數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型歸納

1、數(shù)列一、數(shù)列的概念(1)數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).記作an,在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)(或首項(xiàng)),在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng),序號(hào)為n的項(xiàng)叫第n項(xiàng)(也叫通項(xiàng))記作an；數(shù)列的一般形式：ai,a2,a3,an,簡記作an.(2)通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.例如：1,2,3,4,5“1111：12345說明:an表示數(shù)列,an表示數(shù)列中的第n項(xiàng),an=fn表示數(shù)列的通項(xiàng)公式;n n1.n2k1同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一.例如,an=(1)n=,(kZ)；1,n2k不

2、是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.例如,1,1.4,1.41,1.414,(3)數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：從函數(shù)觀點(diǎn)看,數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集N(或它的有限子集)的函數(shù)f(n)當(dāng)自變量n從1開始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值f(1),f(2),f(3),f(n),.通常用an來代替fn,其圖象是一群孤立點(diǎn).(4)數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列.例：以下的數(shù)列,哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列？(1)1,2,3,4,5,6,(2)10,9,8,7,6,5,(3)1,0,1,0,1,0,(4)a,a,

3、a,a,a,(5)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：a an二、等差數(shù)列(一)、等差數(shù)列定義：一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.用遞推公式表示為anan1d(n2)重an1and(n1)例：等差數(shù)列an2n1,anan1(二)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：ana1(n1)d；說明：等差數(shù)列(通?？煞Q為AP數(shù)列)的單調(diào)性：d0為遞增數(shù)列,d0為常數(shù)列,d0為遞減數(shù)列.例：1.等差數(shù)列an中,a7a916,a41,那么a12等于()A.15B.30C.31D.642.an是首項(xiàng)a11,公差

4、d3的等差數(shù)列,如果烝2005,那么序號(hào)n等于(A)667(B)668(C)669(D)6703.等差數(shù)列an2n1,bn2n1,那么an為bn為(填“遞增數(shù)列或S(n1)(n1)S SnSm(n2)Sm(n2)“遞減數(shù)列三 、 等差中項(xiàng)的概念:定義：如果a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).其中Aaba,A,b成等差數(shù)列Aab即：2an1anan22(2ananmanm)例：1.全國I設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,A.120.105假設(shè)a1a2a315,C.90Daa2a3.7580,那么a11a12a13四 、 等差數(shù)列的性質(zhì):在等差數(shù)列an中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)為哪一項(xiàng)它相鄰

5、二項(xiàng)的等差中項(xiàng);(2)在等差數(shù)列an中,相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列；(3)在等差數(shù)列an中,N,anam(ndanam一(mn);在等差數(shù)列an中,P,anapaq；五、等差數(shù)列的前n和的求和公式:Snn(aian)na1n(n1)(SnAn2BnA,B為常數(shù)是等差數(shù)列遞推公式：Sn(aan)n2(aman(m1)n例：1.如果等差數(shù)列an中,a3a%a5那么aa2a7(A)14(B)21(C)28(D)352.湖南卷文設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a23,a611,那么S7等于A.13633.全國卷i設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,假設(shè)S972,那么a2a?a9=4.假設(shè)一個(gè)等差數(shù)

6、列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為A.13項(xiàng)B.12項(xiàng)C.11項(xiàng)390,那么這個(gè)數(shù)列有D.10項(xiàng)5.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,假設(shè)S1221,那么a2a5a86.全國卷H設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,假設(shè)a55a3貝US57.an數(shù)列是等差數(shù)列,a1010,其前10項(xiàng)的和S1070,那么其公差d等于C.8.陜西卷文設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,假設(shè)a6s312,那么anSS=7,S15=75,Tn為數(shù)列的n前 n n 項(xiàng)和,求 T Tn.六.對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列:1假設(shè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù),設(shè)共有2n項(xiàng),那么S偶S奇nd;2假設(shè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù),設(shè)共有2n1項(xiàng),那么S奇S偶ana中；

7、1.一個(gè)等差數(shù)列共2021項(xiàng),求它的奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比2.一個(gè)等差數(shù)列前20項(xiàng)和為75,其中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比1:2,求公差3.一個(gè)等差數(shù)列共有10項(xiàng),其偶數(shù)項(xiàng)之和是15,奇數(shù)項(xiàng)之和是25,那么它的首項(xiàng)與公差分別是2（七）.對(duì)與一個(gè)等差數(shù)列,Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等差數(shù)列.例：1.等差數(shù)列a an的前 m m 項(xiàng)和為30,前2m m 項(xiàng)和為100,那么它的前3m m 項(xiàng)和為2.一個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為48,前2n項(xiàng)的和為60,那么前3n項(xiàng)的和為3 .等差數(shù)列an的前10項(xiàng)和為100,前100項(xiàng)和為4.設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,S414,S10S730,貝US9=5 .

8、全國II設(shè)&是等差數(shù)列a an的前 n n 項(xiàng)和,假設(shè)S3S610（八）.判斷或證實(shí)一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法:定義法：an1and常數(shù)nNan是等差數(shù)列中項(xiàng)法:2an1anan2(nN)an是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法:anknbk,b為常數(shù)an是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式法：SnAn2BnA,B為常數(shù)an是等差數(shù)列例：1.數(shù)歹Uan滿足anan12,那么數(shù)列an為A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列A.130B.170C.210D.260anan1SS5一,一一n984.數(shù)列an的通項(xiàng)398(nn%991 .數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21.1試寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；2數(shù)列an是等差數(shù)

9、列嗎？3你能寫出數(shù)列an的通項(xiàng)公式嗎？2.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為9=2；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；3 .安徽文設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2,那么a8的值為(A)15(B)16(C)49(D)641一4、北?卷)數(shù)列a an的刖 n n 項(xiàng)和為 S Sn,且 a a1=1,an1-S-Sn,n n=1,2,3,求 a a2,a a3,a a4的值及數(shù)列a an3的通項(xiàng)公式.三、等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)起.,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù).,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示q0,即：an1-anqq0一、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式遞推關(guān)

10、系：an1anq通項(xiàng)公式：ana1qn1推廣：anamqnm1.在等比數(shù)列an中,a14,q2,那么an2.在等比數(shù)列an中,a712,q3/2,那么a19.3 .07重慶文在等比數(shù)列a an中,a a2=8,a a1=64,=64,那么公比0為A2B3C4D84.在等比數(shù)列an中,a22,a554,那么a8=5 .在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中,首項(xiàng)a13,前三項(xiàng)和為21,那么a3a4a5A33B72C84D189二、等比中項(xiàng)：假設(shè)三個(gè)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,那么稱b為a與c的等比中項(xiàng),且為b右注：b2ac是成等比數(shù)列的必要而不充分條件.例：1.2J3和2J3的等比中項(xiàng)為(A)1(B)1(C

11、)1(D)22. 重慶卷文an是公差不為0的等差數(shù)列,a12且a1,a3,a6成等比數(shù)列,那么an的前n項(xiàng)和Sn=An27n44B.5n3C.2n3n24D.三 、 等比數(shù)列的根本性質(zhì),1.(1)假設(shè)mpq,那么amanapaq(其中m,n,p,q(2)2ananmanm(n(3)an為等比數(shù)列,那么下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列例:an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列an是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列1.在等比數(shù)列2an中,a1和a10是萬程2x5x10的兩個(gè)根,那么a4a7(A)2(C)1(D)22.在等比數(shù)列an,a15,a9a10100,那么a18=3.等比數(shù)列an的各項(xiàng)為正數(shù),且a5a6a4a718

12、,貝Ilog3a1log3a2Llog3a10.2+log354.廣東卷 等比數(shù)列an滿足an0,n1,2,La5a2n502n2(n3),那么當(dāng)n1時(shí),log2alog2a3Llog2a2n四 、Sn例:A.n(2n1)等比數(shù)列的前na1a(1qn)1qB.(n1)2C.D.(n1)2n項(xiàng)和,(q1)a1anq1q(q1)1.等比數(shù)歹Uan的首相a12.北京卷設(shè)fn2245,27公比2102,23n那么其前n項(xiàng)和SnA.|(8n1)2n1B.y(81)10(nN),那么f(n)等于()2n32n4-(81)D.-(81)3.全國文,21設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,假設(shè)$+&=2$,

13、求數(shù)列的公比q；五.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)S93.數(shù)列an是等比數(shù)列,且Sm10,S2m30,六、等比數(shù)列的判定法1定義法：an-1q常數(shù)an為等比數(shù)列；an22中項(xiàng)法：an1anan2an0an為等比數(shù)列；3通項(xiàng)公式法：ankqnk,q為常數(shù)an為等比數(shù)列；4前n項(xiàng)和法：Snk1qnk,q為常數(shù)an為等比數(shù)列.Snkkqnk,q為常數(shù)an為等比數(shù)列.例：1.數(shù)列an的通項(xiàng)為an2n,那么數(shù)列an為A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷22.數(shù)歹Uan滿足an1anan2an0,那么數(shù)列an為A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3

14、 .一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn22n1,那么數(shù)列an為A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷四、求數(shù)列通項(xiàng)公式方法（1）.公式法定義法根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)例：1等差數(shù)列an滿足：a37,a5a726,求an；22.等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且2a13a21,a39a2a6,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式23 .數(shù)列an滿足a12,a24且an2anan1nN,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；4 .數(shù)列an滿足a12,且%15n1205nnN,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;假設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,Sk,S2kSk,S3kS2k成等也數(shù)列.例：1.遼寧卷設(shè)等比

15、數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,假設(shè)S3=3,那么S6A.2B.C.D.32.一個(gè)等比數(shù)列前A.83B.n項(xiàng)的和為48,前2n項(xiàng)的和為60,108C.75D.63那么前3n項(xiàng)的和為S6那么S3m15 .數(shù)列數(shù)列an滿足a-,an4an11(n1).那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式二2(2)累加法1、累加法適用于：anianf(n)n兩邊分別相乘得,aa1f(k)ak1a2ai假設(shè)anianf(n)(n2),那么f(1)f(2)Lan1anf(n)n兩邊分別相加得an1af(n)k11例：1.數(shù)列an滿足a-,21an1an2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.4n12.數(shù)列an滿足an1an2n1,a11,求數(shù)列an的通

16、項(xiàng)公式.3.數(shù)列an滿足an1an23n1,a13,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(3)累乘法適用于：an1f(n)an假設(shè)包f(n),那么a2f(1),a3ana1a2f(2),LL4anf(n)例：1.數(shù)列an滿足an12(n1)5nan,a13,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2.數(shù)列an滿足a1nn1an,求an.3.a13,an13n1-an3n2(n1),求an.(4)待定系數(shù)法適用于an1qanf(n)例：1.數(shù)列an中,a11,an2an11(n2),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2.(重慶,文,14)在數(shù)列an中,假設(shè)a11,an12an3(n1),那么該數(shù)列的通項(xiàng)an3.數(shù)列an滿足a11,an12

17、an1(n*、N).求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(5)遞推公式中既有SnS,n1分析：把關(guān)系通過an轉(zhuǎn)化為數(shù)列an或Sn的遞推關(guān)系,然后采用相應(yīng)的方法求解.SnSn1,n2n11.(北東卷)數(shù)列a an的刖 n n 項(xiàng)和為 S,S,且 a a1=1,an1Sn n=1,2,3,求 a a2,a a3,a a4的值及數(shù)列3a an的通項(xiàng)公式.2.(山東卷)數(shù)列an的首項(xiàng)a15,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn1Snn5(nN),證實(shí)數(shù)列an1是等比數(shù)列.(6)取倒數(shù)法.一,那么S5等于(1)2.數(shù)列4.數(shù)列,設(shè)Tnnn!(n1)!n(nn1)n!(n1)!數(shù)列an是等差數(shù)列,數(shù)列的前n項(xiàng)和anan1例：1.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn1n(nA.1130an的通項(xiàng)公式為ann(n1)n項(xiàng)的和;an的通項(xiàng)公式為anaa3a2a4anan2五、數(shù)列求和1.直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和.n(aian)n(n1)SnnaidSn2 2例：1.求和Sn12x3x2Lnxn12.求和：Sn2.錯(cuò)位相減法求和：如:an等差,bn等