空間曲線的切線與空間曲面的切平面

1、第六節(jié) 空間曲線的切線與空間曲面的切平面 一、空間曲線的切線與法平面 ”x = x(t) 設(shè)空間的曲線 C 由參數(shù)方程的形式給出： y = y(t) , 、Z = Z(t) 設(shè)tot (：，J , A(x(to), y(to), z(to)、B(x(ti), y(ti),z(ti)為曲線上兩點(diǎn),A, B 的連線AB稱為曲線C的割線，當(dāng)B A時，若AB趨于一條直線，則此直線稱為曲線 C 在點(diǎn)A的切線. 如果x =x(t), y=y(t), z = z(t)對于t的導(dǎo)數(shù)都連續(xù)且不全為零(即空間的曲線 C 為 光滑曲線)，則曲線在點(diǎn) A切線是存在的因?yàn)楦罹€的方程為 x x(t) _ y y(t) _

2、 zz(t) x(tj - x(to) y(tj - y(to) z(ti) - z(to) 也可以寫為 x x(t。) _ y y(t。) _ z z(t。) x(tj - x(to) y(tj - y(to) z(tj z(to) t -to t -to t -to 當(dāng)B A時，t to，割線的方向向量的極限為 J(to), y(to), z(to)1，此即為切線的 方向向量，所以切線方程為 X x(to) _ y y(to) _ z _z(to) x(to) 一 y (to) z(to) 過點(diǎn)A(x(to), y(to), z(to)且與切線垂直的平面稱為空間的曲線 C 在點(diǎn) A(x(t

3、o), y(to), z(to)的法平面，法平面方程為 x(to)(x-Xo) y(to)(y - yo) z(t)(z - z) = 0 如果空間的曲線 C 由方程為 y =y(x),z =z(x) 且y (xo),z (xo)存在，則曲線在點(diǎn) A(Xo, y(Xo), z(Xo)的切線是 法平面方程為x -Xo 1 y - y(xo) y (xo) z -Z(Xo) z (Xo) (x-Xo) y (Xo)(y - y(Xo) z(Xo)(z-z(Xo) =0 如果空間的曲線 C 表示為空間兩曲面的交，由方程組 F(x, y,z)=0, c:丿 G(X, y,z) =0 組存在定理?xiàng)l件，則

4、由方程組G(x：z)：o在點(diǎn)A(xo,yo,zo)附近能確定隱函數(shù) y =y(x),z =z(x) 有yo =y(xo),z =z(xo) 理=丄”F,G),生 =一1 c(F,G)。于是空間的曲線 C在 ，dx J c(x,z) dx J c(y, x) 點(diǎn)A(xo, y，Zo)的切線是 X - X。 y - y。 Z - Zo 1 ddz dx A dA xxo y yo z zo 亙F,G) f(F,G) f(F,G) 鞏y,z) A 召(z,x) A f(x,y) A 法平面方程為 程和法平面方程有相同形式。 所以，當(dāng)向量 時，空間的曲線 C 在A(x0, y0, z0)的切線的方向向

5、量為r 例 6.32 求曲線x = a cos：, y = asin = ,z=bd在點(diǎn)：i.-a,0, b二處的切線方程. 解 當(dāng) v -二時，曲線過點(diǎn) -a,O,b二，曲線在此點(diǎn)的切線方向向量為 確定時, 假設(shè)在A(xo, yo，Zo)有J (F,G) 點(diǎn)(y,z)A -0，在A(Xo,yo,zo)某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù) 類似地，如果在點(diǎn) (x -Xo) A .XF,G) ： (y-y。) A 工(F,G) 級 x, y) (z- zo) = 0 A A(X0，y0，z0)有號 A -0時，我們得到的切線方 VA 0F,G) 級乙X)A ：(F,G) (x, y) ；.-asin J, aco

6、sv, bj-O,-a,bf, 所以曲線的切線方程為 xx(t。) y y(t。) z z(t。) 0 -a b x a y z - b 二 即 0 - a b . 二、空間曲面的切平面與法線 設(shè)曲面S的一般方程為 F(x,y,z) =0 取Po(xo，yo，z。)為曲面S上一點(diǎn)，設(shè)F(x,y,z)在Po(x,yo,Zo)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)，且 F；(xo, y,乙) F；(xo, y,Zo) Fz2(xo ,y,zo) = 0。設(shè) c 為曲面 S 上過 Po(Xo, y,Zo)的任意一條光滑曲線： X 二 x(t) c： y = y(t) 二=z(t) 設(shè) X。二 x(t), y 二

7、 y(t), z 二 z(t)，我們有 F(x(t),y(t),z(t) =0 上式對t在t二t0求導(dǎo)得到 I I I Fx (x, y,z0)x (t) +Fy (x,y,z0)y (t)十 Fz (x,y0,z)z (t。)= 0 因此，曲面S上過P0(x0, y0, z0)的任意一條光滑曲線 c在P0(x0, y0, z0)點(diǎn)的切線都和 向量 n =Fx (x0,y,z),Fy (x, y,z), Fz (x, y,z) 垂直，于是這些切線都在一個平面上，記為 ，平面就稱為曲面S在P0(x0,y0,z0) 的切平面，向量n稱為法向量。S在P0(x0,y0,z0)的切平面方程是 Fx (X

8、o, yo,Zo)(x Xo) Fy (Xo,yo,Zo)(y - y) Fz (x, y, Zg)(z - zj = 0 過點(diǎn)Po(xo, yo，Zo)且與切平面垂直的直線稱為曲面 S在Po(xo,yo,zo)點(diǎn)法線，它的 方程為 (x -X。) (y - y) (z -乙) Fx(Xo,yo,Zo) Fy(Xo,yo,Zo) Fz (xo,yo,z) 設(shè)曲面S的方程為 F(x,y,z) =O 若 F (x, y, z) 在 S 有 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 且 Fx2(Xo,yo,Zo) Fy2(Xo, yo,Zo) Fz2(Xo, yo,z) = O ,則稱 S是光滑曲面。由上面討論可 以知道

9、光滑曲面有切平面和法線。 若曲面S的方程的表示形式為 z = f (x, y)，這時，容易得到 S在Po (xo, yo, zo)的切 平面方程為 fx(Xo,yo)(x-x) fy(x,y)(y -yo)-(z-z) =O 法線方程為 (x -X。)_ (y-y。)_ (z-zo) fx(Xo,yo) fy (Xo, yo) -1 我們知道，函數(shù)z二f(x, y)在點(diǎn)(xo, yo)可微，則由 Taylor 公式知 f (x,y) - f (Xo, yo) = fx(Xo, y)(x - Xo) fy(x,y)(y - y) O( _(x -x)2 (y - y)2) 也就是說， 函數(shù) z

10、= f(x,y)在點(diǎn)(xo,y)附近可以用S在Po(x,yo,Zo)的切平面近似代 替，誤差為.(x - Xo)2 (y - y)2的高階無窮小。 若曲面S的方程表示為參數(shù)形式 x = x(u,v) S: y = y(u,v) .z = z(u,v) 設(shè) Xo =X(Uo,Vo),yo =y(Uo,Vo),Zo =Z(Uo,Vo)， Po(Xo,yo,Zo)為曲面上一點(diǎn)。假設(shè) 在 FO(Xo,yo,Zo)有J = g(x, 式O ,在Po(Xo, yo,Zo)某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)組存在定理?xiàng)l 訊U,v) Po 件，則由方程組丿X =x(u,v),在點(diǎn)po(Xo，yo，Zo)附近能確定隱函數(shù)(即X

11、和y的逆映射) y =y(u,v) u = u(x, y),v 二 v(x, y) 滿足u0 = u(x0, y0 ),v0 = v(x0, y0)于是，曲面S可以表示為 。 z = f(x,y) =z(u(x, y),v(x,y) 由方程組丿 x x(u,v)，兩邊分別同時對x, y求偏導(dǎo)得到 j = y(u,v) ；:y _ cv ：x 一 ：(x ,y)， 一 ：(x, y) :：(u,v) :：(u,v) .x :x -：u _ _ ：v 竺=:：u ：y - -：(x, y) ：y 巡 y) c(u,v) c(u,v) ：:(y,z) ：(u,v) /(x, y) / (u, v)

12、：(乙 X) f(u,v) / e(x, y) / (u,v) 所以，S在 P0 (x, Yo, z)的切平面方程為 法線方程為 x - xo y 一 yo z - zo 久y,z) 訊Z,x) (x,y) 訊u,v) (Uo ,Vo ) 訊U,v)(Uo,vo) 點(diǎn)(U,v) (Uo，Vo) x 例 6.33 求曲面z = y In 在點(diǎn)(1,1,1)的切平面和法線方程。 zfx 二 ZuU (y,z) (u,v) (x -Xo) (Uo，Vo) ：(z, x) (Uo，Vo) (y 一 YO) ：(X, y) (Z-Zo)=O (Uo，Vo) ZuUy Zvvy 解曲面方程為 x T F(

13、x, y, z) y ln z=0，易得 n =1,1,-2 z 切面方程為 (x 一1) (y 一1) _2(Z-1) =0 即 x y -2z = 0. 法線方程為 x -1 y -1 z -1 1 一 1 一 -2 習(xí)題 6.6 1 求曲線 x = a cos a cost, y = a sin a cost, z = as in t 在點(diǎn) t = t0 處的切線和法平面方 程. 2 .求曲線 x2 y2 z2 x y z = 0 =6在點(diǎn)（1,-2,1）處的切線和法平面方程. 3 .求曲面 y = arctan在點(diǎn)（1,1,二/4）的切平面和法線方程。 x 4。證明曲面 3 xyz=a

14、 （a 0）上任意一點(diǎn)的切平面與坐標(biāo)面形成的四面體體積為定值。 5 .證明曲面 z =xf （丫）上任意一點(diǎn)的切平面過一定點(diǎn)。 x 第七節(jié)極值和最值問題 一、無條件極值 與一元函數(shù)極值類似，我們可以引入多元函數(shù)的極值概念。 定義 6.3 n元函數(shù)f(Xi,X2, ,Xn)在點(diǎn)P(x；,x2,，x：)的一個鄰域U(F0) Rn內(nèi) 有定義。若對任何點(diǎn) P(xj,x2，xn)U (P0)，有 f(P。)- f(P) 或( f(P。)乞 f(P) 則稱n元函數(shù)f(X1,X2，Xn)在Po(Xi0,x0，x0)取得極大(或極小)值， Po(x10,x0 , X0)稱為函數(shù)f (Xi,X2/ , Xn)的

15、極大(或極小)值點(diǎn)。極大值和極小值統(tǒng)稱 為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。 類似一元函數(shù)，我們稱使得 n元函數(shù)f (x1,x2/ , xn)的各個一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點(diǎn) 為駐點(diǎn)。我們有如下定理。 定理 6.28 若PO(X, X/ , X0)為n元函數(shù)f (Xi,X2/ , Xn)的極值點(diǎn)，且 f(Xi,X2, ,Xn)在Po(Xi0,x；,x0)的一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則 Po(x0,x0，,x0)為n元函數(shù) f (Xi, X2,Xn)的駐點(diǎn)。 證考慮一元函數(shù) Xi) = f (x；，,Xi,，x0)(i =1,2n)，則Xi 是 (xj的極值點(diǎn)， Fermat 馬定理告訴我們，可導(dǎo)函數(shù)在極

16、值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是零，于是 (X)二 fXi (Xi0, , ,x：) = 0 和一元函數(shù)類似，反過來，駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。 而偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能是極值 點(diǎn)。 判斷多元函數(shù)的極值點(diǎn)要比一元函數(shù)復(fù)雜的多， 下面我們僅對二元函數(shù)不加證明給出一 個判別定理。 定理 6.29 若Po(Xo, yo)為二元函數(shù)f (x, y)的駐點(diǎn)，且f (x, y)在Po(x, y)的一個 鄰域U (P) R2中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。令 A = fxx(X0, y), B = fxy(X0,y),C = fyy(X0, y), A B 2 Q = = AC - B ， B C 則 (1) 當(dāng) Q 0 時，若 A 0， f

17、 (x, y)在 P0(x0, y0)取極小值；若 A：0, f(x,y) 在P0(X0, y 0)取極大值； (2) 當(dāng) Q 0 時，f(x, y)在 P0(X0,y。)不取極值； (3) 當(dāng)Q = 0時，f (x, y)在P0(x,y。)可能取極值，也可能不取極值。 例 6.34 求函數(shù)z = x2y3(6 - x - y)的極值。 解解方程組 r f cz 3 一 = xy3(12 _3x _2y) =0 疋x CZ 2 2 = x2y2(18_3x-4y) = 0 ;y 得駐點(diǎn)為P(2,3)及直線x = 0, y = 0上的點(diǎn)。 2 對 P(2,3)點(diǎn)有 A 二-162,B 二-108

18、,C 二144,AC -B 0 ,于是函數(shù) z在 P(2,3) 取積大值z(Po) =108。 x = 0 容易判斷，滿足條件丿 的點(diǎn)為函數(shù)z的極小值點(diǎn)，極小值為 0;滿足條件的 0 6 一、 最值問題 在社會生產(chǎn)各個領(lǐng)域我們都會遇上最值問題，即如何用最小的成本獲取最大利益的問 題，這些問題一般都可以歸結(jié)為求某一函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最大值和最小值的問題。 我們稱使得函數(shù)取得最大值和最小值的點(diǎn)為函數(shù)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，統(tǒng)稱為最值 點(diǎn)；函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。 1、一元函數(shù) 設(shè)y = f (x)是定義在閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，則 f (x)在a,b上一定有最大值和 最小值。區(qū)間的兩個端點(diǎn)

19、a和b可能成為其最值點(diǎn)，而如果最值點(diǎn)在開區(qū)間(a,b)取得的話， 則一定是f (x)的極值點(diǎn)，即是f (x)的駐點(diǎn)或是使導(dǎo)數(shù)f (x)不存在的點(diǎn)。假設(shè) f (x)的所 有駐點(diǎn)是X；,X；,X：，使導(dǎo)數(shù)f (x)不存在的點(diǎn)是X；,X；，X；，那么 max f (x) | xa,b =max f (a), f (b), f (x；),f (x；), f(X12)*f(xm) 1 1 2 2 min f (x)|xa,b = mi n f (a), f (b), f (捲),f (xj, f (冷)，f(x；) 例 6.35 求拋物線y2 = 2x上與(1,4)最近的點(diǎn)。 解 設(shè)(x,y)是拋物線y

20、2 =2x上的點(diǎn)，貝U (x, y)與(1,4)的距離是 d廠廠(y匚4)2(y2 -1)2 (y-4)2 耳2 考慮函數(shù)f(y)二d2，由f(y)=0，得到唯一駐點(diǎn)y=2，于是拋物線y2 = 2x上與 (1,4)最近的點(diǎn)是(2,2) 2、多元函數(shù) 類似一元函數(shù)，n元函數(shù)f(X1,X2，Xn)的最值問題就是求 f(Xi,X2，Xn)在某個區(qū) 域D ：_ Rn上的最大值和最小值， 我們只需求出f(Xi,X2/ ,Xn)在D內(nèi)部的所有極值和邊 界上最值，從中比較就可以選出 f(Xi, X2，Xn)在D上的最值。 例 6.36 求平面X 2y 4與點(diǎn)(1,0,-2)的最短距離。 解 設(shè)(x, y,z

21、)是平面X 2y z =4上的點(diǎn)，貝U (X, y, z)與(1,0,-2)的距離是 d = J(x 1)2 +y2 十(z+2)2 =*(” 一 1)2 +(6 x y)2 考慮函數(shù)f (x,y) =d2，由fx =0, fy =0 ,得到唯一駐點(diǎn)(11/6,5/3)，于是平面 5j6 X 2y 4與點(diǎn)(1,0,-2)的最短距離是 d(11/6,5/3)二 6 三、條件極值問題和 Lagrange 乘子法 前面我們研究的極值和最值問題都是直接給出一個目標(biāo)函數(shù)n元函數(shù) f(X1,X2，Xn)，然后求其極值或最值，是無條件極值問題，但是，更多的極值和最值問 題是有約束條件的，即條件極值問題。 一

22、般來說，條件極值問題是指：求目標(biāo)函數(shù) n元函數(shù)y = f(xX2，Xn) G(X1, X2，Xn) = 0 在一組約束條件 嚴(yán)(X1,X2，Xn) =0 (m 5 下的極值。 | Gm(Xj, X2, Xn)二 0 我們可以嘗試對上面方程組用消元法解出 m個變量，從而轉(zhuǎn)化為上一節(jié)的無條件極值 問題來解決，但是，消元法往往比較困難甚至是不可能的，所以， 我們需要給出一種新的方 法來求條件極值。下面我們介紹拉格朗日乘子法。我們以二元函數(shù)為例來說明，即： 求目標(biāo)函數(shù)z = f (x, y)在一個約束條件F (x, y) =0限制下的極值問題。 假設(shè)點(diǎn)P0(X0，y0)為函數(shù)z二f (X, y)在條件

23、F(x, y)=0下的極值點(diǎn)，且 F(x,y) = 0 滿足隱函數(shù)存在定理的條件， 確定隱函數(shù)y = g(x)，則x = x是一元函數(shù)z = f (X, g(x)的 極值點(diǎn)。于是 fx(x,y) fy(X0,y)g(X0)=0 10 fx(Xo,yo)Fy(Xo, y) f y(x, y )Fx(x, y) =0 令 ，于是極值點(diǎn)Po (x0, y0)需要滿足三個條件： Fy(x,y) |fx(xo，yo) ，F(xiàn)x(Xo，yo)=0 fy(xo，yo)*，F(xiàn)y(xo，yo)=0 i F(xo，yo)=0 因此，如果我們構(gòu)造拉格朗日函數(shù) L(x, y, J = f (x, y)F(x, y) 其

24、中， 稱為拉格朗日乘子，則上面三個條件就是 Lx(xo, y) = fx(xo,y)Fx(xo, y) = 0 “ Ly(x, y) = fy(x, y) 5Fy(x, y) =0 i (Xo，yo) = F(Xo，yo) = o 也就是說我們討論的條件極值問題轉(zhuǎn)化為拉格朗日函數(shù)的無條件極值問題。 可能的極值點(diǎn)的方法，稱為拉格朗日乘子法。 類似地，求目標(biāo)函數(shù) n元函數(shù)y二f (xi,X2/ ,Xn) G(XI,X2，Xn) =0 在一組約束條件(G2(XI,X2,Xn) =0 (m n)下的極值時，我們可以構(gòu)造相應(yīng)的拉格朗 I Gm(Xi,X2, Xn) =0 日函數(shù)為 m X) G(XI,X

25、2，,Xn) i# 于是，所求條件極值點(diǎn)滿足方程組 11由隱函數(shù)存在定理得到 用這種方法去求 L(XI,X2 f (XI,X2 m 二 fxn 亠二：j j丄 L 1 - G1(X1, X2 , , Xn ) = 0 Lm =Gm(Xi,X2, ,Xn)=0 例 6.37 橫斷面為半圓形的圓柱形的張口浴盆，其表面積等于 S，問其尺寸怎樣時，此 盆有最大的容積？ 2 1 2 解設(shè)圓半徑為r，高為h，則表面積S =二(r rh)(r 0, h 0)，容積V r2h。 2 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) r 2 -.2 S L(r, h, ) = r h - (r rh ) n 解方程組 Lr(x,y。)=2rh

26、 - (2r h) =0 - 2 Lh(x0, y) =r - r =0 習(xí)題6.7 3 3 1. 求函數(shù)z = x y -3xy的極值。 4 I 4 2 2 2. 求函數(shù)z二x y -X -2xy - y的極值。 3求橢圓4x2 y2 =4上與(1,0)最遠(yuǎn)的點(diǎn) 4. 求平面x y - z =1與點(diǎn)(2,1,-1)的最短距離。 5. 求曲面z =xy 1上與(0,0,0)最近的點(diǎn) 12Lxi .Gj ： 丄Xn ；Gj ：由實(shí)際情況知道， V定達(dá)到最大體積，因此，當(dāng) 得到。 ,h S3 ：27二 3 體積最大。 6 已知容積為V的開頂長方浴盆，問其尺寸怎樣時，此盆有最小的表面積? 第八節(jié)導(dǎo)數(shù)

27、在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 一、導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義 1. 邊際函數(shù) 定義 6.4 設(shè)函數(shù)y = f(x)可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f(x)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為邊際函數(shù)。 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，我們經(jīng)常用到邊際函數(shù)，例如：邊際成本函數(shù)、邊際收益函數(shù)、邊際利潤 函數(shù)等等，它們都是表示一種經(jīng)濟(jì)變量相對于另一種經(jīng)濟(jì)變量的變化率問題， 都反映了導(dǎo)數(shù) 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。 成本函數(shù)C(x)表示生產(chǎn)x個單位某種產(chǎn)品時的總成本。 平均成本函數(shù)c(x)表示生產(chǎn)x 個單位某種產(chǎn)品時，平均每個單位的成本，即c(x) 兇。邊際成本函數(shù)是成本函數(shù) C(x) x 相對于x的變化率，即C(x)的導(dǎo)函數(shù)C(x)。 由微分近似計(jì)算公式我們知道 C(x)二 C(x ：x)

28、C(x) ： dC(x)二 C(x) ：x 令x =1 ,我們有C(x) : C(x 1) -C(x),也就是說，邊際成本函數(shù)C(x)可以近似表示 已經(jīng)生產(chǎn)x個單位產(chǎn)品后再生產(chǎn)一個產(chǎn)品所需要的成本。 在生產(chǎn)中，我們當(dāng)然希望平均成本函數(shù) c(x)取得極小值，這時，我們可以得到c(x) = O 即 c(xHxC(x)；C(x0 x 則xC(x) -C(x) = 0，于是我們得到C(x)二c(x)。因此，平均成本函數(shù) c(x)取得極小值 時，邊際成本函數(shù)和平均成本函數(shù)相等。這在經(jīng)濟(jì)學(xué)中是一個重要原則，就是說在生產(chǎn)中， 當(dāng)邊際成本函數(shù)低于平均成本函數(shù)時， 我們應(yīng)該提高產(chǎn)量， 以降低平均成本；當(dāng)邊際成本

29、函 數(shù)高于平均成本函數(shù)時，我們應(yīng)該減少產(chǎn)量，以降低平均成本。 例 6.38 設(shè)某種產(chǎn)品生產(chǎn)x個單位時的成本為 C(x) = 250 + 2x + 0.1x2。求 (1) 當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品 100 單位時的邊際成本和平均成本； (2) 當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為多少時平均成本最低。 解(1)邊際成本函數(shù)和平均成本函數(shù)為 C(x)二 2 0.2x 7.求用平面 Ax - By -Cz = 0與橢圓柱面 2 2 x_丄 a2 b2 二1相交所成橢圓的面積。 13 是，c(100) =22,c(100) 4.5 (2)平均成本函數(shù)c(x)取得極小值時，邊際成本函數(shù)和平均成本函數(shù)相等，即 C (x)二 c(x) 250

30、 2 0.2x 2 0.1x x x = 50 因此，當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為 50 時平均成本最低。 類似邊際成本函數(shù)我們可以討論其它邊際函數(shù)。 需求函數(shù)p( x)表示銷售x單位某種產(chǎn)品時的單個產(chǎn)品的價格。 那么，p(x)是x的單調(diào) 減少函數(shù)。收益函數(shù)是 R(x)二xp(x)，邊際收益函數(shù)是 R (x)。 利潤函數(shù)是 P(x) =R(x) -C(x) 邊際利潤函數(shù)是P(x)。 當(dāng)利潤函數(shù)取極大值時， p(x) = R(X)-C (x) =0，于是，R(X)=C(X)，也就是 說取得最大利潤的必要條件是邊際利潤等于邊際成本。 為了保證取得最大利潤還需要下面條 件 p(x) =R(X) _c(x) ：

31、0 即 R(x) ：C(x)。所以，當(dāng) R(x) =C(x)且 R(x) : C(x)時取得最大利潤。 例 6.39 設(shè)某種產(chǎn)品生產(chǎn)x個單位時的成本為 C(x) =27 1.28x-0.01x2 0.0003X3， 需求函數(shù)p(x) =10.28-0.01x。當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量要達(dá)到多大時可以取得最大利潤？ 解收益函數(shù)是 2 R(x)二 xp(x) = 10.28x - 0.01x 由 R(x) =c(x)得到 10.28 -0.02x =1.28 -0.02x 0.0009x2 我們得到x =100。 容易驗(yàn)證對任意 x 0有R(x) ：c(x)。所以，當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量達(dá)到 100 單位水平可 c

32、(x)二 C(x) x 250 2 0.1x 14 以取得最大利潤。 2. 彈性 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中我們常常用到彈性的概念， 彈性也是一種變化率問題，與導(dǎo)數(shù)概念密切相關(guān)。 定義 6.5 設(shè)函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)Xo可導(dǎo)，則稱 匹為函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)Xo與Xo LX LX Xo 旦在x 0時的極限為函數(shù) y二f (X)在點(diǎn)X0的彈性，記為 X Xo Ey 或f(Xo) EX X爭 Ex 如果y =f(x)在(a,b)可導(dǎo)，相應(yīng)地，我們可以給出 (a,b)上彈性函數(shù)的定義 當(dāng)X很小時，我們有近似計(jì)算公式 x=xo Xo 也就是說，函數(shù)的彈性是函數(shù)的相對改變量與自變量相對改變量之比， 上式表示當(dāng)X從

33、xo產(chǎn) 生1 oo的改變時， y = f(x)改變 f (xo) oo Ex 需求函數(shù)Q二f (p)表示在價格為p時，產(chǎn)品的需求量為 Q。需求函數(shù)Q二f (p)是單 調(diào)減少函數(shù)，Q二f(P)的反函數(shù)也稱為需求函數(shù)，就是我們前面提到的需求函數(shù) p(x)。 需求函數(shù)Q二f (p)對價格p的導(dǎo)數(shù)稱為邊際需求函數(shù)。 需求函數(shù)Q = f (p)的彈性為 兩點(diǎn)間的彈性；稱 Ey Xo f (Xo) f (Xo) Ex f(x) f(x) 衛(wèi):.Ey VO EX Ex x=Xo Vo Xo 15 (1) 求需求函數(shù) Q 的彈性 -； Ef Ep f(P) 由于Q = f ( p)是單調(diào)減少函數(shù)，因此 EL 顯然當(dāng)2ax b = 0時，k最大. 即在（對稱軸處），曲線彎曲程度最大. 例 6.46 求直線y = kx b的曲率. 解：因?yàn)?y = k , y= 0 , 所以k = 0 即