函數(shù)觀點下的數(shù)列問題

1、函數(shù)觀點下的數(shù)列問題德化第一中學徐建新一.教學目標：1 .進一步理解數(shù)列的概念，尤其是數(shù)列是特殊的函數(shù)；2 .進一步掌握數(shù)列的通項公式和前n項和公式；3 .會用函數(shù)觀點解決某些數(shù)列問題.2 .教學重點：用函數(shù)的觀點解決數(shù)列問題.3 .教學難點：數(shù)列是特殊的函數(shù)，理解二者的聯(lián)系與區(qū)別.4 .教學課型：高三復習課.5 .教學方法：問題驅動，自主建構.6 .教學手段：多媒體.7 .授課時間：2014年11月.8 .教學過程（一）回顧概念，構建體系1 .數(shù)列的概念：按照一定順序排列的一列數(shù).2 .數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：數(shù)列與函數(shù)是特殊與一般的關系：數(shù)列是定義在正整數(shù)集或具有限子集上的函數(shù)數(shù)列的圖象是

2、一系列離散的點，這些點在對應的函數(shù)圖象上.3.完成表格，體會聯(lián)系與區(qū)別.數(shù)列an與Sn對應函數(shù)圖象等差數(shù)列ansn等差數(shù)列ansn4.思想方法：函數(shù)思想：在解決數(shù)列問題時，充分運用函數(shù)的有關知識，以函數(shù)的概念、圖象、性質為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列之間的橋梁，揭示它們之間的內在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列問題.數(shù)形結合思想：函數(shù)圖象是函數(shù)性質(單調性、對稱性、周期性、最值等)的直觀體現(xiàn)，以函數(shù)圖象為工具，直觀簡化數(shù)列問題.(二)研究典例，提煉方法問題一：已知數(shù)列an的通項公式，an=3n2-28n+1,nwN*,求an的最小值.分析：an=3n2-28n+1的對稱軸n=,故25為最小值.3變式：已知數(shù)列

3、an的通項公式ann % 91n ；91nw N ,則數(shù)列an的取大項和取小項分別是分析：烝二心軟口+二絲，當ncV9i時，是遞減數(shù)列且不1;當口病時,n-,91n-,91是遞減數(shù)列且an1,所以最大項是熊,最小項是a9.問題二：已知數(shù)列QJ的通項公式an=2n2-5九n+4,n=N,都有an書an,則實數(shù)九的取值范圍是.分析一：“對nwN*,都有an4Aan是一'個包成乂問題.an1-an=2(n1)2-5(n1)4-(2n2-5n4)*=4n+2-5>0對n=N恒成立.4n+9.*.即九型二對nWN包成立.5p4n266又之一，所以入一.555一3»一，-*.一一.

4、分析二：對nWN,都有an+an是一個遞增數(shù)列問題,二次函數(shù)的單調性關鍵在于對稱軸，要注意條件nWN遞增數(shù)列與對應的函數(shù)在1,收)否等價呢?注意連續(xù)變量與離散變量的關系,問題三：已知等差數(shù)列£an的前n項和為sn,若(a2-1)3+2014(a2-1)=1,(a2013-1)3+2014-1)=7,給出兩個命題：S2014=2014,a2013：a2下列判斷正確的是()A.都假B.真假C.假真D.都真分析：設f(x)=x3+2014x,貝Uf(x)為奇函數(shù)，f'(x)=3x2+20140,f(x)單調遞增.由f(a21)=f(1a2013)=1得a21=1-a2013，:a2

5、+a20132,故真s2014a1 a20142014 =2014由f(a21)=1=1>f(a20131)得a2-1-a2013-1,a2-a2013,故真問題四：等差數(shù)列小和等比數(shù)列bJ首項均為1,且公差不等于1,公比q0,q=1,則集合(n,an)|an=bn)一定含有元素分析：公差、公比都是不確定量，所以其圖象不能確定，但是,%=1+(n1)d圖像在過定點(1,1)的一條直線上,bn=qn的圖象在過定點(1,1)的指數(shù)型函數(shù)圖象上(三)自主練習，體驗成功131 .已知數(shù)列an的通項公式an=n+,n=N,則數(shù)列an的取小項是.分析：烝=n+13之2折，當且僅當n=J13時取等號，

6、先減后增，3<J13<4n131131_a3=3-丫=？自=413=7所以最小項是%.33442 .已知等差數(shù)列an的前n項和為sn,公差d#0,m,nN*.若sn=sm#0,(m#n),則smn-.分析：根據(jù)已知條件可以用基本量法求解，嘗試用函數(shù)思想解決思路一：因為sn=na1+1n(n-1)d=dn2+(a1-d)n,d#0,sn是n的二次函數(shù),222因為生=sm#0,(m*n),根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性，其對稱軸是所以smn=0.思路二：因為sn=na1+-n(n-1)d=n2+(a1-d-)n,d00,sn是n的二次函數(shù),222nsn=dn+(a1-d)d#0sn是n的一次

7、函數(shù)，n22n所以(n,當,(m,當,(m+n,員工)三點共線，且斜率不為0.nmmn設&=Sm=A,則皿上j+nn,即A=&.A,故Sm*=0.m-n(mn)nmn3 .已知等差數(shù)列an的前n項和為sn,若s29=s4000,O為坐標原點，點P(1,an)，點uuuuuuQ(2015,a2oi5)，則OPOQ=()A.2015B.-2015C.0D.1分析：由S29=S4000得sn關于n=294000=2014.5對稱，故sn的最大(或最小)2uuruuu值為s2014Ms2015,故a2015=0,OPQQ=1M2015+ana2015=2015+anx0=2015,故選

8、A.4 .設函數(shù)f定義如下表，數(shù)列an滿足a。=5,且對任意自然數(shù)均有an書=f(an),則a2015的值為()x12345f(x)41352(A)1(B)2(C)4(D)5分析：Q=f(a0)=f(5)=2,a2=1,a3=4,a4=5,a5=2,周期為4的數(shù)列，a2015=a45033=a3=4.(四)課堂小結，結點入網(wǎng)1用函數(shù)觀點解決數(shù)列問題，首先要研究其對應的函數(shù)問題，其二要注息nWN,體會離散變量與連續(xù)變量的區(qū)別.2 .運用函數(shù)知識、思想、方法去研究某些數(shù)列問題，能使數(shù)列問題的解決更有新意和綜合性.在解決數(shù)列問題的同時，再次復習和鞏固函數(shù)的圖象與性質.3 .高三復習課與基礎年級新授課的