導數(shù)（關永強）

1、 第五章第五章 導數(shù)和微分導數(shù)和微分1 1 導數(shù)的概念導數(shù)的概念一、導數(shù)的概念一、導數(shù)的概念首頁首頁二、導函數(shù)二、導函數(shù) 三、導數(shù)的幾何意義三、導數(shù)的幾何意義平?jīng)鲭姶蟪缧殴ぷ髡酒經(jīng)鲭姶蟪缧殴ぷ髡?制作：關永強制作：關永強00( )()f xf xkxx 首頁首頁問題問題1 1 切線的斜率切線的斜率 如圖如圖5-1所示所示, ,曲線曲線y=f( (x) )在其上一點在其上一點P( (x0 0, ,y0 0) )處的處的切線切線PT是割線是割線PQ當動點當動點Q沿此曲線無限接近于點沿此曲線無限接近于點P時時的極限位置，的極限位置， 由于割線由于割線PQ的斜率為的斜率為 （1 1）因此當因此當xx0

2、 0 時如果的極限存時如果的極限存在，在，則極限則極限 000( )()limxxf xf xkxx 即為切線即為切線PT的斜率的斜率. .1.1.引言引言一、導數(shù)的概念一、導數(shù)的概念為質(zhì)點在時刻為質(zhì)點在時刻t t0 0的瞬時速度的瞬時速度 . .00( )( )s ts ttt 000( )()limtts ts ttt 首頁首頁問題問題2 2 瞬時速度瞬時速度設一質(zhì)點和直線運動設一質(zhì)點和直線運動, ,其運動規(guī)律為其運動規(guī)律為s=s(t), 若若t0為某一確定的時刻為某一確定的時刻,t為鄰近于為鄰近于t0的時刻的時刻,則則 是質(zhì)點在時間段是質(zhì)點在時間段 t0 0, , t(或或 t , ,t

3、0 0)上的平均速度上的平均速度, , 若若tt0 0時平均速度時平均速度v的極限存在的極限存在, ,則稱極限則稱極限 首頁首頁以后我們將會發(fā)現(xiàn)以后我們將會發(fā)現(xiàn), ,在計算諸如物質(zhì)比熱、電流強度、在計算諸如物質(zhì)比熱、電流強度、線密度等問題中線密度等問題中, , 盡管它們的物理背景各不相盡管它們的物理背景各不相同同, ,但最終都歸結(jié)于討論形如但最終都歸結(jié)于討論形如(2)(2)式的極限式的極限. . 上述兩個問題中，前一個是幾何學已知曲線求上述兩個問題中，前一個是幾何學已知曲線求它的切線的問題，后一個是運動學已知運動規(guī)律求它的切線的問題，后一個是運動學已知運動規(guī)律求速度的問題，速度的問題， 這兩個

4、問題與導數(shù)概念直接相聯(lián)系的，這兩個問題與導數(shù)概念直接相聯(lián)系的，它們是由德國數(shù)學家萊布尼茨它們是由德國數(shù)學家萊布尼茨( (Leibniz) ) 和英國數(shù)和英國數(shù)學家牛頓學家牛頓( (Newton)分別在研究幾何學和物理學過程分別在研究幾何學和物理學過程中建立起來的，中建立起來的， 但是都可以歸結(jié)為形如（但是都可以歸結(jié)為形如（1 1）、（）、（2 2）這種類型的極限這種類型的極限. . 若極限若極限 （3 3）函數(shù)函數(shù)f在點在點x0 0處的導數(shù)處的導數(shù)，記作，記作 . .0()fx 000( )()limxxf xf xxx 首頁首頁存在，則稱函數(shù)存在，則稱函數(shù)f在點在點x0 0處可導，并稱該限為

5、處可導，并稱該限為定義定義1 1 設函數(shù)設函數(shù)y= =f( (x) )在點的某鄰域內(nèi)有定義，在點的某鄰域內(nèi)有定義，2.2.定義定義 導數(shù)導數(shù) 為在為在x0 0處關于處關于x的變化率的變化率. .比值比值 的極限的極限， ,則（則（3 3）式可）式可 改寫為改寫為 我們稱我們稱 為函數(shù)關于自變量的為函數(shù)關于自變量的 所以，導數(shù)表示的是函數(shù)增量所以，導數(shù)表示的是函數(shù)增量 若（若（3 3）（或（）（或（4 4）式極限不存在，則）式極限不存在，則稱在點稱在點x0 0處不可導處不可導. .000,()()xxxyf xxf x 00000()()limlim()xxf xxf xyfxxx y x 0(

6、)fx yx 首頁首頁yx 若令若令 與自變量增量與自變量增量平均變化率（又稱差商），平均變化率（又稱差商），（4 4）試問試問 與與 而而 是常數(shù)是常數(shù) 的導數(shù)的導數(shù). . 若函數(shù)若函數(shù) 在點在點 可導，可導，( )f x0 x0()fx 0()fx 0( ()f x 0( ()f x ( )f x0()f x首頁首頁有何區(qū)別？有何區(qū)別？解答解答是函數(shù)是函數(shù) 在點的導數(shù)值，在點的導數(shù)值， 問題問題 由此知道拋物線由此知道拋物線 在點（在點（1 1，1 1）的切線斜率為）的切線斜率為 ， 例例1 1 求函數(shù)求函數(shù) 在點在點x=1=1處的導數(shù)，并求曲線在處的導數(shù)，并求曲線在點（點（1 1，1 1

7、）處的切線方程）處的切線方程. . 所以切線方程為所以切線方程為200(1)( )(1)1(1)limlimxxfxf xxfxx 2002limlim(2)2xxxxxx 2yx (1)2kf 12(1)21yxyx 即即首頁首頁2( )f xx 3. 導數(shù)應用例題導數(shù)應用例題 分析分析 根據(jù)前面討論可知，我們可以通過導數(shù)的意根據(jù)前面討論可知，我們可以通過導數(shù)的意義先求出切線斜率，義先求出切線斜率，解解 由定義求得由定義求得再利用點斜式直線方程給出切線方程再利用點斜式直線方程給出切線方程. .例例2 2 證明函數(shù)證明函數(shù) 在點在點 處不可導處不可導. .( )f xx 00 x 000( )

8、()limxxf xf xxx 0000()()limlimxxf xxf xyxx 首頁首頁 分析分析 要求證函數(shù)在一點處不可導，根據(jù)定義只要要求證函數(shù)在一點處不可導，根據(jù)定義只要能夠說明能夠說明不存在即可不存在即可. .證證 因為因為1,0()(0)01,0 xxfxfxxx 當當 時極限不存在，時極限不存在，0 x 所以所以f 在點在點 處不可導處不可導. .0 x 或或 此公式對此公式對 仍舊成立仍舊成立. .我們稱（我們稱（5 5）式為）式為 在點在點 的有限增量公式的有限增量公式, ,即即(5)(5)則則 ，于是當于是當 時，時， 是無窮小量，是無窮小量， 由由 在在點點 可導，可

9、導， 可知可知 ，即，即 ，設設 在點在點 可導，令可導，令 ，( )f x0 x0 x0()yfxx ( )f x00lim()xyfxx 00lim()0 xyfxx 0 x ()xx 0()()yfxxx 0 x ( )f x0 x首頁首頁4. 4. 可導與連續(xù)的關系可導與連續(xù)的關系 首先，我們介紹有限增量公式首先，我們介紹有限增量公式. .由公式（由公式（5 5）立即推得如下定理）立即推得如下定理. . 注注1 1 可導僅是函數(shù)在該點連續(xù)的充分條件，而不可導僅是函數(shù)在該點連續(xù)的充分條件，而不是必要條件，是必要條件， 如例如例2 2中的函數(shù)中的函數(shù) 在點在點 處處連續(xù)，但不可導連續(xù)，但不

10、可導. .定理定理5.15.1 若函數(shù)若函數(shù)f在點在點x0可導，可導，此命題可作為判斷一個函數(shù)不可導的依據(jù)此命題可作為判斷一個函數(shù)不可導的依據(jù). .( )f xx 0 x 首頁首頁則在點則在點x0連續(xù)連續(xù). .注注2 2 其逆否命題為：其逆否命題為：若函數(shù)若函數(shù)f 在點在點x0不連續(xù)，不連續(xù)， 則在點則在點x0不可導不可導. .證證 當當 時，由歸結(jié)原理可得時，由歸結(jié)原理可得 在在 處處不連續(xù)，不連續(xù)， 所以由定理所以由定理5.15.1注注2 2， 在在 處不可導處不可導. .例例4 4 證明函數(shù)證明函數(shù) 僅在點僅在點 處可導，其處可導，其中中 為狄利克雷函數(shù)為狄利克雷函數(shù). .綜上可知，僅在

11、綜上可知，僅在 可導可導. . 2( )( )f xx D x 00 x ( )D x00 x fx fx0 xx 00 x Dx 0000limlim0.0 xxfxffxDxx 00 x 首頁首頁當當 時，由于時，由于 為有限函數(shù)，為有限函數(shù)，0 xx 由定義可得到由定義可得到記作記作 ， 若只討論函數(shù)在點若只討論函數(shù)在點 的右鄰域（左鄰域）的上變的右鄰域（左鄰域）的上變化化率，率，我們需引進單側(cè)導數(shù)的概念我們需引進單側(cè)導數(shù)的概念.類似地，我們可以定義左導數(shù)類似地，我們可以定義左導數(shù)0 x 0000limlim0 xxxf xf xyxx 0fx 000()( 0) ()limxxf xx

12、f xfx 首頁首頁定義定義2 2 設函數(shù)在點的某右鄰域是有定義，若右極限設函數(shù)在點的某右鄰域是有定義，若右極限存在，則稱該極限值為存在，則稱該極限值為f在點在點x0的的右導數(shù)右導數(shù)，右導數(shù)和左導數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導數(shù)右導數(shù)和左導數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導數(shù). .5.5.單側(cè)導數(shù)單側(cè)導數(shù)定理定理5.25.2 若函數(shù)若函數(shù) 在點在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，的某鄰域內(nèi)有定義，則則 存在的充要條件是存在的充要條件是如同左、右極限與極限之間的關系，我們有如同左、右極限與極限之間的關系，我們有都存在，且都存在，且 . . yfx 0fx 0fx 0fx 00fxfx 首頁首頁 與與因為因為 , ,例例5 5 設設 討論討論

13、 在在 處的左、右導數(shù)與導數(shù)處的左、右導數(shù)與導數(shù). .所以所以f在在 處不可導處不可導. 1cos ,0,0.xxfxxx fx0 x 1cos00,0,1,0,xfxfxx 001cos0lim00lim 11xxfxf 00ff 0 x 首頁首頁解解 由于由于因此因此 試問函數(shù)在點處不可導通常有幾種情形？試問函數(shù)在點處不可導通常有幾種情形？首頁首頁解答解答（1 1）函數(shù)在該點不連續(xù)；）函數(shù)在該點不連續(xù)；（2 2）函數(shù)在該點的左右導數(shù)中至少有一個不存在；）函數(shù)在該點的左右導數(shù)中至少有一個不存在； （3 3）函數(shù)在該點的左右導數(shù)都存在，但是不相等）函數(shù)在該點的左右導數(shù)都存在，但是不相等. .問

14、題問題而而 是導函數(shù)的右極限是導函數(shù)的右極限. . 在學習之前，先給出這樣一個問題，供大家思考：在學習之前，先給出這樣一個問題，供大家思考： 問題問題 符號符號 與與 是否有區(qū)別？是否有區(qū)別？ 符號符號 表示函數(shù)在點表示函數(shù)在點x0處的右導數(shù)處的右導數(shù), ,0()fx 0(0)fx 0(0)fx 0()fx 首頁首頁二、導函數(shù)二、導函數(shù) 解答解答 有區(qū)別有區(qū)別. .此時對每一個此時對每一個 都有都有f 的一個導數(shù)的一個導數(shù) （或單側(cè)（或單側(cè)導數(shù)）與之對應導數(shù)）與之對應. . 這樣就定義了一個在這樣就定義了一個在I上的函數(shù)，上的函數(shù)，稱為稱為f在在I上的導函數(shù)，也簡稱為導數(shù)，上的導函數(shù)，也簡稱為

15、導數(shù)， 記作記作 ， 或或 ，即，即xI ( )fx,fydydx0()( )( )lim,xf xxf xfxxIx 首頁首頁 若函數(shù)若函數(shù)f在區(qū)間在區(qū)間I上每一點都可導（對區(qū)間端點，上每一點都可導（對區(qū)間端點，僅考慮相應的單側(cè)導數(shù)），僅考慮相應的單側(cè)導數(shù)）， 則則f 稱為稱為I上的可導函數(shù)，上的可導函數(shù)， 目前我們把目前我們把 看看作為一個整體，也可把它理解為作為一個整體，也可把它理解為 施加于施加于 的求的求導導運算，運算， 在物理學中導數(shù)在物理學中導數(shù) 也常用牛頓記號也常用牛頓記號 表示，而表示，而記號記號 是萊布尼茨首先引用的是萊布尼茨首先引用的. .yy dydxdydxddxy首

16、頁首頁 待到學過待到學過“微分微分”之后，我們將說明這個記號之后，我們將說明這個記號實際上是一個實際上是一個“商商”. . 相應上述和種表示導數(shù)的形式，相應上述和種表示導數(shù)的形式， 有地也寫作相應上述和種表示導數(shù)的形式，有地也寫作相應上述和種表示導數(shù)的形式， 0fx 有地也寫作有地也寫作00dyyxxxxdx 或或例例6 6 證明證明 1,nnxnxn sincos , cossin;xxxx 1loglog0,1,0 ,xe aaxx 1ln xx 首頁首頁（i） 為正整數(shù)；為正整數(shù)；（ii）（iii）特別特別 . .（）對于對于 ，由于，由于nyx 11221nnnnnnnnnxxxyxx

17、C xC xxCx 1122100111limlim.nnnnnnnxxnnnyyC xC xxCxxC xnx 首頁首頁因此因此證證 以及以及 是是 上的連續(xù)函數(shù)，因此得到上的連續(xù)函數(shù)，因此得到（）下面證第一個等式，類似地可證第二個等式，）下面證第一個等式，類似地可證第二個等式， 2sincossinsin22sin2cos22xxxxxxxxxxxx cos x(,) 00sin2(sin )limlimcoscos22xxxxxxxx 首頁首頁由于由于若若 ，且以，且以e e為底的自然對數(shù)常寫作為底的自然對數(shù)常寫作 ， log ()log1log (1)1log (1)aaaxxaxxx

18、xxxxxxx 011(log)limlog (1)logxxaaaxxxexxx ae ln x1(ln) xx 首頁首頁（iii）由于由于所以所以則由上式有則由上式有 函數(shù)在某一點不可導，它的導數(shù)可能函數(shù)在某一點不可導，它的導數(shù)可能是無限大，是無限大，三、導數(shù)的幾何意義三、導數(shù)的幾何意義即曲線在該點可能存在與即曲線在該點可能存在與x軸垂直的切線軸垂直的切線. .首頁首頁1.1.幾何意義幾何意義問題問題 若函數(shù)在某一點不可導，則曲線在該點不存在若函數(shù)在某一點不可導，則曲線在該點不存在切線這種說法對不對？切線這種說法對不對？解答解答 不對不對. .的切線方程是的切線方程是 （7 7）所以曲線所

19、以曲線 在點在點由導數(shù)的定義由導數(shù)的定義 ， 我們已經(jīng)知我們已經(jīng)知 在點在點 的切線斜率的切線斜率k，正，正是割線斜率在是割線斜率在 時的極限，時的極限，即即 函數(shù)函數(shù)f在點在點x0的導數(shù)的導數(shù) 是曲線是曲線 在點在點 處的切線斜率處的切線斜率. ( )f x0 xx 0 xx000( )()limxxf xf xkxx ( )kfx ( )yf x 00(,)xy000()()yyfxxx 0()fx ( )yf x 00(,)xy首頁首頁這就是說：這就是說：從而從而 意味著切線與意味著切線與x軸正向的夾角為銳角；軸正向的夾角為銳角；0()tanfx 0()0fx 0()0fx 0()0fx

20、 首頁首頁若若 表示這條切線與表示這條切線與x軸正向的夾角，軸正向的夾角，意味著切線與意味著切線與x軸正向的夾角為鈍角；軸正向的夾角為鈍角；表示切線與表示切線與x軸平行（圖軸平行（圖5252）. .例例7 7 求曲線在點處的切線方程與法線方程求曲線在點處的切線方程與法線方程 22002220000033,()lim (33)3.xyxxxxxfxxxxxx 20003().yyxxx 3000201()( (0)3yxxxp xx 00 x 0 x 首頁首頁解解 由于由于所以根據(jù)所以根據(jù)(7)(7)式式, ,曲線在點曲線在點P P的切線方程為的切線方程為由解析幾何知道由解析幾何知道, ,若切線

21、斜率為若切線斜率為k k, ,則法線斜率為則法線斜率為 ，1k 從而過點的法線方程為從而過點的法線方程為若若 , ,則法線方程為則法線方程為 . . x0是函數(shù)是函數(shù)f 的的極大（?。┲迭c極大（?。┲迭c. .定義定義3 3 若函數(shù)若函數(shù)f在點在點x0的某鄰域的某鄰域 內(nèi)對一切內(nèi)對一切 有有2. 2. 極值（點）定義極值（點）定義0()U x0()U xx 00()( ),( ()( )f xf xf xf x 首頁首頁(9)(9)則稱函數(shù)則稱函數(shù)f 在點在點x0取得極大（?。┲等〉脴O大（小）值. . 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點大值點、極

22、小值點統(tǒng)稱為極值點. . 它在點它在點 處取極大處取極大值，在點值，在點 處取極小值處取極小值. .13,xxx 2xx 首頁首頁 設函數(shù)設函數(shù)f如圖如圖5-4所示，所示， 存在正數(shù)存在正數(shù) ，對一切對一切有有 ，從而不難推得，當從而不難推得，當 時，時，（10）式成立式成立. . 若若 ，則存在，則存在 對任何對任何 ，有，有 （10） 0 ()0fx 0 00(,)xxx 0()( )f xf x 0000( )() ()lim0,xxf xf xfxxx 00(,)xx x 00()()0fxfxxx 00 xx 首頁首頁例例8 8 證明：證明：證證 因為因為所以由保號性可知，所以由保號性可知，例如，若例如，若 ， 則存則存在在 ， 對任何對任何 有有 . . 用類似的方法可討論，用類似的方法可討論， 和和 的情況的情況. .0 ()0fx 則則 x0 不是不是 的極點的極點. .00 () 0, () 0fxfx 0 ()0fx0 x 00(,)xx 0()( )f xf x 0()fx( )f x首頁首頁注注 例例8 8告訴我們：若告訴我們：若 存在且不為零，存在且不為零，若若x0點為點為f的極值點，則必