樣本高一升高二數(shù)學(xué)教案(橢圓方程)

1、教育精品資料揚(yáng)帆教育小班化輔導(dǎo)教案 任教科目： 數(shù)學(xué)年 級(jí)：高一升高二任課教師：*揚(yáng)帆教育教務(wù)處 科目組長(zhǎng)簽字： 教研組主任簽名： 日 期： 揚(yáng)帆教育學(xué)科輔導(dǎo)講義授課教師*授課課時(shí)4課時(shí)授課題目橢圓專題講解參考教材及例題來(lái)源教學(xué)目標(biāo)1熟練掌握橢圓的定義及其幾何性質(zhì)會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2掌握常見(jiàn)的幾種數(shù)學(xué)思想方法函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等體會(huì)解析幾何的本質(zhì)問(wèn)題用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題教學(xué)范圍和重點(diǎn)出題的范圍：求橢圓的方程是高考的重中之重，幾乎每年必考，有的是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，多數(shù)以解答題的形式出現(xiàn)重點(diǎn)：在解答題中往往結(jié)合弦長(zhǎng)等知識(shí)來(lái)求橢圓方程關(guān)鍵：突破難點(diǎn)要抓住“建立坐標(biāo)系”和“

2、化簡(jiǎn)方程”兩個(gè)環(huán)節(jié)考點(diǎn)及考試要求1、考查橢圓的定義及利用橢圓的定義解決相關(guān)問(wèn)題2考查橢圓的方程及其幾何性質(zhì)3考查直線與橢圓的位置關(guān)系教學(xué)流程及授課詳案1橢圓的概念在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫橢圓這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)：(1)若ac，則集合P為橢圓；(2)若ac，則集合P為線段；(3)若ac，則集合P為空集例1、求下列橢圓的焦點(diǎn)和焦距(1)； （2）分析：解題關(guān)鍵是判斷橢圓的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，方法是觀察標(biāo)準(zhǔn)方程中含項(xiàng)與含項(xiàng)的分母，哪項(xiàng)

3、的分母大，焦點(diǎn)就在哪條坐標(biāo)軸上。2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形續(xù)表性質(zhì)范圍axabybbxbaya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距|F1F2|2c離心率e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2橢圓的方程的求法是解析幾何中的一個(gè)重要內(nèi)容，求橢圓的方程的主要方法有直接法、定義法、代入法，下面分類舉例說(shuō)明之。常見(jiàn)規(guī)律：橢圓焦點(diǎn)位置與x2，y2系數(shù)間的關(guān)系：給出橢

4、圓方程1時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上mn0；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上0mn.(1)直接法：直接從條件中獲取信息，建立方程求橢圓的方程。(2)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2、b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫(xiě)出橢圓方程一、 直接法 例1已知橢圓C:=1(ab0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.求橢圓C的方程。解：設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為 點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓中的基本量的關(guān)系，列出方程即能獲解。此類問(wèn)題常常出現(xiàn)在高考的解答題中的第一問(wèn)，考查同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握。二、定義法 利用橢圓的定義，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值或到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)（此數(shù)大于零小于1），就可以得

5、到所求的橢圓的方程。例2.已知ABC中，ÐA,ÐB,ÐC所對(duì)應(yīng)的邊為a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差數(shù)列，|AB|=2,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.解：|BC|+|CA|=4>2,由橢圓的定義可知，點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)軸為4，焦距為2, 短軸長(zhǎng)為2, 橢圓方程為, 又a>b, 點(diǎn)C在y軸左側(cè)，必有x<0,而C點(diǎn)在x軸上時(shí)不能構(gòu)成三角形，故x2, 因此點(diǎn)C的軌跡方程是：(2<x<0)點(diǎn)評(píng)：本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，正確理解題意及正確地將此實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是

6、順利解答此題的關(guān)鍵.本題在求出了方程以后討論x的取值范圍，實(shí)際上就是考慮條件的必要性三種技巧(1)橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的所有距離中，長(zhǎng)軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為ac，最小距離為ac.(2)求橢圓離心率e時(shí)，只要求出a，b，c的一個(gè)齊次方程，再結(jié)合b2a2c2就可求得e(0e1)(3)求橢圓方程時(shí)，常用待定系數(shù)法，但首先要判斷是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷的依據(jù)是：中心是否在原點(diǎn)；對(duì)稱軸是否為坐標(biāo)軸自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18，焦距為6，則橢圓的方程為()A.1 B.1C.1或1 D以上都不對(duì)解析2a2b18，ab9，又2

7、c6，c3，則c2a2b29，故ab1，從而可得a5，b4，橢圓的方程為1或1.答案C2(2012·深圳)設(shè)P是橢圓1上的點(diǎn)，若F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|PF2|等于()A4 B5 C8 D10解析依橢圓的定義知：|PF1|PF2|2×510.答案D考向一橢圓定義的應(yīng)用【例1】(2011·廣州模擬)已知F1、F2是橢圓C：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且.若PF1F2的面積為9，則b_.審題視點(diǎn) 關(guān)鍵抓住點(diǎn)P為橢圓C上的一點(diǎn)，從而有|PF1|PF2|2a，再利用，進(jìn)而得解解析由題意知|PF1|PF2|2a，（引導(dǎo)學(xué)生如何審題）|PF1|

8、2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2.|PF1|PF2|2b2，SPF1F2|PF1|PF2|×2b2b29.b3.答案3 橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)，利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通過(guò)整體代入可求其面積等（老師要注明這道例題的詳細(xì)的方法總結(jié)）【訓(xùn)練1】 已知ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長(zhǎng)是()A2 B6C4 D12解析由橢圓的定義知：|BA|

9、BF|CA|CF|2a，周長(zhǎng)為4a4(F是橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn))答案C考向二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】(1)求與橢圓1有相同的離心率且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)的橢圓方程(2)已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，且P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5、3，過(guò)P且與長(zhǎng)軸垂直的直線恰過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程審題視點(diǎn) 用待定系數(shù)法求橢圓方程，但應(yīng)注意橢圓的焦點(diǎn)位置是否確定解(1)由題意，設(shè)所求橢圓的方程為t(t0)，橢圓過(guò)點(diǎn)(2，)，t2，故所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)所求的橢圓方程為1(ab0)或1(ab0)，由已知條件得解得a4，c2，b212.故所求方程為1或1. 運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，即設(shè)法建立關(guān)于a、

10、b的方程組，先定型、再定量，若位置不確定時(shí)，考慮是否兩解，有時(shí)為了解題需要，橢圓方程可設(shè)為mx2ny21(m0，n0，mn)，由題目所給條件求出m、n即可（老師要注明這道例題的詳細(xì)的方法總結(jié)）【訓(xùn)練2】 (1)求長(zhǎng)軸是短軸的3倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)已知橢圓1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F(1,0)，若橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)M，N與F構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程解(1)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為1(ab0)，橢圓過(guò)點(diǎn)A(3,0)，1，a3，2a3·2b，b1，方程為y21.若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓方程為1(ab0)，橢圓過(guò)點(diǎn)A(3,0)，1，b3，又2a3

11、3;2b，a9，方程為1.綜上所述，橢圓方程為y21或1.(2)由FMN為正三角形，則c|OF|MN|×b1.b.a2b2c24.故橢圓方程為1.考向三橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用【例3】(2011·湛江)已知橢圓G：y21.過(guò)點(diǎn)(m,0)作圓x2y21的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)(1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；(2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值審題視點(diǎn) (1)由橢圓方程可直接求出c，從而求出離心率(2)可設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立得一元二次方程，由弦長(zhǎng)公式列出|AB|長(zhǎng)的表達(dá)式從而求出|AB|的最大值解(1)由已知得，a2，b1，所以c.所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

12、，0)，(，0)，離心率為e.(2)由題意知，|m|1.當(dāng)m1時(shí)，切線l的方程為x1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，此時(shí)|AB|.當(dāng)m1時(shí)，同理可得|AB|.當(dāng)|m|1時(shí)，設(shè)切線l的方程為yk(xm)由得(14k2)x28k2mx4k2m240.設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x2，x1x2.又由l與圓x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以|AB|.由于當(dāng)m±1時(shí)，|AB|，所以|AB|，m(，11，)因?yàn)閨AB|2，且當(dāng)m±時(shí)，|AB|2，所以|AB|的最大值為2. (1)求橢圓的離心率，其法有三：一是通過(guò)已知條件列方程組，解出a，c的值；二是

13、由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解；三是通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率(2)弦長(zhǎng)公式l|x1x2| .（老師要注明這道例題的詳細(xì)的方法總結(jié)）【訓(xùn)練3】 (2012·武漢質(zhì)檢)在RtABC中，ABAC1，如果一個(gè)橢圓通過(guò)A，B兩點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為點(diǎn)C，另一個(gè)焦點(diǎn)在AB上，則這個(gè)橢圓的離心率為_(kāi)解析設(shè)另一個(gè)焦點(diǎn)為F，如圖所示，|AB|AC|1，ABC為直角三角形，114a，則a，設(shè)|FA|x，x，124c2，c，e.答案考向四橢圓中的定值問(wèn)題【例4】(2011·陽(yáng)江)如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，離心率e， 一條準(zhǔn)線的方程為x2.(

14、1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：OO2O，其中M、N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為 .問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得|PF1|PF2|為定值？若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由審題視點(diǎn) (1)由離心率和準(zhǔn)線方程即可求出橢圓方程(2)充分利用橢圓的定義和性質(zhì)，利用設(shè)而不求的方法求出P點(diǎn)解(1)由e，2，解得a2，c，b2a2c22，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由OO2O得(x，y)(x1，y1)2(x2，y2)(x12x2，y12y2)，即xx12x2，yy12y2.因?yàn)辄c(diǎn)M、N在橢圓x22y24上，所

15、以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x4x1x2)2(y4y4y1y2)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)設(shè)kOM，kON分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知kOM·kON，因此x1x22y1y20，所以x22y220.所以P點(diǎn)是橢圓1上的點(diǎn)，設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|PF2|為定值又因c，因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0) 本題考查橢圓方程的求法和橢圓中的定點(diǎn)、定值等綜合問(wèn)題，可先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P，利用設(shè)而不求的方法求出P點(diǎn)的軌跡方程，從而找出定點(diǎn)（老師要注明這道例題的詳細(xì)的方法總結(jié)）【訓(xùn)練4】 (

16、2010·茂名)如圖，已知橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e.(1)求橢圓E的方程；(2)求F1AF2的角平分線所在直線l的方程解(1)設(shè)橢圓E的方程為1(ab0)，由e，即，得a2c，得b2a2c23c2.橢圓方程可化為1.將A(2,3)代入上式，得1，解得c2，橢圓E的方程為1.(2)由(1)知F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，直線AF1的方程為y(x2)，即3x4y60，直線AF2的方程為x2.由點(diǎn)A在橢圓E上的位置知，直線l的斜率為正數(shù)設(shè)P(x，y)為l上任一點(diǎn)，則|x2|.若3x4y65x10，得x2y80(因其斜率為負(fù)，舍去)于是，由

17、3x4y65x10，得2xy10，直線l的方程為2xy10.規(guī)范解答怎樣求解與弦有關(guān)的橢圓方程問(wèn)題【問(wèn)題研究】 求橢圓的方程是高考的重中之重，幾乎每年必考，有的是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，多數(shù)以解答題的形式出現(xiàn)雖然考向二中學(xué)習(xí)了求橢圓方程的方法，但在解答題中往往結(jié)合弦長(zhǎng)等知識(shí)來(lái)求橢圓方程，難度中等偏上【解決方案】 解決這類問(wèn)題首先根據(jù)題設(shè)條件設(shè)出所求的橢圓方程，再由直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求出待定系數(shù)【示例】(本題滿分12分)(2011·揭陽(yáng))設(shè)橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.點(diǎn)P(a，b)滿足|PF2|F1F2|.(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)

18、直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若直線PF2與圓(x1)2(y)216相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|AB|，求橢圓的方程 第(1)問(wèn)由|PF2|F1F2|建立關(guān)于a、c的方程；第(2)問(wèn)可以求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)或利用根與系數(shù)的關(guān)系求|AB|均可，再利用圓的知識(shí)求解（老師要注明這道例題的詳細(xì)的方法總結(jié)）解答示范 (1)設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c0)，因?yàn)閨PF2|F1F2|，所以2c.整理得2210，得1(舍)，或.所以e.(4分)(2)由(1)知a2c，bc，可得橢圓方程為3x24y212c2，直線PF2的方程為y(xc)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.(6分)得方程組的解為不妨設(shè)A，B(0，c)，所以|AB|c.(8分)于是|MN|AB|2c.圓心(1，)到直線PF2的距離d.(10分)因?yàn)閐2242，所以(2c)2c216.整理得7c