均值不等式和柯西不等式專項訓練

1、均值不等式應用.均值不等式常用類型1. 1假設 a,b R ,那么 a2b22ab2假設 a,b R,那么 ab22b (當且僅當a b時取“=)2.1假設 a,bR*,那么 a_ Vb2 假設 a,b R*,那么 a b 2疝當且僅當 a b 時取“=223假設a,bR*,那么ab 史上 當且僅當a b時取“=213.右x 0 ,那么x 2 當且僅當x 1時取« ="； x1假設x0,那么x2 當且僅當x1時取 =x假設x0,那么x12即x 1 2或x 1-2 當且僅當a b時取“=xxx3 .假設ab 0,那么亙b b a2 (當且僅當a假設ab 0,那么a b 2即a

2、 - b a b a.2.24 .假設 a,b R,那么 ?2 a_b_ 22a b .2或一一-2 (當且僅當a b a(當且僅當a b時取“=)b時取“=)注：(1)當兩個正數(shù)的積為定值時,可以求它們的和的最小值,當兩個正數(shù)的和為定值時,可以求 它們的積的最小值,正所謂“積定和最小,和定積最大(2)求最值的條件“一正,二定,三相等(3)均值定理可以用來求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證實不等式、解決實際問題.二.應用(一)求最值1 .直接應用21 一例.求函數(shù)y= 3x +歹的值域.2 .應用技巧一：湊項5例.x -,求函數(shù)v 4x 2 的最大值.4y4x 53 .應用技巧二：湊系數(shù)例

3、.當口 犬C 4時,求y x(8 2x)的最大值.4 .技巧三： 別離例.求y , 7x 10(x 1)的值域.x 15 .技巧四：亦可使用換元6 .技巧五：注意：在應用最值定理求最值時,假設遇等號取不到的情況,應結合函數(shù)a , f x x -的x單調(diào)性.例：求函數(shù) yx2 47.條件求最值(1) .假設實數(shù)滿足a b 2,那么3a 3b的最小值是.11(2) .假設log 4 x log4 y 2 ,求一 一的最小值.并求x,y的值x y(3) . a>0, b>0, ab(a+b) = 1,求 a+b 的最小值.(4) .x, y為正實數(shù),3x + 2y=10,求函數(shù) W= 聲

4、2y的最值.(二)利用均值不等式證實不等式2221 .a,b,c為兩兩不相等的實數(shù),求證： a b c ab bc ca2 .正數(shù) a, b, c 滿足 a+ b+c=1,求證：(1 - a)(1 - b)(1 -c) > 8abc(三)均值不等式與恒成立問題19例：x 0, y 0且一 一 1,求使不等式x y m恒成立白實數(shù) m的取值范圍.x y(四)均值定理在比較大小中的應用：1 a b、例：假設 a b 1, P qlga lgb,Q -(lg a lg b), R lg(),那么 P,Q,R 的大 小關系2 2是_三.課后檢測,一,1 一1 .求函數(shù)y = x+-的值域. x2

5、 .設0 x 3 ,求函數(shù)y 4x(3 2x)的最大值.23 .0 x 1,求函數(shù)y 7x(1 x)的最大值. 194 .x 0, y 0,且一 一1,求x y的最小值. x y5 .假設x, y R且2x y 1,工工的最小值 x y6 .a,b, x, y R且芻b 1, x y的最小值x y27 .x, y為正實數(shù),且x 2 + y2 =1,求x5 + y 2的最大值.1 ,一8 .a, b為正頭數(shù),2b+ab+a=30,求函數(shù)y= 的取小值. ab1119 . a、b、c R ,且 a b c 1.求證：1 一 1 一 18abc10 .求函數(shù)y 2x1 芯2"x( x 5)

6、的最大值.22柯西不等式、二維形式的柯西不等式(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2(a,b,c,d R,當且僅當 ad bc時,等號成立.)二、二維形式的柯西不等式的變式(1)va2 b2 vc2 d2 ac bd (a, b, c, d R ,當且僅當 ad bc時,等號成立.)(2)Va2 b2 Jc2 d2 ac bd (a,b, c, d R,當且僅當 ad bc時,等號成立.)(a b)(c d) (Vac 新d)2(a,b,c,d 0 ,當且僅當ad bc時,等號成立.)三、二維形式的柯西不等式的向量形式一 .(當且僅當一是零向量,或存在實數(shù)k,使-k一時,等號成立.)借

7、用一句革命口號說：有條件要用；沒有條件,創(chuàng)造條件也要用.比方說吧,對aA2 + bA2 + cA2 ,并不是不等式的形狀,但變成 (1/3) * (1A2 + 1A2 + 1A2) * (aA2 + bA2 + cA2) 就可以用柯西不等式了.根本方法(1)巧拆常數(shù):例1：設a、b、c為正數(shù)且各不相等.求證:22abb(2)重新安排某些項的次序:例2： a、b為非負數(shù),a + b=1, x,x2R求證:(ax1 bx2)(bxax2) X1X2(3)改變結構:例 3、假設 a > b > c求證:(4)添項:例 4： a,b,c R求證:檢測題【1】、設a ( 2,1,2), bb

8、之最小值為；此時b【2】 設 a (1,0,2), b (x, y, z),假設 x2 y2 z2 16,那么 a b 的最大值為 4 9 36【3】設a、b、c為正數(shù),求(a b c)(一 )的取小值4.設x, y, z R,且滿足x2 y2 z2 5,那么x 2y 3z之最大值為 【5】、設x,2y, z R, x【6】、設x,y, z R, 2x y2z 25 ,試求x22z 6 ,試求x【7】設a,b, c均為正數(shù)且【8】、設a, b, c均為正數(shù),且a2b4c 9,那么一a3c 2,那么【9】、設x, y, z生最小值時,R,假設(x1)2 (y2)22y2y9b2 b2z的最大值與

9、最小值.z2之最小值.之最小值為c3之最小值為c【10】ABC度?2y,此時a2z之范圍為何又3x y 2z發(fā)3x設三邊長為【11】.設(x之三邊長x, y, z滿足2y + z = 0 及 3x + y2z = 0 ,那么 ABC之最大角是多少2z 0x： y： z =z = 7k那么最大角度之cos_(3k)222(5k)(7k)2(3k)(5k)x, y,16(y 2)25(z43)21,求x y z之最大值,最小值.1)216(y 2)2(z 3)21由柯西不等式知42 ( - 5 )2)22 (-3)2)2.25(x2)25 |x yz 2|z之最大值為7,最小值為12.求 2sinJ3 cossin cos cos的最大值與最小值.答.最大值為2石,最小值為2?2【詳解】 令向量 a (2sin , <3 cos ,