15數(shù)列綜合問題

1、江蘇省2014屆一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題選編15:數(shù)列綜合問題填空題1 .已知數(shù)列 an滿足1,a 2,an = (1 cos2- )an si n2 ,則該數(shù)列的前20項(xiàng)的和為2 2【答案】2101.2 .如圖所示的螺旋線是用以下方法畫成的，AABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，曲線CA1, A1A2, A2A3分別是A,B,C為圓心，AC,BA,CA為半徑畫的弧，曲線CAAA稱為螺旋線的第一圈；然后又以 A為圓心，AA3半徑畫弧，如此繼續(xù)下去，這樣畫到第圈設(shè)所得螺旋線 CA A A3珞/鶴_1鶴 的總長(zhǎng)度為&,則 S- =【答案】n 3n 1二22 n兀2 n兀3 .數(shù)列an的通項(xiàng)a. = n (

2、cos sin )，其前n項(xiàng)和為Sn，則S30為3 3【答案】4704 .已知實(shí)數(shù) a1，a2，a3, a4滿足 a1+a2+a3 =0，aa42+a2a4-a? =0，且 a>a>a3,則 a4的取值范圍是 20085 .已知 f!(x)=eXsinx，fn(x) = fn(x)，nA2,則 E £(0)=i=1【答案】1 -45026 .n2個(gè)正整數(shù)排列如下：1, 2,3,4,n2, 3,4,5,n+l3, 4,5,6, n+2n,n+l, n+2, n+3,2n 1則這n2個(gè)正整數(shù)的和 S=7 .設(shè)等比數(shù)列CaJ的公比q=1, Sn表示數(shù)列l(wèi)aj的前n項(xiàng)的和，Tn表

3、示數(shù)列CaJ的前n項(xiàng)的乘 積，Tn k表示faJ的前n項(xiàng)中除去第k項(xiàng)后剩余的n-1項(xiàng)的乘積,即人kgg n,kN ,k < n ,則數(shù)列ak心的前12 川nn項(xiàng)的和是(用a1和q表示)2n【答案】ai1 -q1 - qa 18 .已知數(shù)列“J滿足",則其前99項(xiàng)和S"=.【答案】99 .已知數(shù)列&的通項(xiàng)公式為an=-n+p,數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=2n-5.設(shè)Cn=£n，乩三，若在數(shù)列 gpn , an > bn ,中，C8>6( n N*, nM 8),則實(shí)數(shù)p的取值范圍是 .【答案】(12,17)10 已知1 = 1，曠孑 4 23

4、,345675,弋 幻七 幵吒旳2,1則第7 n個(gè)等式為n + (h+1)+ (n + 2) + . + (3w- 2)=(曲一 1)2» “【答案】111 如圖所示：矩形AACnDn的一邊AA在X軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)C.、Dn在函數(shù)f(X)= X， (X 0)的X圖像上，若點(diǎn)Bn的坐標(biāo)為n,0 (n _2,nN*),矩形A,BnCnDn的周長(zhǎng)記為an ,則*2 +&3 * + 耳0 =【答案】21612.數(shù)列'an '滿足 a11,an 1 T =an(an -1), (n N .),且a2012=2,則a2013 - 4a1的最小值為【答案】- 72解答題13

5、設(shè)數(shù)列an滿足：an（ n N* ）是整數(shù)，且an廠an是關(guān)于x的方程x2+（ a. i_2）x -2an 彳=0 的根.（1）若q=4,且n時(shí)，4_an_8,求數(shù)列an的前100項(xiàng)和Soo；若 8, a6=1,且an va“+i（nN *），求數(shù)列a/f的通項(xiàng)公式【答案】20（1）由3c是關(guān)于X的方程X：+（比_1一 2）專一為嚴(yán)1 = 0的根，可得；（ -$-項(xiàng)以4-冬）=0（處”），1所限對(duì)一切朗正整數(shù)心盤貞=陽+ .或2 斗分若旳=4.且型時(shí)，代*缶則數(shù)列五為；4A8,4.6.8, -所也數(shù)列仙的前100項(xiàng)和九二環(huán)4十6 +即+"刃氣 8分若対=8,根據(jù)鮎（三N*）是整數(shù)，鬲

6、V細(xì)+i （nEN），且=礙+2或=丄礙可知.數(shù)列何的前&項(xiàng)是；-&-67742或-&-6,7-271或-8.-6.-3.-LL3 或8.-6.-2.0.2.4 或8.-6.-2.-1 丄 3因?yàn)?6= b所以數(shù)列泅的前6項(xiàng)只能是且匯時(shí),12分戸2m一 10一竝莖4所以，數(shù)列風(fēng)的通項(xiàng)公式是；I 2n_lliW-?16分已知數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，且對(duì)任意n N* ,都有a2 丫二anan 2 k（k為常數(shù)）.（1）若k=（a2-aj2,求證：q,a2,a3成等差數(shù)列；（2）若k=o,且a2,a4,a5成等差數(shù)列,求色的值；a1 已知q =a,a2 = b（a,b為常數(shù)）

7、,是否存在常數(shù)',使得an ' an .2二an 對(duì)任意n N *都成立？ 若存在求出；若不存在，說明理由.解當(dāng)百=仏一創(chuàng)尸時(shí)*在中冶耘=1為貳=冋+G嚴(yán)的尸,BP那血加梓丄+農(nóng)：=0因?yàn)?Gi>0,9flUaj3aj-!-dj=0> 即血一歎之血一血，故曲腸冋咸等譽(yù)歎列 2分12當(dāng)總=0 時(shí) ra!+a*<i*+：-因?yàn)閿?shù)列UJ的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以數(shù)列是茅比報(bào)列”4分設(shè)公比為g(gA0)因?yàn)楦拭竺?虎尊差ttR.UrH 血4坯n %* *閲總傀+心沖*眩加兩因?yàn)闅?gt;0呻Xh所CigJ裁+1-6 6分-I rr解得g=1或(管去負(fù)值).所L乩中壬g =

8、I 或中=agN-J；,"”“""“一”-“卄卄“一”“林卄"“*”*&分存在常數(shù)心處誓£su*葉嚴(yán)込川證明如下S為也;*1=口皿卄！ +*,所以鬧N%”%+上.冃耳2，甘N*.所£laJ+i諾-偽_】需“ *12分14#】6分即蛙tn+應(yīng)*”£!*+*=*>/_*：+呦.由于弘 >隊(duì)此等成兩邊同除以"皿+“礙直lf*t倉(cāng)所以込出=色上也十卄=如也珥jb+i&dj：即當(dāng) mN b +都fl-4,4-il,+ =-L £2 !, 4f|因?yàn)?at=a *0, = frtflUi

9、Mp+i+A i BfUd-* 應(yīng)津_*所以0| -如b斯劭時(shí)任意“EK、都有'喙r“*二Afl+.Jt時(shí)入=勺-十?十*215.已知數(shù)列an和bn滿足：a ',an 1an n, bn二(-1)n(an -3n 9),其中入為實(shí)數(shù),n為正整數(shù).3(I)若數(shù)列an前三項(xiàng)成等差數(shù)列，求的值；(n)試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(川)設(shè)0<a<b,Sn為數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù) 入，使得對(duì)任意正整數(shù) n,都有a<S<b?若存在, 求入的取值范圍；若不存在，說明理由2 48【答案】(I)證明：a1-,a2=' 忌二一1 3 9

10、32 48由條件可得2(1)"",所以=-63 932(n )解：因?yàn)?bn+i=(-1) n+1 an+i-3( n-1)+9=(-1)n+1(an-2 n+6)32 n 2=(-1)( an-3 n+9)=-bn3 3又b= -(6),所以當(dāng)入=-6時(shí)，bn=O(nN+),此時(shí)bn不是等比數(shù)列，當(dāng)入工-6時(shí),b= -(入+ 6)豐0,由上可知 0, ©Lji = _2 ( n N+).bn32故當(dāng)入工-6時(shí)，數(shù)列bn是以-(入+6)為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列3(川)由(n)知，當(dāng)入=-6, bn=0, S=0,不滿足題目要求2 n_1,入豐-6,故知bn=-

11、(入+6) (),于是可得332 nS=(.6) 1-()5一 3丿要使a<Sn<b對(duì)任意正整數(shù)n成立，32 n+即 a<-(入 +6) 1 -(-) <b( nN )53a3b得C 6)：1(l)n 51一弓令f(n) T(3)n，貝U55當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),1<f( n)乞5；當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，f(n)",3955-f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)=,39933于是，由式得一a<-(入 +6)< b：= -b -6 ：，： -3a - 6.555當(dāng)a<b二3a時(shí)，由-b-6 -3 a-6,不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；當(dāng)

12、b>3a時(shí)存在實(shí)數(shù) 入，使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a<S<b,且入的取值范圍是(-b-6, -3 a-6)16.已知函數(shù)f(x) =1 n(2 -x) ax在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)(1) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 若數(shù)列 a /滿足 a(0,1), an 1 = ln(2 -an) an, n N* ,證明 0 an : an 1 : 1.【答案】 解:(1)-函數(shù)f(x)=ln(2 -x)，ax在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)二f '(X )=二匚+a色0在區(qū)間(0,1)上恒成立2x，.a ：1,又g x二1在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)2 x2 x.a_g1 =1即實(shí)數(shù)a的取值范

13、圍為a _1先用數(shù)學(xué)歸納法證明0 ：an當(dāng)n =1時(shí)，a, (0,1)成立,假設(shè)n = k時(shí),0 ： ： ak : 1成立,當(dāng)n =k 1時(shí)，由 知a =1時(shí)，函數(shù)f x=ln 2 -x廠x在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù) .ak 1 二 f ak =ln 2 akak0 ： ln 2 二 f 0 ： f ak ： f 1 二1,即0cak+v1成立，二當(dāng)時(shí)，0van£1成立下證 an ：an1.0 ：玄：1, . a. 1a. =1 n2an >ln1 =0.a n ： an 1. 綜上 0 ；： an : an 1 ： 117.設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列a,a2-,an為n (

14、n =2,3,4, Hl)階“期待數(shù)列”： a +a? +a3 +川 +an =0; aj +血| + 旬十川+&| =1.(1) 若等比數(shù)列an為2k ( k N*)階“期待數(shù)列”，求公比q ;(2) 若一個(gè)等差數(shù)列an既是2k( k N*)階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式記n階“期待數(shù)列” a的前k項(xiàng)和為£(k =1,2,3,川，n):1(i )求證:|Sk |;21(ii)若存在1,2,3川|, n使Sm =-,試問數(shù)列S能否為n階“期待數(shù)列”？若能求出所有這2【答案】解:(1)右 q = 1,則由耳 a2 H1 a2k =( q ) =0,得 q -1,

15、1-q1由得a1或a1.樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說明理由.2k2k若q =1,由得，a1 20,得c =0,不可能.綜上所述,q - -1.設(shè)等差數(shù)列a1,a2,a3 Jll,a2k(k -1)的公差為d , d >0. aia?HI a2k =0, 2k(印 啞=0,2- ai ' a2k2k2k22k2由題中的、得a1 - a2 -IIIak 二152ak 1 ak 2 111 1a2k,2兩式相減得，k2 d=1,1d2 ，k2又 a1 k k(k-1)d = -1,得 a1 -2k -1222k2 d >0,由 akak i 二 0得 ak ： 0, ak 10,aj(

16、i -1) d = -記a1, a2,an中非負(fù)項(xiàng)和為 A,負(fù)項(xiàng)和為B ,1 i則 A B =0, A B =1,得 A 二丄，B = -1 ,2 2、111(i)=B空Sk空A二,即| Sk|乞.2221(丘)若存在1,2,3川|, n使Sm,由前面的證明過程知2耳-0, a2 -0,am -0, am 1 - 0, am 2 - 0，a. - 0,且 am 1am 2 an _記數(shù)列S （i =1,2,3，川，n）的前k項(xiàng)和為Tk,1則由（i ）知，|Tk匸,21 1咲UH遼,而Sm-S1 =S2 二川=4 = 0,從而可=還=HI = am 4 = 0，am則 Sm1,Sm2,川，Sn

17、-0,- S1|+|S2|+|S3|+|lESn|=S1+S2+S3+M + Sn，S +S2 +S3 +lil + Sn =0 與 S +|S2 + Ssl +| + .Sn| =1 不能同時(shí)成立所以,對(duì)于有窮數(shù)列 q,a2,an( n=2,3,4J|),若存在 m 1,2,3川n使Sm,則數(shù)列ai和數(shù)列S (i =1,2,3, |H, n)不能為n階“期待數(shù)列”.18.已知數(shù)列 fan?滿足 an 1 an -1 = n(n N*),且 &=6.an 卡 一 an +1(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；abn設(shè)bn = an (n N*, c為非零常數(shù)),若數(shù)列 bn是等差數(shù)列，記Cn虧

18、,S=C1+C2+Cn,求S. n +c2【答案】 解:(1)由一 =n,得(n-1) an+1-( n+1)a=-( n+1),當(dāng) n2 時(shí)，an 十 _ an +1所以,an+ 1n (n+1)有衛(wèi)二-=一丄 冃 n + 1 n 1 n 1a 11(n 1)n=- n (n 1) =-( n 1 -"n),由疊加法,得 當(dāng)n>3時(shí),an= n(2 n-1)a + a 1把 n=1,a2=6 代入n n,得 a1=1,經(jīng)驗(yàn)證：a1=1,a2=6 均滿足 an=n(2 n -1). an 卅一an +1綜上,an= n(2 n-1), n N*, r”n (2 n 1)由(1)

19、可知:bn=n十c口 1615是 b1=iT，b2=2TC，b3口,由數(shù)列bn是等差數(shù)列，得b1+b3=2 b2,即1C+3c=2C，解得C=1(C=0舍去).此時(shí)，bn=2n,所以，數(shù)列bn是等差數(shù)列.所以c=-1滿足題意所以，Cn=2n?所以 $=1+刁+22+尹,由錯(cuò)位相減法，得 S=4-三丹19. 一位幼兒園老師給班上k(k丄3)個(gè)小朋友分糖果.她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為a0,就先從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的1分給第一個(gè)小朋友；再?gòu)膭e處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的21分給第二個(gè)小朋友;,以后她總是在分給一個(gè)小朋友后，就從別處抓2塊糖放入盒中，然后把盒內(nèi)糖果3的1分給第

20、n(n -1,fe|3| k)個(gè)小朋友.如果設(shè)分給第n個(gè)小朋友后(未加入2塊糖果前)盒內(nèi)剩下的 n 1糖果數(shù)為an.(1)當(dāng) k =3, a。=12時(shí),分別求 a1,a2,a3; 請(qǐng)用an 4表示an ；令bn =( n 1)an,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式的k和ao,如果不存在,請(qǐng)說明理由.1【答案】解：(1)當(dāng) k=3,a。=12時(shí),aa0 2 ?a02=7,j1 jj1 ja2 二 a a川'2 二 6, a3 二 a2 川2 a2 2 二 63 41 n由題意知：an =(anjL +2 )-n(an+2吊(an+2 ),即 n 1an二nan2 =nani2n ,bn= (n&qu

21、ot;an,.bn-bn=2n,.bn -bm =2n,bn 1 _bn 2 =2n -2,S -bo =2.又 bo =a°, . bn = n n 1 產(chǎn)ao累加得 bn _b0 =(2 ；2n)n =n(n +1 ),由 bn = n n 1ao,得 an=nao若存在正整數(shù)k(k _3)和非負(fù)整數(shù)ao,使得數(shù)列an (n _k)成等差數(shù)列則印九即(1 'I 3著22 ；=,當(dāng)ao=o時(shí)，an = n,對(duì)任意正整數(shù)k(k_3),有 (nk)成等差數(shù)列注：如果驗(yàn)證ao,a!,a2不能成等差數(shù)列，不扣分【說明】本題主要考查數(shù)列的定義、通項(xiàng)求法；考查反證法；考查遞推思想；考查

22、推理論證能力；考查閱讀理解能力、建模能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題能力.本題還可以設(shè)計(jì)：如果班上有5名小朋友，每個(gè)小朋友都分到糖果，求a0的最小值.20.已知整數(shù)n_4,集合M =1,2,3J|I,n的所有3個(gè)元素的子集記為 A,A2,A c.(1) 當(dāng)n=5時(shí)，求集合A,A2,A c中所有元素之和；(2) 設(shè)m為A中的最小元素，設(shè)Pn = m +m2 +| +叫,試求Pn(用n表示).【答案】(1)當(dāng)n=5時(shí),含元素1的子集中，必有除1以外的兩個(gè)數(shù)字，兩個(gè)數(shù)字的選法有 C42 =6個(gè)，所以含有數(shù)字1的幾何有6個(gè).同理含2,3,4,5的子集也各有6個(gè)，于是所求兀素之和為(1+2+3+4+5) X C：

23、 =6 X 15=90(2) 證明：不難得到1WirnWn-2,mi乙并且以1為最小元素的子集有 C"4個(gè)，以2為最小元素的子集有C22個(gè)，以3為最小元素的子集有 衛(wèi)”以n-2為最小元素的子集有 C；個(gè).則P石呵叫+如三=1XC +2C爲(wèi)*3C爲(wèi)=(n-2)c| +(tl-3)c| +(n-4)C +,+C_j =C +(n-3) (C "+C： ) + (n-4)C： 4-,+C_j =c| +(n-3) (Cg +, ) + (ii4)畸=c| +(n-3)cj +(n-4)C 卜+答=Cj +(n-4) 住)iM?L =Cj 4 +(n-4)肩 1*71=C4 V V

24、 "V 乩跖21.設(shè)Sn是各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)的數(shù)列I的前n項(xiàng)和,給出如下兩個(gè)命題上11 1kn 十b命題P : d 是等差數(shù)列；命題q：等式- 二一 -對(duì)任意n( n N *)恒成3132玄2玄3a*an 舟31aM立,其中k,b是常數(shù)若p是q的充分條件，求k,b的值；對(duì)于中的k與b ,問p是否為q的必要條件，請(qǐng)說明理由若p為真命題，對(duì)于給定的正整數(shù) n( n .1)和正數(shù) M,數(shù)列滿足條件a； a；彳乞M ,試求Sn 的最大值.【答案】解：(1)設(shè)的公差為d ,則原等式可化為nd kn b'=313n 1313n 1丄乜一川+丄一丄沁,所以丄 d W 32 32 33 3n

25、3n 卅丿 卅 d即k -1 n b =0對(duì)于nN “恒成立，所以k =1,b =0. 當(dāng)k =1,b =0時(shí)，假設(shè)p是否為q的必要條件，即“若1對(duì)于313232333n3n -1313n 1任意的n n N ”恒成立，則：a/?為等差數(shù)列”1 1當(dāng)n =1時(shí)，顯然成立313231321 11n _1當(dāng)n2時(shí)，一一，由-得,313232333nj3n313n 11_ 1 '' n3n3n 31,3n +n -13n，即 n3n - n -1 3n =3| .當(dāng)n = 2時(shí)，a 33 =232,即31、32、33成等差數(shù)列當(dāng)n _3時(shí),n-1 anJ - n-2 an = a,即

26、2an二anan,.所以CaJ為等差數(shù)列，即p是否為q的必要條件r sin r cosn(3)由 a, a；_ M ,可設(shè) a, = r cost ,an, = r si nr,所以 r _ M .n 1 costn -1 sin v設(shè)：an 的公差為 d ,貝y an, - a, = nd = r sin v - r cost ,所以 d所以 “rsin 一 rSinrC0S：Sn=印 nn2+1),所以Sn的最大值為¥ J22.已知數(shù)列 an = n16, 0 =(1)n n15,其中 n N(1) 求滿足an+= bn的所有正整數(shù)n的集合n -16,求數(shù)列 D的最大值和最小值a

27、n記數(shù)列：anbn 的前 n項(xiàng)和為Sn ,求所有滿足S2 S2n (m<n)的有序整數(shù)對(duì)(m,n)【答案】(1) an+1=| bn|, n-15=| n-15|,當(dāng) n> 15 時(shí),an+1=|bn| 恒成立, 當(dāng) n<15 時(shí)，n-15=-( n-15) , n=15n 的集合n| n15, n N*畧川-15an n 16(i) 當(dāng) n>16 時(shí),n 取偶數(shù) b n15 =1 + 1an n 16 n16當(dāng)n =18時(shí)() ma)=無最小值an 2b1n取奇數(shù)時(shí)空=-1-ann16n=17時(shí)(一)min=-2無最大值(ii)當(dāng) *16 時(shí),爼=(T)n(nT5)a

28、nn T6當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)l = FT5)"ann -16n16n=14 時(shí)(bn ) max=- ( -bn ) min=- 13an 2 3 an 14當(dāng)n奇數(shù)蟲=口5=1+丄an n -16 n -16n=1 ,(bn )=11)max=l an 151415Kn=15,()min=0綜上，bL最大值為-(n=18)最小值-2( n=17)an2(3) n < 15 時(shí)，bn=(-1) n-1( n-15), 取一1-2k-1+a2k-2k=2 (16-2 k) > 0 , n >15 時(shí)，bn=(-1) n( n -15),-2k-1+a2k-2k=2(2 k-

29、16) >0, 其中 315-15+316-16=0” S6=Si4m=7, n=8123.如圖，一顆棋子從三棱柱的一個(gè)頂點(diǎn)沿棱移到相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)的概率均為彳，剛開始時(shí)，棋子在上3底面點(diǎn)A處，若移了n次后，棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率記為Pn .(1) 求P1，P2的值;(2)求證:ni=14Pi 1 n+ 1(第 23 題)所以Pn 1 =即 Pn= 1+ 1 >3 .用數(shù)學(xué)歸納法證明:2 “4> 3 15,右式=2因?yàn)? 2所以不等式成立.當(dāng)n= 2時(shí)，左式=784784亦，右式=4，因?yàn)?gt; ?,所以不等式成立.假設(shè)n = k(k> 2)時(shí)，不等式成立，即k 1

30、J?4Pi 1 >k2k+ 1k 11k21k23k+1貝H n = k+ 1 時(shí)，左式= 刀 +- >+=+k+1 丄i=14Pi 1 4Pk+1 1 k+ 111k+ 13 + 24(2 + 2X 產(chǎn))-,2k+12k ,3、(k+1)要證+k+1>k+ 13+ 2 k+ 2k+12,23、(k+1) k只要證k + 1卩3+ 2 k+ 2 k+ 1只要證3k+1k2+ 3k + 13k+1+ 2 k2+ 3k + 2.只要證2 13k+1< k2 + 3k+ 1只要證 3k+1 > 2 k2 + 6k + 2.因?yàn)閗>2,所以 3k+1 = 3(1 +

31、 2)k>3(1 + 2k + 4Cj) = 6k2 + 3= 2k2 + 6k+ 2+ 2k(2k 3)+ 1 >2k2 + 6k+ 2,所以k+ 13k+13k+1 + 2(k+ 1)2k+ 2即n = k+ 1時(shí)，不等式也成立.由可知，不等式i=14Pi 12>對(duì)任意的n N*都成立.10分24.已知數(shù)列匕:'滿足“寸話氛枠2"*).(1)求b2, b3,猜想數(shù)列 % ?的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明設(shè)x = bn, y = bn1,比較x*與yy的大小.【答案】25.已知數(shù)列 £n 是首項(xiàng)為1,公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bj是首項(xiàng)為1,公比為

32、q(q 1)的等比數(shù)列(1) 若比=bs, q =3,求數(shù)列 g bn 的前n項(xiàng)和； 若存在正整數(shù)k(k>2),使得ak二bk.試比較an與bn的大小，并說明理由【答案】 解: 依題意，比=b5 =b|q5' =1 34 =81 ,故d旦因二心=20,514所以 an =120(n -1)=20n -19,令 Sn =1 辺1 +21 辺3 +41X32 +- + (20n _ 19)3n,則 3Sn =1 3 21 32 亠亠(20n 39)3n(20n19) 3n ,-得，2Sn=1+20 3 32 亠 亠3心-(20n-19) 3n,= 1+20 3(1 $)13-(20n

33、 -19) 30=(29 _20n) 3n _29 ,n所以 Sn=(20 n29) 329(2) 因?yàn)?ak,kA所以 1 (k -1)d =qk，即 d-k 1又 g =qn1.所以s -a.k 1“-1q1 (n _1k -1k 11 |(k _1) q - -1 (n _1)_ _1 Jq 1 (k1)(qn2+q2 + + q+1)_(門(qk<+qk工十 十口 鬥k -1(i )當(dāng) 1 ：n : k 時(shí),由 q 1 知bn _an =q_1 (k _n)(qn 2 +qn s + +q +1 )_(n _ 1)(qk +q心十+ 卄k 1 -:誓 |(k -n)(n 一小心(

34、n 1)(k -n)qnJ2 n _2(q 1) q (k n)(n 1)k -1<0,(ii)當(dāng)n k時(shí),由q 1知bn P罟k -1(k 1) q2 q2 亠 亠qk；_.(n _k) qk qk，亠 亠 q 1 寸汙 |(k -1)(n -k)qkJ -(n -k)(k -1)qk，=(q -1)2q2(n -k) 0,綜上所述,當(dāng) 1 ： n ： k 時(shí)，a. bn;當(dāng) n k 時(shí)，爲(wèi)：bn；當(dāng) n =1, k 時(shí)，a. =bn .(注：僅給出 “ 1 ： n ： k 時(shí)，an bn; n k 時(shí)，an ： bn ”得 2 分.)26 設(shè)無窮數(shù)列 & 匚滿足：F N”，a

35、n：an1 , a N .記 bn 二 a即，Cn1(n N ).(1) 若 bn =3n(n N*)，求證：a =2，并求 c 的值；(2) 若：Cn匚是公差為1的等差數(shù)列，問"d餐是否為等差數(shù)列，證明你的結(jié)論.【解】(1)因?yàn)閍N "，所以若a1，則aa二a =3矛盾，第15頁，共37頁若二，可得1>a>3矛盾，所以 印=2 . 4分于是a2 =a =3，從而 g =a申=a3 =a色=6 . 7分(2) 也是公差為1的等差數(shù)列，證明如下： 9分an i an= n2 時(shí)，a. a.，所以 a“ > a.1= a. > % (nm) , (m ：

36、 n)= aan i 1aan 1 '' an 1 - (an ' 1) , 13分即 Cn 1 Onan 1 a.，由題設(shè)，1>a. 1 -a.，又 an 1 an1 ,所以a. 1 -a. =1,即:an /是等差數(shù)列. 16分27設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列an的首項(xiàng)a1 = 1,前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意的整數(shù) k M ,當(dāng)整數(shù)n .k時(shí)，Sn.k - SnA -2(Sn Sk)都成立(1) 設(shè)M二,a2,求a5的值；(2) 設(shè)M二3, 4,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【答案】【命題立意】本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查

37、考生分析探究及邏輯推理的能力【解析】(1)由題設(shè)知，當(dāng) n 一2 時(shí)，Sn.1-SnJ=2(SnS1),即(Sn1-S) -(Sn - Sn)=2S,從而an 1 -an =2 = 2 .又 a2 2,故當(dāng) n 一 2 時(shí)，aa22(n - 2) = 2n - 2.所以 a5 的值為 8.(2)由題設(shè)知，當(dāng) k M 二3,4且 n k 時(shí)，Sn k SnA =2Sn 2Sk 且 515 心=2Sn2Sk. 兩式相減得 a. 1 -k a. 1 _k = 2an 1，即 an 1 k - an 1 = an 1 - an 1 A .所以當(dāng)n _8時(shí)，&.£耳；耳耳3，an &#

38、167;成等差數(shù)列，且an£,an/,an .2耳6也成等差數(shù)列.從而當(dāng) n 一8時(shí)，2an = an 3 an；二 an 6 an,(*)且 an-6an=an 2- q ,所以當(dāng) n - 8 時(shí)，2aan-2- an,即an2 an二 an - and 于是當(dāng) n - 9時(shí)，anj,anan 1,an 3成等差數(shù)列，從而an 3anan 1a,故由(*)式知2an=an1an_1,即a. 1 -a.冋-ani 當(dāng) n -9時(shí),設(shè)d 討-an.當(dāng) 2 豈28時(shí),m 6 一8,從而由(*)式知 2am 6 = am am 仁，故2am 7 = am . - am13.從而 2(am

39、7 am 6) = am 1 _ am (am 13 am 12 ),于是 am 1 am = 2d d = d .因此，an1-an二d對(duì)任意的n - 2都成立.又由Sn'S*僅2S&2 S(kk 3 ,可知73d(SnSn- (S SnN 2S故k9d=2S3 且 16d=2S4,解得 ad,從而 a 3 d , a .因此數(shù)列an為等差數(shù)列.由a =1知d = 2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an =2n -1.28.已知數(shù)列an的前項(xiàng)和為Sn,且Sn二n2s,數(shù)列bn為等比數(shù)列，且b=i, b4=64.求數(shù)列an, bn的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an滿足Cn二ab,求數(shù)列Cn

40、的前項(xiàng)和Tn ；(3) 在(2)的條件下，數(shù)列Cn中是否存在三項(xiàng)，使得這三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出此三項(xiàng)，若不存 在，說明理由【答案】23解:當(dāng)必2時(shí)角工Sjt.=2n* 1.當(dāng)時(shí)嗎Tp適合.所UAfla-2ti-L因?qū)潝?shù)列也為等比數(shù)列上嚴(yán)如A所以64司心故(rt4分(2) 因?yàn)? =他，所以 cn =24 -1 =2 4"-1 -1,2所以Tn=2x 4° -l+2x 4Z-1+- +2xj_4 -n= J(4" - l)-n9分假設(shè)數(shù)列叮 中存在p,q舟“丸p謝亡眄)三頊?zhǔn)沟眠@三項(xiàng)成等差數(shù)列，則2x2x4- 2 = 21+2x4r_1l,§P22x

41、4w-1+4,因?yàn)閲?yán)嚇救嚴(yán)皿,所以2xV 為隅數(shù)、廠九偶魏，次奇數(shù)，故2x4與2-圖象上的兩點(diǎn)，且2CP = x<|CA ' x?CB1+4"不可能相等，所以數(shù)列匕中不存在三項(xiàng)使得這三項(xiàng)成等差數(shù)列16分29.已知 P(x1，y1)，P2(x2，y2)是函數(shù) f(r1OP = 2 (OR OP2)，點(diǎn) P、A B 共線，且(1)求P點(diǎn)坐標(biāo)2010前n項(xiàng)的和,j若弘廠：盤)求氐11n i若St!八f ()，記Tn為數(shù)列i =1n若Tn :： a(Sn . 2)時(shí)，對(duì)一切n，N都成立，試求a的取值范圍。T T T【答案】解(1) ； 共線且Cx1CA x2CB，x1 x2 =

42、1又；f(x) f(1-x)2x+2x221 22x12x 2 2x 21 1P(22)S20112010 f(2011i1f(201120092010小扁)2011f(迎)f(迎)川f(2) f (丄)2011 2011 2011 20112S2011 =2010= S2011 =1005(3)ni12& 八 fG) =f(Q f(2) F|f(ynnnn -1j f(1)nSn二 f(1) f (口n2 1)Mf() f()nSn2'Sn(和.2)(n 1)(n 2)2nn 2n 24n:aa22(n 2)24n2n 4n 41a 230.已知數(shù)列n'和gf滿足a1

43、=m,an厲八ann,bn=為-印 -,39"bn匚的前n項(xiàng)和為Tn .(I)當(dāng)m=1時(shí),求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)Jan 定不是等差數(shù)列；(n)當(dāng) - -1時(shí)，試判斷b 是否為等比數(shù)列；2(川)在(n)條件下，若1豈豈2對(duì)任意的n N *恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍.【答案】解:(1)當(dāng)m=1時(shí),a 二 1.a2 二1,a3 二11|亠2二 12假設(shè):an 是等差數(shù)列，由a1 a3 =2a2,得2 亠；.亠3 = 2 "1即 2 _ 1=0,) =-3：0,方程無實(shí)根。故對(duì)于任意的實(shí)數(shù)-,an /一定不是等差數(shù)列、 1當(dāng).=- 2時(shí)，1an+ _2ann,bn = an -2n 43

44、 9bn 1 an 1=mnna.當(dāng)m = -時(shí)，bn :是以m-為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列9922當(dāng)m =-時(shí)，bn ?不是等比數(shù)列92(3) 當(dāng)m = ,Tn =0,不成立92 221當(dāng) m-時(shí)人=：(m _訓(xùn) _(_；)n93921 313當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)1 _(_)"(1,當(dāng) n為偶數(shù)1 -(-)7 ,1)2 22420從而求得m = 931. 已知數(shù)列an, bn,且滿足 an 1 an 二 bn ( n =1,2,3,川)(1) 若a1 =0, bn =2n,求數(shù)列an的通項(xiàng)公 式；(2) 若 bn 1 bnA =bn(n > 2),且 b =1,b2 =2 .記 C

45、n =a6n(n > 1),求證：數(shù)列Cn為常數(shù)列;(3) 若 bn b 丄=bn(n > 2),且 & =1 ,=1® =2.求數(shù)列an的前 36 項(xiàng)和 .【答案】，解：(I) an二n2 -n(U )先證 bn 3 b 0 ,即 ISn 3 b6 0 ,然后Cn d _Cn =a6n 5 一気二2(b6n 3 ' Sn)二0 ,數(shù)列cn為常數(shù)列(in) S 36 = 79532. 已知數(shù)列an 滿足 an+i =an -1 nan +1(n 壬 N ),且=3.2 2(1) 計(jì)算a2,a3，a4的值，由此猜想數(shù)列a“的通項(xiàng)公式，并給出證明；(2) 求證

46、:當(dāng) n _2 時(shí),an _4nn.【答案】 a2 =4, a3 = 5, a4 =6 ,猜想：an 二 n + 2(n N ) 當(dāng)n "時(shí)，a3,結(jié)論成立； 假設(shè)當(dāng)n =k(k > 1,kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak =k + 2 ,1111則當(dāng) n =k +1 時(shí)，a=ak -一kak + 仁一(k + 2)2 k(k+2)+仁k+3=(k+1)+2 ,2 222即當(dāng)n=k + 1時(shí),結(jié)論也成立，由得，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an二n + 2(N*)2原不等式等價(jià)于(1 + )n > 4 .證明:顯然，當(dāng)n =2時(shí),等號(hào)成立；當(dāng) n 2 時(shí),(12)n=C(nC1n2C2(

47、Z)2C：(2)n> cnC1n-C"(-)2C(-)3nn nnn nno i 22 2 22> Cn CnCn ( )54,n nn綜上所述,當(dāng)n > 2時(shí)，a： > 4nn _k個(gè)_、33設(shè) 數(shù)列；%： - ,2-2 , 3 , 3 , -3, - 41), (4 )-必|(, 4 )-k1-,即 當(dāng):：: n 乞肚 ° k N 時(shí)，an =(-1)kJk ,記 Sn =ai 飛2川 an n N ,對(duì)于 I N ,2 2定義集合r =n Sn是an的整數(shù)倍，nN 1且1En <I)(1)求集合P11中元素的個(gè)數(shù)；(2)求集合P2000中

48、元素的個(gè)數(shù)【答案】本題主要考察集合數(shù)列的概念與運(yùn)算計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)，考察探究能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法 分析解決問題能力及推理論證能力(1)解：由數(shù)列a 1的定義得：印=1, a? =-2, a3 =-2,a4= 3,a5= 3,a6= 3,a?= -4,a$=-4, a? = -4 ,耳。=-4,a11=5二 3 ", S2 - -1, S3 - -3, S4 =0, S5 = 3, S6 = 6, S7 = 2 , Ss - -2 , S9 - - 6, S10 - -10,Sr -5S4 =0 乜4, S5 =1 性，S6 =2 6, S11 - -1 呵1二集合P11中元素的個(gè)數(shù)

49、為5證明：用數(shù)學(xué)歸納法先證S(2i卅)=i(2i +1)事實(shí)上， 當(dāng)i =1時(shí)，S(2皿)=S3 =1(2+1) =3故原式成立 假設(shè)當(dāng)i = m時(shí)，等式成立，即Sm(2m巧=-m * (2m 1)故原式成立則:i = m 1,時(shí)，2 2 2 2 S(m 1)2( m 1) 1 = S(m 1)(2m 3 = Sm(2m 1)(2m 1)- (2m ' 2)= -m(2m1)(2m 1) - (2m ' 2)-(2m2 5m 3) - -(m 1)(2m 3)綜合得：Si(2i 1-i(2i1)于是S(i制卄=S(2i 冊(cè) +(2i +1)2 = i(2i +1) +(2i +

50、1)2 =(2i +1)(i +1)由上可知：Si(2i 1是 1)的倍數(shù)而 a(i 1)(2i 1 j - 2i 1( j - H2,2i 1),所以 Si(2i 1) j - Si(2i -1) ' j (2i ' 1)是a(i 1)(2i 1 j (j - 1,2,2i1)的倍數(shù)又 S(i 1)2i ,(i - 1)(2i1)不是 2i 2 的倍數(shù),而 a(i 町 1 - = -(2i 2)( j =1,2，2i 2)所以S(i 1)(2i 1)：j - S(i 1)(2i -1) _ j (2i2) = (2i1)(i1) _ j(2i2)不% 1)(2i 1 j(j

51、=1,2,2i - 2)的倍數(shù)故當(dāng)I =i(2i /)時(shí),集合R中元素的個(gè)數(shù)為1(2i-1)i2于是當(dāng)I=i(2i+1)+j (1蘭j蘭2i+1)時(shí)，集合R中元素的個(gè)數(shù)為i2+j又 2000 =31 (2 311)47故集合P2000中元素的個(gè)數(shù)為31247 =100834.已知 Sn=1+1+3+ 2 2,1 2 3 4 12.2 3 n(1)求的值；若 Tn=7n11,試比較S,n與Tn的大小，并給出證明【答案】解:(1)c 13c 1 1 1 25S2=1+= S=1+_+_+_=當(dāng) n =1,2 時(shí),T1= 1227 + 11=|,T2=ZX1嚴(yán)=f|,所以，STn.12,t 丄 7X 3+ 11 81 1 1 1 1 1 1 761 8當(dāng) n=3 時(shí) T3 =一 $=1+ +一+一+ +一 +一 + =>一=13當(dāng) 3 時(shí),12 3' °8 2345678 280 3 .于是,猜想,當(dāng)n3時(shí),S2n >Tn下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n3,顯然成立； 假設(shè) n=k(k>3)時(shí)