近世代數4—6結合律、交換律及分配律

1、第2 講一、算律§4 6 結合律、交換律及分配律( 2 課時)(Associative Law Commutative Law and distributive law )定義任一個A B到D的映射都叫做A B到D的一個代數運算。定義 若 是A A到A的代數運算，則可稱 是A的代數運算或稱二元運 算。§4、結合律：?代數運算就是二元運算，當元素個數2時，譬如ai,a2,a3,a4同時 進行運算： a1 a2 a3 a4 ，這已經超出了我們定義的范圍，這個符號 至少現在是沒有意義的。? 對四個元素我們可以進行兩兩運算，進行了三次后就能算出結果。 兩兩運算的過程叫做加括號。加括

2、號的方法顯然不止一種：(a1 a2) a3 a4；a1 (a2 a3) a4；(a1a2 ) (a3 a4)加括號的方法不一樣，其運算的結果是否一樣？例 1：設 A Z, “”是整數中的減法：則特取 2,5,3 Z ，(2 5) 36 ，而 2 (5 3) 0(2 5) 3 2 (5 3)其運算的結果不一樣。例 2：設 A Z,“ ”是整數中的加法：則r,s,t Z,(r s) t r (s t)定義1:設 是集合A的一個代數運算，如果 a,b,c A都有(a b) c a (b c) ，則稱 滿足結合律。例2、“ + ”在Z中適合結合律。例1、“-”在Z中不滿足結合律。思考題: 就結合律成立

3、與交換律不成立分別各舉一例。上述實例告誡我們，并不是每一個代數運算都能滿足結合律的。、/ I '。宀注意: 定義2 :設A中的代數運算為，任取n(n 2)個元素 ai,a2, ,an，如果所有加括號的方法最后算出的結果是一樣的，那么這個結果就用ai a2an來表示。注意： 從定義 2 可知，“ a1 a2an” (n 2) 也可能是有意義的。定理1( p11.定理)：如果A的代數運算 滿足結合律，那么 對于A的任意n(n 2)個元素ai,a2, ,an來說，所有加括號的方法運算的結果總是唯一的，因此，這一唯一的結果就可用a1 a2an 來表示。證明：因n是有限數，所以加括號的方法必是有

4、限的。?任取一種加括號的方法(ai a2a.)，往證:(a1 a2an) a1 (a2an)對n用數學歸納法。當n=2時，結論成立。假設對n，結論成立,bi和b2分別是i和ni 個元素經加括號而運算的結果 .i n i,n in i ，由歸納假設，(ai a2an ) bib2 ai (a2ai) ai iai 2an ai( a2ai) ai i ai 2anaia2aiai iai 2an 。§5、交換律即所有加括號的方法運算的結果是唯一的。設 (a1 a2an) b1 b2 ，定義3 :設 是集合A的一個代數運算，如果 a,b A都有a b b a ，則稱 滿足交換律。定理2

5、:設A的代數運算同時滿足結合律和交換律，那么ai a2an中的元的次序可以任意掉換。證明: 用數學歸納法。當 n=2 時定理成立，假設當元素的個數為 n 1時，定理成立，元素的個數為 n 時，設ai1oai2 oL oain是ai,a2,L ,an的按任意一個次序相乘的結果。這里的兒是1， 2， Ln的一個排列，而a, ai2, L赳是ai, L ©的一個排列。因此，有aik an 。所以，ai oai oL oai (ai oai oL oai )oan o(ai oL oai )i1 i2i ni1 i2ik 1n ik 1in(ai1oai2oL oaik1)o(aik1 oL

6、 oain)oan(ai1oai2 oL oaik1)o(aik1 oL oain)oan (ai1oai2oL oaik1oaik1 oL oain)oan a1 oa2 oL oan滿足交換律的運算一般用“ + ”表示。§6、分配律定義4 :設代B都是集合，而e是B A A的代數運算，而是A的代數運算，如果 b B, ai,a2 A，都有be (a1 a2) (be a1) (be a2)那么稱 e, 滿足左分配律 。定理3 :設代B和e,如上，如果 滿足結合律，且e,滿足左分配 律，那么 b B, a1,a2, ,an A， 都有be (a1 a2 L an) (be a1)

7、(be a2) L (be an)論證思路? 采用數學歸納法，歸納假設 n 1時命題成立。定義5 :設代B和e,同上，若b B, ai,a2 A，若有(a1 a2)e b (a1 e b) (a2 e b) ，那么稱 e , 滿足右分配律定理4 :設代B和e,同上，若 適合結合律，而e ,適合右分配律。那么b B, ai,a2,L ,a“ A,都有(ai L a“)ebe b) L (an e b)。注意:定義 4 與定義 5，、定理 3 與定理 4 是對稱的兩對概念，所以 定理 4 的證明可依據定理 3 的思路解之。作業(yè): P12 ， P16 。映射，同態(tài)及同構§7、1、一一映射（

8、雙射。Bijection ）在高等代數中，已對各類映射作了系列性的介紹，這里只簡要的 復習。定義1、設 是集合A到A的映射，且 既是單的又是滿的，則稱 是 一個一一映射（雙射）。定理1：設 是A到A的一個雙射，那么由可誘導出（可確定出）A到A的一個雙射1 （通常稱1是 的逆映射）結論：設:A A是映射，那么：（1） 是雙射可唯一的確定一個逆映射1：A A，使得：?11A，11a ；? 也是1的逆映射，且（1） 1；（2）是雙射 A與A同時是有限集或同時是無限集。2、 變換（transformation） 定義2 :設:A A是映射，那么稱為A的變換。當 是雙射（單射，滿射）時，也稱為一一變換（

9、單射變換,滿射變換）例 2P19§、同態(tài)（Homomorphism ）比較代數系統(tǒng)的一種方法定義3:設集合代a都各有代數運算r (稱A,及A：為代數系統(tǒng))而:A A是映射，且滿足下面等式：a,b A, (a b)(a)(b)(習慣上稱 可保持運算)那么稱是A到A的同態(tài)映射。例3、設:Z A 1, 1，其中Z, 中的代數運算 就是Z中的加法，而A/中的代數運算為數中的乘法?，F設(n)1, n乙那么(2)1,1,而(2 3)(2 3)(5)1,(2)(3)( 1)_( 1)( 1) ( 1) 111,即(2 3)_ (3)不是同態(tài)映射。例4、設Z, 與A/同例3，今設:ZA為(n) 1,

10、 n Z，那么m, n Z, (m n) 1, (m) (n)1 11(m n) (m) (n),即 是Z到A的同態(tài)映射如果同態(tài)映射 是單射(滿射)，那么自然稱 是同態(tài)單射(同態(tài)滿射)，而在近世代數中，同態(tài)滿射是尤其重要的。定義4 :若 是A, 到A/的同態(tài)滿射，那么習慣上稱A與N同態(tài)，并記為AA ；習慣上稱A是A的同態(tài)象.定理1.如果 是A, 到A；的同態(tài)滿射，那么(1 )若 滿足結合律也適合結合律；(2)若 滿足交換律也適合交換律.證明：(1)任取a,b,c代因 是滿射 a,b,c代使(a) a, (b) b，又因為A中的滿足結合律a (b c) (a b) c(a (b c)(af(bc

11、)(af(b) (c)a(bC)(a b) c)(abf(c) (af(b)f (c)麗乙所以 a (b c) (a b) c同理可以證明(2)定理2、設A, , 和A,都是代數系統(tǒng)，而映射:A A關于，以及，都是同態(tài)滿射，那么：(1) 若，滿足左分配律廠也適合左分配律；(2) 若，滿足右分配律廠也適合右分配律。證明：(1) a,b,c 代因 是滿射 a,b,c A,使(a) a, (b) b, (c) c.又因為是關于，及，的同態(tài)映射廠(b_J廠(2廠(c) a (b c)(a b) (a c)(a b) (a c)心廠(b) (a)_ (c)(Jb)_(丁c)即 a (b c) (a b)

12、 (a c).同理可證明(2)。思考題1 :在定理1及定理2中，都要求映射 是滿射，似 乎當 是同態(tài)滿射時，才能將A中的代數性質(結合律、交 換律及分配律)“傳遞”到A中，那么：(1) 當 不是滿射時，“傳遞”還能進行嗎？(即定理1，2 成立嗎？)(2) 即使 是滿射，“傳遞”的方向能改變嗎？(即A中的性質能“傳遞”至U A中去嗎？）§9、一、同構 （isomorphism ）定義4、設 是A,到A；的同態(tài)映射，若是個雙射，那么稱 是同構映射，或稱A與A同構，記為A A。例 6、設 A Z 1,2,3, , A Z 1, 2, 3, ,而 與都是整數中通常的加法“ + ”，現作:A,

13、 代其中（n） n, n A，那么是同構映射.事實上，（1） 是單射:n, mA且 n m,(n)nm（m）是單射.(2)是滿射：t A,t A,且（t)(t) t A是滿射.(3)是同態(tài)映射n, m A, (nm)(n m)(nm) ( n) ( m)(n)(m)(n m)(n)(m)由（1），（ 2），（ 3 ）知，是同構映射，即A A 定理3、設是A, , 到a/7的同構映射，那么（1） “ ”適合結合律“”也適合結合律；（2） “ ”適合交換律“”也適合交換律；（3）“”和“+”滿足左（右）分配律和“一”滿足左（右）分配律。注意：由上述表明，同構的兩個代數體系由運算所帶來的規(guī)律性是相

14、同的，因此，同構的兩個代數體系盡管可能有這樣或那樣的差別，但 從近世代數的宗旨來看，我們自然認為：它們的差別是表面上的，次 要的，而它們的共同點一一運算所體現的規(guī)律性則是本質的，主要的。于是，我們需要闡明近世代數的觀點是：凡同構的代數體系都認為是 （代數）相同的。在上述的觀點下，一個代數體系經同構映射而保持不變的性質叫 做它的代數性質。于是，由代數運算所表述的任意一個性質都是代數 性質。我們將代數體系的代數性質的總合統(tǒng)稱為它的代數結構。因此,同構的代數體系由于完全相同的代數結構。 研究代數體系的首要目的 就是確定所有互不同構的代數體系以及它們的代數結構。而為了確定一個代數體系的代數結構，只須讓它與一個代數結構已經清楚的代數 體系同構則可。思考題 1 ：設 N 0,1,2,3, , N 1,2,3, ，試證：N , 與N, 不可能同構.思考題2 :試證：（1）Z, 與乙不同構.（2） Q, 與Q ,不同構（其中Q為非零有理數集）.（3）設F為數域，A （矽耳心包怡 F F4x1 x2Axi F M2(F)X3 X4試證：A, 與A是同構的。(其中“ + ”為數組間的加法，“一”為 矩陣的加法)思路：(1 )(反證法)若N N，且是N到N的同構映射。貝卩(1)1,令(0) a( a 1), a (0)(0 0)(0) (0) a a 1,(2)(反