用譜方法解微分方程

1、用譜方法解微分方程December3,2009這是一個關(guān)于用譜方法解微分方程的介紹，有許多細(xì)節(jié)問題沒有介紹，例如算法收斂性，穩(wěn)定性等定理沒有涉及，一方面我還沒有看懂，一方面那些內(nèi)容涉及更深入些的數(shù)學(xué)知識，而那些數(shù)學(xué)知識不能三言兩語解釋清楚。我在最后列出了參考書，有興趣的同學(xué)可以找來看看。1Chebyshev多項式的解。記n階Chebyshev多項式為Tn。Chebyshev多項式關(guān)于測度(權(quán)函數(shù))1/交 0k=j1 TT22nmdx=(1+0n)mn=(Tn,Tm)=(2)k=j=0 1 k=j=0Chebyshev多項式的遞歸公式Tn+1(x)=2xTn(x)Tn1(x)前5個Chebysh

2、ev多項式為T0=1T1=xT2=2x21T3=4x33xT4=8x48x2+1T5=16x520x3+5x他們的圖：可以看出1.Tn的奇偶性與n相同。2.Tn是n次多項式。1(3)Chebyshev多項式是微分方程 n1x2y +y=0(1)xixj是一個N次多項式。在任意節(jié)點處XINf(xi)=f(xi)0iN(7)(8)對于一個插值多項式與原函數(shù)的的差別可以用下面定理判斷(n+1)!成立，其中(x)= ni=0(xn+1(x)(9)xi)。若當(dāng)xa,b時，|fn+1(x)|Mn+1，則有Rn(x)Mn+1|n+1(x)|(n+1)!(10)以下兩圖是1/1+16x2的等距插值。從圖2以及

3、圖3可以看出隨著插值點的增加，插值效果沒有提高。這種現(xiàn)象叫做Runge現(xiàn)象。有沒有辦法找到一個代數(shù)多項式，令其在區(qū)間中可以比較“均勻”的代替原函數(shù)呢？這首先要明確均勻的意義，它的定義一般有兩種。記f(x)為原函數(shù)，(x)為替代函數(shù)。，一種要求f(x)與(x)的差在要求區(qū)間上的最大值小于某一標(biāo)準(zhǔn)，即以 f maxxa,b|f(x)(x)|作為標(biāo)準(zhǔn)，這稱為在一致意義下逼近。一種要´b求f(x)與(x)的差的平方的積分值小于某一標(biāo)準(zhǔn)，即以 f 2af(x)(x)2dx為標(biāo)準(zhǔn)，這稱為在平方意義下逼近。可以看出如果達(dá)到一致逼近的標(biāo)準(zhǔn)可以有效的避免Runge現(xiàn)象。剩下的問題就是如何找到在一致意義

4、下逼近原函數(shù)的代數(shù)多項式了。3最佳一致逼近3首先是這樣的多項式存在嗎？Weierstrass在1885年證明了一個定理，保證了這樣多項式的存在定理2(Weierstrass定理)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則對任意正數(shù)，存在多項式(x)，使得對一切xa,b，都有|f(x)(x)|<成立。這個定理從理論上肯定了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)可以用多項式以任意精度來一致逼近。但沒有給出具體的多項式。Bernstein在給出這個定理的一個構(gòu)造性證明，在此過程中他給出了一個可以逼近閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的多項式，現(xiàn)在稱為Bernstein多項式。 n nkkx(1x)nk,n=1,2,··&

5、#183;Bn(f,x)=fnkk=0其中f(x)在0,1上連續(xù)定理3設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1連續(xù)，則多項式序列Bn(f,x)在這閉區(qū)間上一致收斂于f(x)。但是Bernstein多項式收斂速度很慢，需要取高次的Bernstein多項式才能達(dá)到較高精度。計算機(jī)是有限精度的計算工具，計算高次多項式會帶來很大的誤差，這在計算方面是十分不利的。所以Bernstein多項式在理論上是重要的，但在實際計算中很少使用。既然計算高次多項式會造成數(shù)值不穩(wěn)定，接下來的問題就是如何找到盡可能低次的多項式，而達(dá)到盡可能高的逼近精度。這個問題就是最佳逼近問題。這個問題的嚴(yán)格數(shù)學(xué)表述是：對于給定的函數(shù)f(x)Ca,

6、b，在次數(shù)不超過n的多項式集合Pn=span1,x,···xn中去尋找一個多項式pn(x)使得fpn min fpn pnPn定理4(Borel存在性定理)對任意給定在a,b上連續(xù)的函數(shù)f(x)，總存在pn(x)Pn使得fp(11)n min fpn pnPn這個定理肯定了最佳逼近多項式的存在性定理5(Chebyshev定理)對任意fCa,b，f/Pn，是f的最佳一致逼近多項式的充要條件是fp在a,b上存在至少有n+2個點組成的交錯點組。Chebyshev定理給出了最佳逼近多項式的刻劃。由Chebyshev定理還可以得到一個推論，推論說最佳逼近多項式的唯一的定理6

7、(唯一性)若函數(shù)f(x)在a,b上是連續(xù)函數(shù)，則f(x)的最佳逼近多項式pn(x)Pn是唯一的。這個定理就肯定了，如果插值點選得合適，那么插值多項式就是最佳一致逼近多項式?，F(xiàn)在回過頭考慮前面提到的Runge現(xiàn)象。定義2N X li(x) N(X)=maxx1,1i=0稱為格點的Lebesgue常數(shù)對于任何一個插值而言有X fINf (1+N(X) fpN (12)關(guān)于N(X)有如下定理定理7(Ero¨ds)對于任意選定的一組格點X，存在常數(shù)C>0使得N(X)>2ln(N+1)C這個定理表明當(dāng)N時N(X)。這表明，如果插值點取得不好，并不是插值點取得越多越好，如果插值點取得

8、不合適，Runge現(xiàn)象會隨著插值點的增加而越來越嚴(yán)重的。這個定理與Faber1914年得到的一個結(jié)果有關(guān)，F(xiàn)aber的定理表明對于任何一組格點，至少存在一個連續(xù)函數(shù)f，使得它的插值多項式不能一致收斂到f。雖然知道了插值點是什么樣的點，但是一般來說，如何選擇插值點還是一件困難的事，只在一些特殊的問題中可以計算出插值點的位置，所以通常情況下用的是一種近似的最佳逼近式。式(10)表明，若要減小插值的誤差，就要選取 XX合適的插值點使得N+1(x)=Ni=0(xxi)最小。N+1(x)是一個首項是系數(shù)是一的N+1次多項式，而誤差最小為0，于是問題轉(zhuǎn)化為尋找一個首項系數(shù)為1的與0的誤差最小的多項式的問題

9、，即最小零偏差問題?，F(xiàn)在暫時考慮如下問題，如何用PN1中的多項式來逼近xN。xNN1k=0akxk =min(13)這個問題和最小零偏差問題是同一問題。根據(jù)Chebyshev定理對最佳逼近多項式的刻劃，這個N+1次多項式在1,1上有N+1個點符號交錯，并輪流到達(dá)最大值最小值。這和三角函數(shù)cosnx是一樣的，并且cosnx可以展開成cosx的乘冪的多項式。于是得到Tn(x)=Ccos(narccosx)(14)1選取適當(dāng)?shù)腃=1，得到Tn=cos(narccosx)是首項為1的與0偏差最小的多項式。于是在選取插值點時，可以選取Tn的零點作為插值點，這樣R取極值。4Tau方法Tau方法的思路是選定

10、一組基，將微分算子化為函數(shù)空間中的矩陣，將分方程近似化為代數(shù)方程Lu(x)=S(x)x1,1(15)被轉(zhuǎn)化為Nj=0Lijuj(16)令R=LuS則在選定的基底下要求(R,k)=0，kN從Chebyshev多項式的求導(dǎo)公式可以很容易的得到一次導(dǎo)數(shù)，二次導(dǎo)數(shù)，以及乘以x的矩陣表示。(1+0n1)an1+an+1對于乘以x，bn=1N對于一次導(dǎo)數(shù)bn=2pap0n p=n+1,p+nodd22對于二次導(dǎo)數(shù)bn=1p=n+2,p+nevenp(pn)ap0n2u4edu考慮一個具體的微分方程d+4u=exp(x)4，邊界條件u(x=1)=0和u(x=1)=001030507··&

11、#183; 004080120··· 0006010014··· 000080120··· 0000010014··· D= 000000120··· 000000014··· 00000000··· .00403201080··· 0002401200336··· 00004801920··· 0

12、0000800280··· 00000201200··· D= 0000000168··· 00000000··· 00000000··· .10000000··· 01000000··· 00100000··· 00010000··· 00001000··· I= 00000100·&#

13、183;· 00000010··· 00000001··· .01030507 004080120 0006010014 000080120 PND= 0000010014 000000120 00000000 000000000002401200336P000800280ND2= 0000000012000000000168000000000000000010000000010000000100000P 000010000NI= 00001000000001000000000000000000LN=PND24PND+4PN

14、I就是在N維自空間中微分算子的表示?？梢钥闯鲞@個微分算子不滿秩，并且秩為N2，代表微分方程有2個基礎(chǔ)解。當(dāng)將方程右邊的非其次項也用Chebyshev多項式展開并階段N項后可以求得這個微分方程的通解。加上邊界條件就可以得到微分方程的特解了。微分方程的邊界條件放在LN矩陣的最后兩行44412322010828 a0 041624321204833600424484019256 000432804828044012056 a1a2a30000 00000448168 a4 T0(1)T1(1)T2(1)T3(1)T4(1)T5(1)T6(1)T7(1) a5T(1) a6T 0(1)1(1)T2(1

15、)T3(1)T4 T5(1)T6(1)T7(1)a72+J0(1)8+6J1(1)e+J2(1)4834J3(1)e+25J0(1)56J1(1)49J1(1)204J2(1)經(jīng)過計算可以得到解，畫出圖形為5配置法(擬譜法，偽譜法)配置法的思路是在區(qū)域內(nèi)選擇一些點，將非其次項表示出來，并選定一種基函7=2N+1其中i=0,1,2···50T2(x0)T2(x1)T2(x2)T2(x3)T2(x4)T2(x5)00T3(x0)T3(x1)T3(x2)T3(x3)T3(x4)T3(x5)00T4(x0)T4(x1)T4(x2)T4(x3)T4(x4)T4(x5)00T5(x0)T5(x1)T5(x2)T5(x2)T5(x2)T5(x2)000000000T=000000000T0(x0)T0(x1)T0(x2)T0(x3)T0(x4)T0(