第43講簡單的線性規(guī)劃問題

1、第43講簡單的線性規(guī)劃問題*1,習(xí)目標(biāo)1 .了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.2 .會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.理前預(yù)習(xí)*知識梳理3 .二兀一次不等式(組)表不平面區(qū)域(1)二元一次不等式人*+3丫+00(或0)表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.(2)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集即各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分(3)畫或判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用直線定界，特殊點定“域”.4 .線性規(guī)劃的有關(guān)概念(1)線性約束條件一一由條件列出的二元一次不等式組；(2)線性

2、目標(biāo)函數(shù)一一由條件列出的一次函數(shù)表達(dá)式；(3)線性規(guī)劃一一求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，稱為線性規(guī)劃問題.(4)可行解、可行域、最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解可行解組成的集合叫做可行域，使線性目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的可行解叫做最優(yōu)解.5 .利用線性規(guī)劃求最值的一般步驟：(1)根據(jù)線性約束條件畫出可行域；(2)設(shè)z=0,畫出直線10；(3)觀察、分析、平移直線10,從而找到最優(yōu)解；(4)求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.熱身練習(xí)1 .下列各點中，不在x+y1W0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是(C)A.(0,0)B.(-1,1)C.(-1,3)D,(2,-1)將上述各點代入不等式檢驗，

3、若滿足不等式，則點在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，否則，不在.(x,y)叫做可行解，由所有因為（0,0）,（1,1）,（2,1）都滿足不等式，所以這些點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，而（1,3）不滿足不等式，故選C.2 .如圖所不，不等式2xyv0表布的平面區(qū)域是（B）直線定界，因為2xy=0不經(jīng)過（2,1）點排除D,2x-y0,故（1,0）不在2xy0,3 .不等式組ix+3y4,3x+y0時，當(dāng)直線過z值最大，在y軸上截距最小時，z值最??；當(dāng)Bv0時，當(dāng)直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.(2)由于最優(yōu)解是通過圖形來觀察的，故作圖要準(zhǔn)確，否則觀察結(jié)果就可能有誤.變式探

4、究二求線性目標(biāo)函數(shù)的最值x-2y-20,0,則z=3x+2y的最大值為作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分所示.可行域且在y軸上截距最大時,1.(2017全國卷出)設(shè)x,y滿足約束條件3x+2y-60,y0,A.-3,0B,-3,2C.0,2D.0,3畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.由題意可知，當(dāng)直線y=x-z過點A(2,0)時，z取得最大值，即zmax=20=2；當(dāng)直線y=x-z過點B(0,3)時,z取得最小值,即Zmin=0-3=-3.所以z=xy的取值范圍是3,2.求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值x-10,S0若x,y滿足約束條件Jx-y0,則x的最大值為L_X+y-4w0,畫出可

5、行域如圖陰影所示,因為y表示過點(x,y)與原點(0,0)的直線的斜率,x所以在點A處時，y最大.x則z=x-y的取值范圍是(B)x=ix=1,x=1,由彳得彳所以A(1,3).x+y4=0,y=3.所以X的最大值為3.ED3求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是從目標(biāo)函數(shù)聯(lián)想到相對應(yīng)的幾何意義，常見的是兩點連線的斜率和兩點間的距離，在此基礎(chǔ)上再利用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行求解.x+y2,(2016山東卷)若變量x,y滿足，2x3y0,作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.x2+y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方,x+y=2,由5得A(3,1),2x3y=9由圖易得(x2+y2)max

6、=|OA|2=32+(1)2=10.故選C.線性規(guī)劃在實際問題中的應(yīng)用2.A.C.4B.910D.12例3.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產(chǎn)萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4由圖可知，當(dāng)直線z=3x+4y經(jīng)過點A（2,3）時，z取最大值，最大值為3X2+4X3=18.建立線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型的一般步驟:設(shè)出所求未知數(shù)；列出約束條件（即不等式組）；建立目標(biāo)函數(shù)；作出可行域；運用圖象法求出最優(yōu)解.3.（2016全國卷I理）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)

7、一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時； 生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為216000元.隨3設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品Ax件，產(chǎn)品By件，則解.甲乙原料限額A（噸）3P212B（噸）1P28A.12萬元B.16萬元C.17萬元D.18萬元I設(shè)出甲、乙兩種產(chǎn)品的數(shù)量，列出關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，畫出可行域求設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x噸、y噸，每天所獲利潤為z萬元，則有px+2

8、y12,x+2y0,y0,z=3x+4y,作出可行域如圖陰影部分所示,1.5x+0.5y150,x+0.3y90,55x+3y0,xCN,N,y0,yCN N.畫出可行域，如圖:目標(biāo)函數(shù)z=2100 x+900y.（包括邊界）內(nèi)的整數(shù)點，圖中陰影四邊形的頂點坐標(biāo)分別為(60,100),(0,200),(0,0),(90,0).當(dāng)直線z=2100 x+900y經(jīng)過點(60,100)時，z取得最大值，zmax=2100X60+900X100=216000(元).|網(wǎng)里遞,1 .畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用直線定界，特殊點定“域”；不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的交集，是

9、它們平面區(qū)域的公共部分.2 .對線性目標(biāo)函數(shù)z=Ax+By中的B的符號一定要注意.當(dāng)B0時， 當(dāng)直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸上截距最小時，z值最?。划?dāng)BV0時，當(dāng)直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.3.常見目標(biāo)函數(shù)有截距型（ax+by=z）,距離型（z=Z（xx。2+（yy。2）,斜率型億=4 .最優(yōu)解一般在可行域的頂點處或邊界取得，要注意邊界的虛實.此外解選擇、填空題常?？上惹罂尚杏虻捻旤c，再代入目標(biāo)函數(shù)驗算.5.建立線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型的一般步驟：明確問題中的有待確定的未知量，并用數(shù)學(xué)符號表示；作出可行域為圖中的陰影部分yy0 xx0）幾種.明確問題中所有的限制（約束）條件，并用線性方程或線性不等式表