2004考研數(shù)三真題及解析

1、2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.(1)若 lim -SinX(cosb5 '貝卩 a =J0 e -a函數(shù)f (u,v)由關(guān)系式fxg(y), y=x g(y)確定'其中函數(shù)g(y)可微'且g*0'則gx21 .1xe , x 2212，貝打丄 f(x1)dx-1, X _ 22二次型 f (XX2，X3)=(X1 +X2)2 +心2 X3)2 +(X3 +xj2 的秩為設(shè) f (x) h(5)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為入的指數(shù)分布，則PX . DX二(6)設(shè)總體X服從正態(tài)分布

2、N（帚o2）,總體丫服從正態(tài)分布N（呀）,Xi%,Xq和丫1飛,冷分別是來自總體X和丫的簡單隨機(jī)樣本，則 _ 曲_ 2 n2_ 2 送（Xi X）書（Yj Y）7T二、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).函數(shù)2黑旨在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界（）(A) ('1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2,3).(8) 設(shè) f(X)在(- ：)內(nèi)有定義，且 lim f (x) = a , g(x) = f(X)，X °xt 珀k 0 ,x=0則()(A) x =0必是

3、g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).(C) x=0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D) g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān).叮-I V *! /； '1(9) 設(shè) f (x) = x(x),則()(A) x =0是f(x)的極值點(diǎn)，但(0, 0)不是曲線y二f(x)的拐點(diǎn).V，、“I I(B) x=0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0, 0)是曲線y二f(x)的拐點(diǎn).j ,(C) x=0是f (x)的極值點(diǎn),且(0, 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(D) x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線y = f(x)的拐點(diǎn).(10) 設(shè)有下列命題:

4、若J (U2n-1 U2n)收斂，則叫收斂.n 二1nQOQO收斂.若Un收斂，則、n =1n =1Un 1若lim叫1，貝Un發(fā)散. n unnWQOQO若v (UnVn)收斂，則v Un ,n =1n =1a Vn都收斂.n =1則以下命題中正確的是()(A)(B)(C)(D)(11)設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，且f(a) 0,f(b)：0，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A) 至少存在一點(diǎn)(a,b)，使得 f(xo)>f(a).(B) 至少存在一點(diǎn) X。 (a,b)，使得 f (xo)> f(b).(C) 至少存在一點(diǎn)x0 (a,b)，使得f (x。)=0.(D) 至少存在一點(diǎn)x。 (

5、a,b)，使得f(xo)= 0.(12) 設(shè)n階矩陣A與B等價(jià)，則必有()(A)當(dāng) |A|=a(a=0)時(shí)，|B|=a.(B)當(dāng) |A|=a(a = 0)時(shí)，|B|=-a.(C)當(dāng) |AF0 時(shí)，|B|=0.(D)當(dāng) |A|=0 時(shí)，|B|=0.卩 八' I p I-.(13) 設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣t =0,若&, $,匕矗是非齊次線性方程 組Ax=b的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組 Ax=0的基礎(chǔ) 解系()(A)不存在.(B)僅含一個(gè)非零解向量.(C)含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量.(D)含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量.(14) 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),對給定的a

6、(0,1),數(shù)Ua滿足PX u a = a,若 P| X I”： x二 a,則 x 等于(A) u2(B)U1_ a2)(C) U匕2(D) u1 -a三、解答題：15 - 23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(15) (本題滿分8分). 2 求lim (斗-容).x >0 sin2xx2(16) (本題滿分8分)求i iC.x2 y2 y)，其中D是由圓x2 y2=4和D(x 1)2 y2 =1所圍成的平面區(qū)域(如圖).(17) (本題滿分8分)設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足xxbbf f (t)dt A f

7、g(t)dt，x ? a , b)， j f (t)dt = J g(t)dt.aaaa證明：bxf(x)dx 乞 bxg(x)dx.aLa(18) (本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=100-5P，其中價(jià)格P (0,20)，Q為需求量量.(I) 求需求量對價(jià)格的彈性Ed ( Ed > 0)；(II) 推導(dǎo)*二Q(1-Ed)(其中R為收益)，并用彈性Ed說明價(jià)格在何dP范圍內(nèi)變化時(shí)，1 I降低價(jià)格反而使收益增加.(19) (本題滿分9分)設(shè)級數(shù).I的和函數(shù)為S(x).求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達(dá)式.(20) (本題滿分13分)設(shè) 內(nèi)=(1,2,0

8、)T ,a2=(1, a 十 2,-3 a)T, a=(T,b2, a+ 2b)T ,廿(13-3)T, 試討論當(dāng)a,b為何值時(shí),B不能由a, a, a線性表示；(II) 卩可由a, a, a3唯一地線性表示,并求出表示式；(III) B可由a, a2, a線性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.(21) (本題滿分13分)設(shè)n階矩陣q b b、b 1 bA =:. lb b 1丿i -'詁'.(I) 求A的特征值和特征向量；(H )求可逆矩陣P,使得P'AP為對角矩陣.(22) (本題滿分13分)設(shè)A , B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且Pg*, p(B|a)T p(A|B)T令

9、求 二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布；1 I(II) X與丫的相關(guān)系數(shù)PXY；(III) z=x2 丫2的概率分布.(23) (本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為其中參數(shù)a 0,卩1.設(shè)X1,X2/ ,Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，當(dāng)a 1時(shí)，求未知參數(shù)B的矩估計(jì)量；(II) 當(dāng)a 1時(shí)，求未知參數(shù)卩的最大似然估計(jì)量；(III) 當(dāng)卩=2時(shí)，求未知參數(shù)a的最大似然估計(jì)量.2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(1)【答案】a=1,b 4【詳解】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題方法1 :根據(jù)結(jié)論：lim 也 =A , (1)若g(x) > 0，則f(R >

10、0 ； 若 g(x)f(x) > 0，且 A = 0，貝卩 g(x) > 0i _ ? 11- .: 因?yàn)?lim sfi IX ( c cxb) =5 , 且 l i ms i x ( c ox&b) = 0 , 所以 XT0 e axt°lim (ex -a) =0(否則根據(jù)上述結(jié)論(2)給極限是0，而不是5),x >0由 l i met -a ) l ermai=m-a 1 得 a° = 1.0 r/ 一 o 0極限化ljm羅:(cosx -b)等價(jià)無窮小1四上(cosx - b) = 1 -b = 5，得b = 4因此，a = 1 , b

11、= 4方法2 :由極限與無窮小的關(guān)系，有I"* (cosx-b) =5+口，其中l(wèi)ia = 0 , e a0解出上 式 兩 端 求 極 限，Xe (5+口)一(cosx-b)sinx(cosx-b)sinx a =limlime Tim1-0 = 1x°5 機(jī)x°5 機(jī)把a(bǔ) = 1代入，再求b , b=cosx-d 直日，兩端同時(shí)對x > 0 sin x取極限，得因此，a = 1 , b = 4【答案】-響g (v)【詳解】應(yīng)先寫出f (u , V)的表達(dá)式,再求偏導(dǎo)數(shù)令 U 二 xg(y) ， V = y ，從而u ux 二g(y) g(v)， 于是由fx

12、g(y), y =x g(y),推知f (u , v)=孟 g(v)，所以df1c2f廣1'ug(v) '£u£vcv3u丿dv<g(v)丿g(v)g2(v)【答案】-1【詳解】1 方法1 :作積分變換，令X-1=t，則x:?T 2二t:I4 I I11=21 f(t)dt 1(-1)dtP21 >12所以2 11 f (x -1)dx1 f (t)dt221=2ixe2x21 1 丄211dx 1(-1)dx21exdx2-(1 -) e2 2 -22x212 11-212 、他可直接推出.xexdx=O，因?yàn)?quot;2'12 x2

13、1 xe"2dx積分區(qū)間對稱,被積函數(shù)是關(guān)于X是奇函數(shù)，則積分值為零方法2 :先寫出的f(x-1)表達(dá)式(x-1)e(T,f(x-1) =1，11x T ：22即:2x-1 _丄2j(x-1)e、f(x-1) =1，(X/)1 .3, x :2 23x _ 23(x4)2所以 1 f (x -1)dx = f (x -1)e(2 22dx 3(-1)dx23J 12e("2 232 _ j-22【答案】2.【詳解】方法 1 :因?yàn)?f(X1，X2，X3)=(人 X2)2 (x X3)2 (X3 X1)2n n由二次型f(X1,X2,|l|,Xn)ajXiXj中，aj二 ,所

14、以二次型對應(yīng)的ij4矩陣的行,j列元素是Xi與 Xj乘積項(xiàng)系數(shù)的一半，其中 2 j.<211、于是題中二次型的矩陣為A= 12-1 ,由初等變換得!J -12 丿從而r(A)=2,由二次型的矩陣的秩等于二次型的秩，知二次型Xjf' i I"w-I的秩為2.方法2 :因?yàn)獒芑Ｈ?=(人+x2)2 +(x2-x3)2 +(x3 +xj211232232= 2(X1 +3X2 +3X3) +3(X2X3) =2y1 +- y2 ,；X3,y2=X2-X3.其中 yrx2X2二次型的秩r(f)=矩陣的秩r(A)=正負(fù)慣性指數(shù)之和p q，所以此二次型的秩為2.(5)【答案】1

15、e【詳解】本題應(yīng)記住常見指數(shù)分布等的期望與方差的數(shù)字特征，而不 應(yīng)在考試時(shí)再去推算 指數(shù)分布的概率密度為卩唱卞，若x>0 廿亠*1f (x)，其方差DX 2 .衛(wèi)右x蘭0九于是，由一維概率計(jì)算公式，paWXEb=J fx(x)dx，有 aPXDX = P X= i = e-'Xdx 二一e'x(6)【答案】二2【詳解】根據(jù)公式E(X YE(X) E(Y)和樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)量,又Xi，X2， Xni和丫1，丫2，丫2分別是來自總體簡單隨機(jī)樣本，X和丫都服從正態(tài)分布1 1 ni ' 1 _即是 E(Xi -X)2 =D(X) =：;2， E(丫 -丫)2

16、= D(Y)二匚2n 1 yn 1 yni_所以有 EL (Xi -X)2 = n -1 匚2， E ( -丫)2 = n -1 二2i 1i呂ni對于題給式子將分子分離出來即可出現(xiàn)上式，也就不難求出結(jié)= 15 1尸2 +(匕1嚴(yán)2=護(hù),故應(yīng)填口 n2 -22(T .二、選擇題(7)【答案】(A)【詳解】方法1 :如果f (x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且極限lim f (x)與lim f (x)存在, xT aI b 則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)有界.當(dāng)X : 0,1 , 2時(shí)f(x)連續(xù)，而lim f (x) = lim xsin(x-2)2(-1-2'-沁，x jx i x(x1)(x

17、-2)(-1一1)(一1一2)18lim7_f(x)=lim -xsig® Tx(x1)(x2)-sin(0 -2)2(0-1)(0-2)sin 2lim f(x)Jimxsin(x_2)2 二 Sim0-2二些xpx 0 x(x-1)(x - 2)(0-1)(0-2)4lim 旳一2)2x 1 (x -1)(1-2)2lim f(x)=lim xsin(x-2)2x 1x :1 x(x -1)(x -2)2xsin (x-2)sin (x-2)1lim f(x) =lim 2 = lim2 lim,x 憶x ：2x(x1)(x-2)2 x£(x_2)2 xx 2?所以，函

18、數(shù)f (x)在(：1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).v? -j i方法2 :因?yàn)閘im f(x)存在，根據(jù)函數(shù)極限的局部有界性，所以存在 0-0，在區(qū)間-、,0)上f (x)有界，又如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界，根據(jù)題設(shè)f(x)在-1,-： 上連續(xù)，故f(x)在區(qū)間上有界，所以f(x)在區(qū)間(-1,0)上有界， 選(A).(8) 【答案】(D)【詳解】考查極限lim g(x)是否存在，如果存在，是否等于g(0)，通XT0過換元U = 1，x可將極限lim g(x)轉(zhuǎn)化為lim f (x).xtOxT°°因?yàn)?lim g(x)

19、 =lim f () = lim f (u) = a，又 g(0) =0，xf0x0 xx u所以， 當(dāng)a =0時(shí)，lim g(x) =g(0)，即g(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，XTO當(dāng)a=0時(shí)，limg(x)=g(0)，即x=0是g(x)的第一類間斷點(diǎn)， XTO因此，g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選(D).(9) 【答案】C【詳解】由于是選擇題，可以用圖形法解決，也可用分析法討論.方法1 :由于是選擇題，可以用圖形法解決，令(x) = x(x-1)，則2®(x) = "x丄1丄，是以直線x=-為對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 '丄,一丄)：I 2丿 4，2，空 4

20、/開口向上的一條拋物線，與x軸相交的兩點(diǎn)坐標(biāo)為0,0 , 1,0 ，y = f(X)二(x)的圖形如圖.點(diǎn)x=0是極小值點(diǎn)；又在點(diǎn)(0, 0)左側(cè)鄰近曲線是凹的，右側(cè)鄰近曲線是凸的，所以點(diǎn)(0, 0)是拐點(diǎn)，選C.方法2 :寫出y = f(x)的分段表達(dá)式：f(x) = !x(1 x),蘭0x(1 x),0cxv1門'i S'-從而 f(x) = !"2x,-1<x<0, n1 -2x,0cxc1r 2, 一1 < x < 0J/ / j-2,0 x ： 1 'lim f (x) - lim 2x =10，所以 0 ：x ：1 時(shí)，f

21、(x)單調(diào)增，lim f (x) = lim -1 2x - -1 ： 0，所以 -1 ： x _ 0 時(shí)，f (x)單x )0 x )0 -調(diào)減,所以x = 0為極小值點(diǎn).當(dāng) T ： x0時(shí)，f(x)=2 0, f (x)為凹函數(shù)； 當(dāng)1x0時(shí),(x) 2：0， f(x)為凸函數(shù)，于是(0, 0)為拐點(diǎn).(10) 【答案】(B)【詳解】可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來說明 4個(gè)命題的正確性.qQ是錯(cuò)誤的，如令UnDn ,何比“,所以二Un發(fā)散，而 °n =QOv(U2nU2n)二 T，1 護(hù)'：i T，1，I 11 收斂n ±OQQ0是正確的，因?yàn)榧墧?shù)Un 1000比

22、級數(shù)Un少了前1000項(xiàng)，改n=nW變、增加或減少級數(shù)的有限項(xiàng)，不改變級數(shù)的斂散性，所以這兩個(gè)級 數(shù)同斂散.un 1Un1，于是正項(xiàng)級是正確的，因?yàn)橛蒷im un-1 1，從而有l(wèi)im數(shù)送在項(xiàng)數(shù)充分大之后，通項(xiàng)嚴(yán)格單調(diào)增加，故lim比式0，從而nT unyoOlim比=0，所以7 un發(fā)散. n_nT，'、' vn都發(fā)散，nT44CO是錯(cuò)誤的，如令un=-,Vn=-一，顯然，送un(11而 z.(uvnu+-nnn=1+-1+1+川收斂.故選(B).n . n n(11) 【答案】(D)【詳解】利用介值定理與極限的保號性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，或應(yīng) 用舉例法找出錯(cuò)誤選項(xiàng)方法1 :

23、舉例說明(D)是錯(cuò)誤的.例：f(x) =4-x2,-1沁乞1，1 If G1) = -2x|X7 =2n0f(1)=-2x| 心= -2c0.但在-1,1上 f(x)®0. 方法2 :證明(A)、(B)、(C)正確.由已知f r(x)在a,b上連續(xù)，且f'(a)>0,f'(b)<0，則由介值定 理，至少存在一點(diǎn)xo，(a,b)，使得f(xo)=0,所以選項(xiàng)(C)正確；另外，由導(dǎo)數(shù)的定義f (a)= lim f(x) f(a)0,根據(jù)極限的 xTaXax0 - a保號性，至少存在一點(diǎn)Xo (a,b)使得f (x°)0，即f(xo)f(a)，所以選項(xiàng)

24、(A)正確.同理，f (b) = lim f(b)-f(x): o ,根據(jù)極限的保號性，至少存b _x在一點(diǎn)xo (a,b)使得f(xo) . f(b).所以選項(xiàng)(B)正確，故選(D).(12) 【答案】(D )【詳解】方法1 :矩陣等價(jià)的充分必要條件：矩陣 a與b等價(jià)二a,B是同型矩陣且有相同的秩，故由A與B等價(jià)，知A與B有相同的秩.因此，當(dāng) |A| = 0 時(shí),r(A) : n,則有 r(B) ： n,即 |B|=0,故選(D).S -址產(chǎn) 11'、方法2 :矩陣等價(jià)的充分必要條件：A與B等價(jià)二存在可逆P,Q，使I p I-.得PAQ = B .兩邊取行列式，由矩陣乘積的行列式等于

25、行列式的積，得|paq|=|p|a|q|=|b|. p,q可逆，由矩陣a可逆的充分必要條件:|o，故poQo，但不知具體數(shù)值.由|p|a|q|=|b|，知 AO時(shí),|B|不能確定.但|A| = o有 | B| = o.故應(yīng)選(D).方法3:由經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)榫仃嚨某醯茸儞Q對矩陣的行列式 的影響有：(1) A中某兩行(列)互換得B，則B = - A .(2) A中某行(列)乘k(k = o)得B，則B二kA.(3) A中某行倍加到另一行得B，則|b|=| A .又由A與B等價(jià)，由矩陣等價(jià)的定義：矩陣 A經(jīng)有限次初等 變換變成矩陣B，則稱A與B等價(jià)，知|B=±kA.故當(dāng)|Ao時(shí)，|

26、B=±kAF，雖仍不等于0,但數(shù)值大、小、正負(fù)要改變，但|A|=0，則B|=0，故有結(jié)論：初等變換后，矩陣的行列式的值要改變，但不改變行列式值的非零性，即若|A|=On|B|=O，若 AhO=|B|hO.故應(yīng)選(D).(13) 【答案】(B)【詳解】由定理：若Xi,X2是Ax=b的解，則 X2是對應(yīng)齊次方程組 Ax=O的解，及i，得12=0是Ax = 0的解.由齊次線性方程組有 非零解的充要條件，知r(A)： n. A=O,由伴隨矩陣的定義，知A中至 少有一個(gè)代數(shù)余子式Aj =O,即A中有n1子式不為零，由秩(A) = r的充 要條件是A的非零子式的最高階為r ,故r(A)_ n-1

27、再由上面的r(A) ： n，q >沙廣 11'、得r(A) = n -1，故基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為n-(n-11 ，故選(B).亦-夕紅r | 0 r ；.(14) 【答案】(C)【詳解】利用正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖形的對稱性，對任何x O有Xy'"i I"w- Ipx >x = px c-x = 1p|x|>x.或直接利用圖形求解.方法1 :由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)的對稱性知，PX ： -uj于是即有 PX _x一J 可見根據(jù)分位點(diǎn)的定義有 x = 6 一.，故應(yīng)2P選(C).方法2 :O圖O圖二如圖一所示題設(shè)條件圖二顯示中間陰影部分面積

28、，PX|<x=g.兩端各余面積，所以PX<U1"，答案應(yīng)選2 (C).三、解答題(15) 【詳解】求“：-：”型極限的首要步驟是通分，或者同乘、除以洛lim. x 0I12x sin4x24x3某一式以化簡.limCOs4x dim2sin>等 加鬥2x 106x2x 30 6xsin2xL 2x x 6x(16)【詳解】利用對稱性與極坐標(biāo)計(jì)算.方法1 :令 Di =(x, y)|x2 + y2 蘭 4, D? =( x,y) |(x+ 1)2 + y2 即，根據(jù)二重積分的極坐標(biāo)變換：D二(x,y)| < ',r <r<r2，貝心Jx2 +

29、y2dbD1Di 二(x,y)|x2 y2 乞 4 =(x,y)|0 一 一2：0 乞 r 乞2 Jx2 +y2ddoDiI、:r2cos2v r2sin2vrdrdr2dr ;0 L 0.,x2y2d-D2D2 二(x,y)|(x 1) y2 乞 1 =(x,y)|? 藝 32,0 "2cosI I .、x2 - y2dcD23 2cos -1-2 dr.cos2r2sin2rrdr -2 dr.二 0.二 o2 2二_2cos -I 2r dr所以ii'x2y2d- x2y2d；x2y2dcDD1D2區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，yd二中被積函數(shù)y為y的奇函數(shù)，根D據(jù)區(qū)域?qū)ΨQ性與被

30、積函數(shù)的奇偶性：設(shè)f x,y在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，若D關(guān)于x軸對稱，f x, y對y為奇函數(shù)，則11 f x, y d - 0 ,D所以yd；0D所以Jx2 + y2 +y)db = J(jx2 + y22 +JJ ydDD晉3-2).方法 2 :fJ( Jx2 + y2 +y)db = JJ Jx2 + y2db + JJydcrDDD=2、x2 y2d；0D上半16 二 1633 V=號(3兀-2).n 92(17)【詳 解】 令 F(x)尸 f(x) -g(x)， G(x)F(t)dt .因?yàn)橐阎獂xaf(t)dt 訂g(t)dt，xxxG(x) F(t)dtf(t) - g( t)dt

31、 =aT a.g(t)dt -0 ,X a,baG(a)二 aF(t)dt =0,bbaf (t)dt = g(t)dt , aab 一bbbG(b)訂 F(t)唄 J f(t)g t d 日aaabbxF (x)dx G (x F( x) xdG(x)分部積分bG a =G b =0 - G(x)dx ,一 abb由于 G(x)=0,xa,b，故有J G(x)dx蘭0,即 J xF(x)dx0"aa所以從而(f)tbdtag4 0dtxG(力：-J G( M dx也即是 x f(力一dx xf(x)dx xg*dx_0aa* a因此bbxf (x)dxxg(x)dx.a a(18)

32、 【詳解】(I)由于需求量對價(jià)格的彈性Ed> 0,所以Ed=Q器Q =100-5P一P1005P100 5P-P20 PP (0,20)P .20-P '要說明在什么范圍內(nèi)收益隨價(jià)格降低反而增加，(II)由 R 二 PQ，得即收益為價(jià)格的 I減函數(shù)，dR < 0，即證Q(1 - Ed) :： 0= Ed 1，換算成P為一P1，解dP20-P之得：P 10，又已知P (0, 20)，所以20 P 10，此時(shí)收益隨價(jià)格降低反而增加.(19) 【詳解】對S(x)進(jìn)行求導(dǎo)，可得到S(x)所滿足的一階微分方程,解方程可得S(x)的表達(dá)式.4(I) S(x2x46 82：2：68，易見

33、 S(0> 0因此S(x)滿足下述一階線性微分方程及相應(yīng)的初始條件：2xS (x)二 x2S(x)，S(0) =0.I3 xS(x)-xS(x) ， S(0)=023(II) S(x)-xS(x)二專為一階線性非齊次微分方程，其對應(yīng)的線性齊次微分方程為:S (x) _ xS(x)二 0，分離變量：2x2x2L 二 xdx，兩邊積分：In S(x)二 ° G , S(x)二 e2Ce2S(x)2用常數(shù)變易法來求非齊次方程的通解：令x2S(x) = C x e2x2于是：S(x)二xC x e2 C x e23x 代入 S (x) -xS(x)：2x2x2x2xC x e2 Cxe

34、2xC x e23 x2所以,C x二才e 2dx c因?yàn)镾(0) =0，所以S 0二或直接由通解公式，方程02202-1 ce2-0= c =1,所以 S(x)=e；23S(x)-xS(x)=x的通解為2x2由初始條件S(0) =0，得C =1.故 S(x) = e222(20) 【詳解】B可否由a, a, a線性表示的問題可以轉(zhuǎn)化為線性方程組：iXi協(xié)2琢是否有解的問題.因此，設(shè)可有數(shù)x1, x2,x3,使得 冷 g2X2 U3X3八.(*)記A=( a, a2, a).對矩陣(A,卩)施以初等行變換，有_1 1-11 23+3行 0 a-b 1 .0 0 a-b 0 一(I)當(dāng)a=0時(shí)，

35、b是任意數(shù)時(shí)，有11-11(代 3)t 0 0 -b 1 .'00-b 0 一可知，r(A)=r(A,卩).由非齊次線性方程組有解的充要條件： 系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，知方程組 (*)無解，B不能由a, a, a線性表(II)當(dāng)a=0,且ab時(shí),由可知，r(A)=r(A,卩)=3,由非齊次線性方程組有解得充要條件：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，方程組(*)有解，由定理：設(shè)A是m n矩陣，方程組Ax=b，貝卩，(1)有唯一解二r(A)二r(A)=n ；有無窮多解 二 r(A)=r(A)： n (3)無解：二 r(A) 仁 r(A)可知方程組(*)有唯一解由同解階梯形方程求解，得：彳

36、11Xi = 1 ,x2 ：aa此時(shí)B可由a, a2, a唯一地線性表示，其表示式為(1-丄)a +- a?.a a(III)當(dāng)a=0, a二b=0時(shí)，對矩陣(A, B)施以初等行變換，由1 0 0 1a0 1-1-a0 0 0 0(")>11-11a-a1 2行十a(chǎn) 0 1-1丄1行2行0 0 01 -1 1可知，r(A)二r(A, ) = 2 ,由定理：設(shè)A是m n矩陣，方程組Ax = b ,則，(2)有無窮多解=r(A)二r(A)： n，知方程組(*)有無窮多解，其全部 解為X1=1-1, X2=1+c,X3=C ,其中c為任意常數(shù).aaB可由a, a, a線性表示，但表

37、示式不唯一，其表示式為B = (1) a ( c) a c a .a a(21) 【分析】這是具體矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算問題，可以直接用I疋-AF0求特征值，和(2E-A)X=0求特征向量或?qū)?A分解令A(yù)二B (1 -b)E,其中B=b1hn，則A二f(B) , f是多項(xiàng)式，求B的特征值、特征向量.【詳解】 方法1:1 b = 0時(shí),故，A的特征值為k = 1 (n1)b , k二=k =1b .對入=1 (n 一 1)b ,因?yàn)榫仃嚨闹葹閞(、EA)=( n1)，故方程組(E A)x = 0，基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為n ('EA) n(n 一1)=1，故有一個(gè)自由未知量.選Xi為自由未

38、知量，取Xi =1 ,解得& = (1,1,1, ,1)，所以A的屬于入的全部特征向量為k& 二 k(1,1,1,1)T(k為任意不為零的常數(shù)).IIIIII今A=1|,li(2 故方程組Illr(i E矩陣的秩為(IE- A) x 0闇，2基r礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為n-r('iE-A)二n-1 ,i=2,川,n.故有n-1個(gè)自由未知量.選滅2必|),焉為自由未知量，將他們的n-1組值(-1,0,|1,0);(0, -1,川,0);川(0,0,川,-1)，得基礎(chǔ)解系為& =(1,T,0,0)T ,(1,0,-1, ,0)T, , & =(1,0,0,-廠1)T

39、.故A的屬于k的全部特征向量為k2 & k3&3 kn &(k2,k3, ,kn是不全為零的常數(shù)).2 當(dāng)b =0時(shí)，入100| 疋A|=010=( X- 1)n ,00 X-1特征值為X= X =1，任意非零列向量均為特征向量.b HIb、E +(1 -b)bIIIb'方法2 : A =b+1 III+b=b+b+(1-b) III1b<bb HIbIbbIIIb 十(1 b”1:1=b ： El, 1,川,1】+(1-b)E =bB+(1-b)E ,丄T其中 B=1, 1, III ,11若B有特征值'特征向量，則當(dāng)f是多項(xiàng)式時(shí)，f(B)有j

40、,特征值fG)，其特征向量仍是J因(aotT=ct(otTot) = not,故，& =門是購丁的特征值，其對應(yīng)特征向量為11, 1,川,1T.從而有A二bT (1-b)E，有特征值1 I1 = nb1-b=1(n-1)b，其對應(yīng)特征向量仍是廠-1, 1, | ,訂.又(gT)T=gT， B=gT是實(shí)對稱陣，由可知r(B)=1，由實(shí)對稱矩陣的特性：r(E-A) = n-k，其中k 為特征值的重?cái)?shù)，故棗=0是B - - 7的n -1重特征值，其對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足(0E - T)x -Tx = 0 ，即只需滿足X1 X2 |l( Xn =0，其基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為n-1，故有n-1個(gè)自由未知

41、量選X2,X3,IH,Xn為自由未知量，將他們的n-1組值(-1,01,1,0)試0| 1，川，0川I (O 0得基礎(chǔ)解系為 & =(1,-1,0，,0)T ,& =(1,0,-1,0)T，,咅=(1,0,0/ ,t)t .從而知 ： bT ( -1 b有E n1重特征值 f(二0 =)b 0 b (.對應(yīng)的特征向量仍是2, 3,川，；，其全部 特征向量為 k2 & k3 & *人和化2*3,，心是不全為零的常數(shù)).(n ) 1當(dāng)b = 0時(shí)，由A與對角矩陣相似的充要條件：A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，知，令P =( &, &,&)，則2 當(dāng) b=0時(shí)，