典型例題拋物線問題

1、拋物線問題典型例題一例1指出拋物線的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.22(1)x4y(2)xay(a0)分析：(1)先根據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p,再寫出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(2)先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再對a進(jìn)行討論，確定是哪一種后，求p及焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.解：(1)p2,焦點坐標(biāo)是(0,1),準(zhǔn)線方程是：y1(2)原拋物線方程為：y2-x,2PLaa當(dāng)a0時，p工，拋物線開口向右，24a焦點坐標(biāo)是(工,0),準(zhǔn)線方程是：x.4a4a當(dāng)a0時，p1，拋物線開口向左，24a焦點坐標(biāo)是(工,0),準(zhǔn)線方程是：x.4a4a綜合上述，當(dāng)a0時，拋物線xay2的焦點坐標(biāo)為(2,0),準(zhǔn)線方程

2、是：4a1x.4a典型例題二例2若直線ykx2與拋物線y28x交于A、B兩點，且AB中點的橫坐標(biāo)為2,求此直線方程.分析：由直線與拋物線相交利用韋達(dá)定理列出k的方程求解.另由于已知與直線斜率及弦中點坐標(biāo)有關(guān)，故也可利用作差法”求k.vkx2一解法一：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則由：2可得：kx(4k8)x40.y8x;直線與拋物線相交，k0且0,則k1.AB中點橫坐標(biāo)為：2處一2,2kMMi| -|AB| ,故以AB為直徑的圓，必與拋物線的準(zhǔn)線相切.說明：類似有：以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應(yīng)的準(zhǔn)線相離，為直徑的圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交.典型例題四解得：k2或k1(舍去).故所求直線方程

3、為：y2x2.解法二：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則有y128x1y228x2.兩式作差解：(y1y2)(y1y2)8(x1x2),即-yy28.xix2yiy2x1x24y1y2kx12kx22k(x1x2)44k4,8k故k2或k1(舍去).4k4則所求直線方程為：y2x2.典型例題三以雙曲線焦點弦例3求證：以拋物線的焦點弦為直徑的圓心與拋物線的準(zhǔn)線相切.分析：可設(shè)拋物線方程為y22Px(p0).如圖所示，只須證明網(wǎng)MM1,則以AB為直徑的圓，必與拋物線準(zhǔn)線相切.2證明：作AA1l于A1,BB1l于B1.M為AB中點，作MM1l于M1,則由拋物線的定義可知：|aa|af,|bb1

4、|bf|在直角梯形BB1A1A中：.1.一.1.I11.mmJ2(AA|bbJ)-(af|bf)2AB例4（1）設(shè)拋物線y24x被直線y2xk截得的弦長為3屈,求k化（2）以（1）中的弦為底邊，以x軸上的點P為頂點作三角形，當(dāng)三角形的面積為9時，求P點坐標(biāo).分析：（1）題可利用弦長公式求k,（2）題可利用面積求高，再用點到直線距離求P點坐標(biāo).y24x解：（1）由y得：4x2（4k4）xk20y2xk設(shè)直線與拋物線交于A（x1, y1）與B（x2, y2）兩點.則有:x1又2k21 k, x1 x24AB J(1 22)(x1 x2)275(x1 x2)2 4x1x2.,5(1 k)2 k2,

5、5(1 2k)AB 3V5, <5(1 2k) 3<5，即 k 4(2)9,底邊長為3$5, 三角形高h(yuǎn)2 93.56.55點P在x軸上，設(shè)P點坐標(biāo)是（x0,0）則點P到直線y2x4的距離就等于h,即R:04r12xo1或x05,即所求P點坐標(biāo)是（一1,0）或（5,0）.典型例題五例5已知定直線l及定點A（A不在l上），n為過A且垂直于l的直線，設(shè)N為l上任一點，AN的垂直平分線交n于B,點B關(guān)于AN的對稱點為P,求證P的軌跡為拋物線.分析：要證P的軌跡為拋物線，有兩個途徑，一個證明P點的軌跡符合拋物線的定義，二是證明P的軌跡方程為拋物線的方程，可先用第一種方法，由A為定點，l為定

6、直線，為我們提供了利用定義的信息，若能證明PAPN且PNl即可.證明：如圖所示，連結(jié)FA、PN、NB.由已知條件可知：PB垂直平分NA,且B關(guān)于AN的對稱點為P.丁AN也垂直平分PB.則四邊形PABN為菱形.即有PAPN.ABl.PN1.則P點符合拋物線上點的條件：到定點A的距離與到定直線的距離相等，所以P點的軌跡為拋物線.例6若線段P1P2為拋物線C : y22 Px(p 0)的一條焦點典型例題六弦，F(xiàn)為C的焦點，求證:分析：此題證的是距離問題，如果把它們用兩點間的距離表示出來，其計算量是很大的.我們可以用拋物線的定義，巧妙運用韋達(dá)定理，也可以用拋物線的定義與平面幾何知識，把結(jié)論證明出來.證

7、法一：F(1,0),若過F的直線即線段PP2所在直線斜率不存在時,則有PF|pfp111112P，用|叼|PPP.若線段P1P2所在直線斜率存在時，設(shè)為k,則此直線為:y k(x f)(k 0),且設(shè)P(x1,yjP2(x2,y2).“P、yk(x-)22由2得：k2x2P(k22)x0P4yk(x受)2P(k22)xx22kx1x2根據(jù)拋物線定義有：|pf|x1,P2Fxf,IRPxX2P則11|P1F|P2F|-X2P-X2P麗麗麗喃(Xi沙2'X1X2*X1X2)卜請將代入并化簡得:證法二：如圖所示，設(shè)P,、F點在C的準(zhǔn)線l上的射影分別是R、月、F,且不妨設(shè)P2F2|nmRR,又

8、設(shè)已點在FF、RR上的射影分別是A、B點，由拋物線定義知，P2Fn,RFm,FF|p又PAFsPBPIAFIIP2FIP2P2BP1'畫兩即U-mnmnp(mn)2mn工12mnp故原命題成立.典型例題七例7設(shè)拋物線方程為y22Px(p0),過焦點F的弦AB的傾斜角為，求證:焦點弦長為AB烏一.sin2分析：此題做法跟上題類似，也可采用韋達(dá)定理與拋物線定義解決問題.證法一：拋物線y22Px(p0)的焦點為0P',0),過焦點的弦AB所在的直線方程為：ytan(xE)2由方程組ytan(X消去y得:y22pX22,2、22-4xtan4P(tan)ptan0x1 x2設(shè) A(xi

9、, yj B(x2, y2),則Xix22_p(tan2)tan22 p 了p(122cot2 )又 y1y2 tan (x1 x2)22AB J(1 tan2 )(x1 x2)222.(1 tan)(x1 x2)4x1x2,2(1 tan2 ) p2(1 cot2 ) 4 p4.22.22.sec 4 p cot (1 cot )421.4p 4 sin2p. 2sin即AB2P sin2證法二:如圖所小，分別作AA1、BB1垂直于準(zhǔn)線I.由拋物線定義有:AF11AAi|AFcospBF|BB1pBFcos于是可得出：|af-p-|bf一p一1cos1cosABAFBFpp1 cos1cos

10、2P21cos2Psin2故原命題成立.典型例題八例8已知圓錐曲線C經(jīng)過定點P(3,2、；3),它的一個焦點為F(1,0),對應(yīng)于該焦點的準(zhǔn)線為x1，過焦點F任意作曲線C的弦AB,若弦AB的長度不超過8,且直線AB與橢圓3x22y22相交于不同的兩點，求(1)AB的傾斜角的取值范圍.(2)設(shè)直線AB與橢圓相交于C、D兩點，求CD中點M的軌跡方程.分析：由已知條件可確定出圓錐曲線C為拋物線，AB為拋物線的焦點弦，設(shè)其斜率為k,弦AB與橢圓相交于不同的兩點，可求出k的取值范圍，從而可得的取值范圍，求CD中點M的軌跡方程時，可設(shè)出M的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理化簡即可.解：(1)由已知得PF4.故P到x1的

11、距離d4,從而PFd曲線C是拋物線，具方程為y24x.設(shè)直線AB的斜率為k,若k不存在，則直線AB與3x22y22無交點.；k存在.設(shè)AB的方程為yk(x1)由y4x可得：ky24y4k0yk(x1)設(shè) A、B坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2,y2)，則：y1 y2 一 y1 y24k,1k2.(Y1y2)4y1y2k4(1k2)k2c弦AB的長度不超過8,4(12k)8即k21k2ryk(x1)由，得：(2k23)x24k2x2(k21)03x22y22AB與橢圓相交于不同的兩點，k23由k2 1和k23可得：1km或 V3 k 1故 1 tanV3 或 <3 tan 12又0，所求的

12、取值范圍是：一 一或2433(2)設(shè) CD 中點 M(x,y)、C(x3,y3)、D(x4,y4)r y k(x 1)由 22 得：(2k2 3)x2 4k2x 2(k2 1) 03x2 2V2x3xx15則254k2x42 c，x3 x12k 3x3 x42k2222k2 31工2k 3k2 3一 2 一 一2k 3 912即2 2k2 3 35_22(k1)2k2 32k222k2 32(x 11224 (x 1)2化簡得：3x2 2y2 3x 0所求軌跡方程為：3x2o22.2y2 3x 0(- x -)53典型例題九例9定長為3的線段AB的端點A、B在拋物線x上移動，求AB的中點到y(tǒng)軸

13、的距離的最小值，并求出此時AB中點的坐標(biāo).分析：線段AB中點到y(tǒng)軸距離的最小值，就是其橫坐標(biāo)的最小值.這是中點坐標(biāo)問題，因此只要研究A、B兩點的橫坐標(biāo)之和取什么最小值即可.解：如圖，設(shè)F是y2x的焦點，A、B兩點到準(zhǔn)線的垂線分別是AC、BD,11MN -(AC BD) -(AF BF)又M到準(zhǔn)線的垂線為MN,C、D和N是垂足，則1-AB2設(shè)M點的橫坐標(biāo)為x,縱坐標(biāo)為y,等式成立的條件是AB過點F.5.1當(dāng)x二時，yy2P二，故442,2221(yiy2)Viy22丫佻2x萬V1V2加，y.，,一5此時M到y(tǒng)軸的距離的最小值為5.說明：本題從分析圖形性質(zhì)出發(fā)，把三角形的性質(zhì)應(yīng)用到解析幾何中，解法

14、較簡.典型例題十例10過拋物線y2px的焦點F作傾斜角為的直線，交拋物線于A、B兩點,求AB的最小值.分析：本題可分一和一兩種情況討論.當(dāng)一時，先寫出AB的表達(dá)式,222再求范圍.解：(1)若此時AB2p.若因有兩交點，所以0.AB:ytan(x),即xy.2tan2代入拋物線方程，有y2型pyp20.tan故(y2 y1)24p2 tan24p2224p csc(X2 Xi)22(y2 yi)tan24p2 csctan22故AB4pcsc(12)4pcsc.tan所以AB二P2P.因一，所以這里不能取“二：'sin22綜合(1)(2),當(dāng)萬時，|AB最小值2P.說明：此題須對分兩種

15、情況進(jìn)行討論;2從解題過程可知，拋物線點弦長公式為l_ 2 sin當(dāng)萬時，|AB叫做拋物線的通徑.通徑是最短的焦點弦.典型例題十一例11過拋物線y22px(p0)的焦點F作弦AB,l為準(zhǔn)線，過A、B作l的垂線，垂足分別為A'、B'，則A'FB'為()，人54為().A.大于等于90B.小于等于90C.等于90D不確定分析：本題考查拋物線的定義、直線與圓的位置關(guān)系等方面的知識，關(guān)鍵是求角的大小以及判定直線與圓是否相切.解：點A在拋物線上，由拋物線定義，則AAAF12,又AA / x軸3.23,同理46,而2364180,.3690,.AFB90.選C.過AB中點M作MM'l,垂中為M',則MM'1(AA'|BB')1(AFBF)11AB.以AB為直徑的圓與直線l相切，切點為M.又F在圓的外部，.二AFB90.特別地，當(dāng)ABx軸時，M'與F重合，AFB90.即AF'B90,選B.典型例題十二例12 已知點M (3,2),F為拋物線y2