guī)方法求解,而可以米用分項(xiàng)組合的方法,先把那些本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出,再把剩下的項(xiàng)湊成全微分,這,所以通解為 U (x, y) = x3 +3x2y2 +y4 = C.解法2公式法利用恰當(dāng)方程求解方法 3中公式得方程通積分為、 x,_2_2、. y 3 _43_22-U (x, y) = 0 (3x + 6xy ) dx

3、+ 104ydy = y + x + 3x y = C解法3分組法去括號重新分組可得-2 ,.3223x dx 4y dy 6xy dx 6x ydy = 0樣可以簡化運(yùn)算量,因此需要熟悉以下二元函數(shù)的全微分公式:ydx -xdy ,/x、ydx xdy 二 d (xy) , 2-= d (-),xdy - ydx=d(2),xydx -xdyxyx二d(ln -), yyd.d(arctg),x yyydxZx _y 2 x yxdx ydy2x y=1d ln( x222、 ydx - xdyy2)2=d(lnx -yy2).yy例2-2求方程x322、 一 2+ x + y )dx +

4、x ydy = 0 的通解.N= 2y,里 =2xy,所以該方程不是恰當(dāng)方程.；x分組得3222_x dx x ydy (x y )dx = 01顯然前兩項(xiàng)具有積分因子-2 ,相應(yīng)的全微分為x122、xdx ydy =-d(x y ),要使得工(x2 y2) x1成立.只需取 (x , y ) = -22x y,'-(x)=1 r 人 即可,這樣就找到了一個積分因子 x原方程兩邊同乘 J評注：當(dāng)一個方程不是恰當(dāng)方程時,尋求積分因子便成了求解此類方程的一個有效途徑,222x (x y )12 / 22x (x y )分組組合法降低了尋找積分因子的難度,這就要求大家熟悉常見的二元函數(shù)的全微

5、分公式.例2-3求方程ydx + (y _x)dy = 0的通解.二 M二 N解 由于迫 =1,空 =1 ,所以原方程不是恰當(dāng)方程.:y；x解法1可將原方程改寫為ydx -xdy = -ydy , .1左端有積分因子 J(x, y)=2x.,、1 或N(x, y) =丁,但考慮到右端只與變量y有關(guān),故取y1(x, y)=ydy y為方程的積分因子,因此有ydx - xdy2y兩邊積分可得通解7 lny=C ,易見y =0也是原方程的解.解法2也可將原方程改寫為dy 二 ydx x - y這是齊次方程.令y=ux,即可進(jìn)行求解.解法3將x看作未知函數(shù),原方程可化為線性方程dxdyx-1從而可就x

6、進(jìn)行求解.解法4：M N只與y有關(guān),所以存在關(guān)于y的積分因子y ：:x由于j以 J(x, y)為恰當(dāng)方程,即-2|ln y二e 1,12 )y1 一m , 二乘以方程兩端,得到 y1dx Idy- y yydx -xdy dy-= 0,x因而通解為+ln y| = C ,另外,易見y =0也是原方程的解.評注：解法i表達(dá)了選取積分因子的一般原那么,如果積分因子選取恰當(dāng),那么解方程的 難度就會降低；解法 2運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想,將原方程化為可別離變量的方程；解法 3表達(dá)了在求解常微分方程時, 變量x和y具有同等重要的地位, 有時侯將x看成y的函數(shù),那么方現(xiàn)里加 2N程很容易就x求解；當(dāng)判定 辿一上只

7、與x有關(guān)或者 a一絲只與y有關(guān)時,運(yùn)用解 N- M法4可以很方便地求出積分因子,但必須注意乘以積分因子R(x, y)可能出現(xiàn)使此積分因子為零的多余特解,同時應(yīng)該注意在對方程作同解變形時,會不會產(chǎn)生漏解的情況,如果漏掉那么應(yīng)當(dāng)補(bǔ)上,例如上例當(dāng)中的y = 0.例2-4證實(shí)方程M(x, y)dx十N(x,y)dy = 0有形如N = N9(x, y)的積分因子的充要M N條件是(-)(N-M )工=fW(x, y),并求出這個積分因子.yexex cy證 由定理 2.2,方程 M(x, y)dx + N(x, y)dy=0有積分因子 N(x,y)的充要條件是二(FM-:y-颯).x令 N = N9(

8、x, y),那么有nH=.m吆匚d : ；:x d /二 N.尸(x,y):x即N =出中(x, y)滿足以下微分方程1 d,fM?Nwki-二(-)(N d :jy；:x受；:x-M ),二 y件為上式右端應(yīng)為 中(x,y)的函數(shù),這就證實(shí)了N =巴中(x, y)為方程的積分因子的充要條(2M y:N/ f 二)(N-M):x：:yfp(x,y).d 人、1 d= f%, y),求解一階方程 1d :得積分因子為NW(x, y) =efqx,y)dQ評注：此例對于探索積分因子極為有用.假設(shè)令',那么可分別獲得方程M (x, y)dx N (x, y)dy = 0具有以下形式廣 f (

9、x - y),x產(chǎn) f (xy),- f (一), y(1 =f (x2 士 y2),然=f (x ay ')積分因子的充分必要條件分別為:M _N_fy ：:xN 二 M2M Ny；:x二(x y),yN - xM= ?(xy),2,：:MFN、y ( 一)二y二 xyN xM=哈,y.:M FN:y改xN 二 yM三M _N_= cp(x2±y2), / =中(N - 一 Mx yx?y-)o例 2-5 求方程 x(4ydx +2xdy) + y3(3ydx +5xdy) = 0 的通解._ 1一解對第一項(xiàng),可以取出=,乘以m得x y4dx因此可取第一項(xiàng)的積分因子通式為同

10、理第二項(xiàng)的積分因子通式為人紀(jì)僅)51 xy容易看出,假設(shè)取 Kt )=t2,62(t )=t ,那么兩項(xiàng)的積分因子相等為中i x2y =工02 x3y5 )=x2yxy這就是方程的積分因子.如果不易觀察到所需的 1 -)62a我們可以嘗試用下面方法.現(xiàn)設(shè)中1(z)=z", ©2(z)=z',我們選擇 % B使得12 a a 13 B 5 Bx y =-4 x y x yxy成立.比較兩邊x, y的次數(shù),得,2a-2 = 3 0-1、a 1 =504從而求得因此兩項(xiàng)的公共積分因子,即原方程的積分因子是,、2代 y) =x y o將所求積分因子乘原方程兩端得3 2 ,-

11、4.=25.34 , 一Ux y dx + 2x ydy )+(3x y dx + 5x y dy )= 0 ,即有(y2dx4 +x4dy2(y5dx3 +x3dy5 )=0 ,故通解是 x4y2+x3y5=C.評注：用分組法求積分因子的關(guān)鍵在于方程恰當(dāng)分組和尋求各組的共同積分因子.例2-6求以下方程的通解.1) (5xy -3y553y 2dx2 x2dy2)dx (3x2 -7xy2)dy =02) (3xy3 -2y)dx (x2y2x)dy =0解1)解法1設(shè)有積分因子k = xay ,那么(5x ''一 21 y '1 -3x ' y _ 3)dx

12、(3x ' 2 y - - 7x ' 1 y _ 2 )dy = 0為恰當(dāng)方程,于是.:(5x: 1y ：1 -3x：y ：3)f(3x： 2y ： -7x、1 y ： 2)=,.:y；:x5( P +1)x5yl3(P +3)x"yX =3(a +2)xa+yP-7(a +1口力力比較系數(shù)可得3 -5? = 17a -3? =2解之得1 :1£=,P =,2 211因此,積分因子為 N(x,y)=x2y2.將所求積分因子乘以分組前方程5xydx 3x2dy)i3y3dx 7xy2dy = 05x2y2dx+3x2 y2dy - 3x2y2dx + 7x2y

13、2dyQ) l)即有7337y2dx2 x2dy2容易得出原方程的通積分是5337x2 y2 -x2 y2 =C.解法2方程各項(xiàng)重新組合為(5xydx +3x1 dy )(3y因此兩項(xiàng)的公共積分因子,即原方程的積分因子是 接下來同解法1,略.dx + 7xy2dy )= 0 ,對第一個括號,可以取 陽隨得5dx 3dy r 5+- = d ln x y因此可取第一個括號的積分因子的通式為6i(x5 *y3%(x3y7 ).同理第二個括號的積分因子的通式為A3 xy現(xiàn)設(shè)Gdzz, G2(z)=z',我們選擇% B使得15-. 3-.13 1 7 1x y =3x yx yxy成立.一&a

14、mp;-2 = 3P -1 比較兩邊x, y的次數(shù),得,n ,從而求得3 -1=7? -33dx=d【nx3y】一 一I ,一 、一 , ,1O因此可取第一個括號的積分因子通式為6 1 (x3 y ).x y同理第二個括號的積分因子通式為：2工 .xy 2 x2現(xiàn)設(shè)Gi(z)=z", G2(z)=z',我們選擇% B使得3 a i 1_2 (3 Bx y =x yxy成立.比較兩邊x, y的次數(shù),得'3a-2= -2 B-1a-3 = 0-1從而求得/、 x因此兩項(xiàng)的公共積分因子,即原方程的積分因子是Mx, y)=y將所求積分因子乘以分組前方程一 3 -22 _.一3

15、xy dx x y dy I t. 2 ydx xdy = 0,23. 2x x2“ 一(3x ydx + x dy )+ - dx + dy = 0 ,即有(ydx3 +x3dy)+ - -dx2 l y+ x2d -=0I y容易得出通積分是23 x3 22 cx y -= C或xy -x =Cy.y評注：待定指數(shù)法提供了當(dāng)對稱形式方程的系數(shù)為多項(xiàng)式時求積分因子的一個一般性方法,具有一定的實(shí)用價值.如果通過比較指數(shù)法解不出a和P ,或者和P得表達(dá)式比較復(fù)雜,這時可以考慮利用分組法來求積分因子.例 2-7 解方程(y+x3y+2x2)dx + (x+ 4xy4+8y3)dy = 0.解方程各

16、項(xiàng)重新組合為(ydx + xdy )+ (x3 ydx + 4xy 4dy )+ (2 x2dx + 8y 3dy )=0 ,d xyxyx2dx 4y3dy L2dix- y43d xy xyd x- y4 3+ y4, v =xy ,上方程化為dv vdu 2du = 0 ,解之得回代變量得原方程的通積分為 x3 3y4+ 3ln 2 + xy = 3C ,另外xy = -2也是方程的解.評注：通過變量變換,降低了方程的求解難度,但是究竟采用怎樣的變換,一般而言, 沒有規(guī)律可循.從此例中我們可以看到, 有時可將方程變形, 在這個過程中觀察其特點(diǎn),尋 找恰當(dāng)?shù)淖儞Q.例2-8 求解方程 y =

17、 xy'ln x + (xy )2.解設(shè)dy = p ,原方程寫為dx2(1)y 二 xpln x (xp)兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得到p = dpxln x + pln x + p +2xp2 +2px2 dp ,dxdx化簡后得到(ln x +2xp)(xdp + p) = 0 ,dx由此可得lnx f dpp二/或 xdT-pln x 1o代入1,得原萬程的一個特解y = - 一ln x；-2x4dpC2由萬程x = -p,解得p=,代入(1),得到原方程的通解 y = Clnx + C2.dxx評注：屬于第一類能解出 y (或x)的方程,引進(jìn)參數(shù) 電=p ,那么原方程變?yōu)?dxy =

18、f (x, p),兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得到p的關(guān)系式.注意要全面考察這個關(guān)系式,有的已經(jīng)是p的直接表示式,對應(yīng)方程的奇解；而有的還須求解關(guān)于p的微分方程,對應(yīng)方程的通解.例2-9 求解方程 (y')2 COS2 y + y'sin xC0sxeOSySin y COS2 x = 0.解 這是隱式方程的求解問題._ cosx du cosy dv令 sin y =u,sin x = v ,那么du = (cos y)dy, dv = (cosx)dx, y代入原方程,得/2 du、22 、du .2(cos x)( ) (sinxcos x) sin ycosdvdv整理得方程,du

19、、2du -()+vu = 0, dv dv,du、2duu 二()vdvdv2這是關(guān)于u,v的克萊洛方程,其通解為u = c2 +vc ,奇解為u = -L.2.22Sin x從而可得原方程的通解和奇解分別為sin y = c +csin x,sin y = -.2評注：運(yùn)用適當(dāng)?shù)淖儞Q將方程轉(zhuǎn)化為可積類型或一些特殊方程,從而即可求解原方程, 這就需要熟悉常見的可積方程,例如迫努利方程,黎卡提方程,雅可比方程等.例2-10求滿足以下關(guān)系式的函數(shù) y(x).2x1) y(x) = x 20 y(t)dtxx2) y(t)dt (x -t)2ty(t) ty2(t)dt = x003) )給方程兩

20、端關(guān)于x求導(dǎo)得y'(x) = 2x +2y(x),那么求解積分方程2xy(x) = x 2 0 y(t)dt就等價于求解初值問題V = 2y +2x:y(0)=0解上面微分方程得其通解為y = e2xC + 2jxLxdx,即2x1y = Ce - x - - °21 1滿足初始條件的解為 y = 1e2x -x -1°2 22)給方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)得x2y(x) + &2ty(t)+ty2(t)dt =1,對上方程兩端關(guān)于 x再求導(dǎo)得y ( x) + 2xy(x) + xy 2(x) = 0.這樣,求解原積分方程 xx0 y(t)dt 0 (x-t)2ty(t) ty2(t)dt =x就等價于求解初值問題y,= -2xy - xy2、y(0)=1方程y ' = -2xy - xy 2是迫努利方程,兩端同除以-y2 ,變形為1c 1-2" y = 2x 十 x , yyg(1) dx y2x xy2斛之得萬程 y = -2 xy - xy得通解為“dxx2=ex C -=Cex22Jr2即 y 2 o2Cex - 1故滿足初始條件的解為2y 二3ex - 1評注：此題是一類積分方程的求解問題,通常是通過對方程關(guān)于 x求導(dǎo)