第一類Meixner多項(xiàng)式

1、第一類Meixner多項(xiàng)式多項(xiàng)式這形成了Sheffer序列為(1)(2)并有生成函數(shù)(3)給出的超幾何級(jí)數(shù)通過(guò)(4)在哪里是Pochhammer象征(Koepf 1998,p . 1998)。前幾個(gè)是(5)(6)(7)Koekoek和Swarttouw Meixner多項(xiàng)式?jīng)]有定義(1998)Pochhammer象征作為(8)的Krawtchouk多項(xiàng)式是一個(gè)特殊情況的第一類Meixner多項(xiàng)式。參見(jiàn):Krawtchouk多項(xiàng)式讓是一個(gè)階躍函數(shù)與跳(1)在1,在那里,。然后Krawtchouk多項(xiàng)式的定義(2)(3)(4)為1。最初幾個(gè)Krawtchouk多項(xiàng)式(5)(6)(7)Koekoek

2、和Swarttouw(1998)沒(méi)有領(lǐng)先的Krawtchouk多項(xiàng)式系數(shù)定義為(8)Krawtchouk多項(xiàng)式的權(quán)重函數(shù)(9)在哪里是函數(shù),遞歸關(guān)系(10)和的平方準(zhǔn)則(11)它有限制(12)在哪里是一個(gè)埃爾米特多項(xiàng)式.Krawtchouk多項(xiàng)式的一個(gè)特例第一類Meixner多項(xiàng)式.階躍函數(shù)一個(gè)函數(shù)的實(shí)數(shù)是一個(gè)階躍函數(shù)如果可以寫成一個(gè)有限的線性組合半開(kāi)的間隔。因此,一個(gè)階躍函數(shù)可以寫成在哪里 ,如果和0,否則 , ., .第二類Meixner多項(xiàng)式的多項(xiàng)式這形成了Sheffer序列為(1)(2)哪有生成函數(shù)(3)前幾個(gè)是(4)(5)(6)參見(jiàn):米塔格-萊弗勒多項(xiàng)式

3、多項(xiàng)式形成相關(guān)的Sheffer序列為(1)和有生成函數(shù)(2)給出一個(gè)明確的公式(3)在哪里是一個(gè)下降!,可以總結(jié)在封閉的形式超幾何函數(shù),函數(shù),多函數(shù)。二項(xiàng)式身份聯(lián)系在一起Sheffer序列是(4)米塔格-萊弗勒多項(xiàng)式滿足遞推公式(5)前幾米塔格-萊弗勒多項(xiàng)式(6)(7)(8)(9)(10)米塔格-萊弗勒的多項(xiàng)式有關(guān)Pidduck多項(xiàng)式通過(guò)(11)(羅馬1984年,p . 1984)。參見(jiàn):Pidduck多項(xiàng)式多項(xiàng)式這形成了Sheffer序列為(1)(2)并有生成函數(shù)(3)前幾個(gè)是(4)(5)(6)(7)Pidduck多項(xiàng)式相關(guān)米塔格-萊弗勒多項(xiàng)式通過(guò)(8)(羅馬1984年,p . 1984)。

4、參見(jiàn):Morgan-Voyce多項(xiàng)式Morgan-Voyce多項(xiàng)式多項(xiàng)式相關(guān)Brahmagupta和斐波那契多項(xiàng)式。他們定義的遞歸關(guān)系(1)(2)為,(3)替代復(fù)發(fā)(4)(5)與和,(6)(7)多項(xiàng)式可以給出明確的總結(jié)(8)(9)定義矩陣(10)給出了身份(11)(12)定義(13)(14)給了(15)(16)和(17)(18)Morgan-Voyce多項(xiàng)式相關(guān)斐波那契多項(xiàng)式通過(guò)(19)(20)(偶像1968 ab)。滿足常微分方程(21)和這個(gè)方程(22)這些和其他幾個(gè)身份涉及衍生品和多項(xiàng)式的積分是由專家(1968)。Brahmagupta多項(xiàng)式其中的一個(gè)多項(xiàng)式獲得通過(guò)權(quán)力的Brahmagu

5、pta矩陣。他們滿足遞歸關(guān)系(1)(2)許多其他的列表是由Suryanarayan(1996)。明確地,(3)(4)的Brahmagupta多項(xiàng)式滿足(5)(6)最初的幾多項(xiàng)式是(7)(8)(9)(10)(11)和(12)(13)(14)(15)(16)采取和給了等于佩爾多和等于Pell-Lucas數(shù)字的一半。Brahmagupta多項(xiàng)式相關(guān)Morgan-Voyce多項(xiàng)式的關(guān)系,但由Suryanarayan(1996)是不正確的。參莫特多項(xiàng)式多項(xiàng)式這形成了Sheffer序列為(1)并有指數(shù)生成函數(shù)(2)前幾個(gè)是(3)(4)(5)(6)(7)(8)斯瓦米數(shù)量Narayan數(shù)量為,2,和 

6、;, .,解決了許多在組合計(jì)數(shù)問(wèn)題。例如,給出了的表情對(duì)正確的括號(hào)匹配和控制不同的等嵌套。它也給數(shù)量戴克路徑的長(zhǎng)度與完全峰值。一個(gè)封閉的表達(dá)是由在哪里是一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù).總結(jié)了給出了加泰羅尼亞的數(shù)量列舉作為一個(gè)三角形數(shù)被稱為斯瓦米三角形.參見(jiàn):加泰羅尼亞的數(shù)量加泰羅尼亞數(shù)字非負(fù)整數(shù)是一組數(shù)字中出現(xiàn)樹(shù)枚舉類型的問(wèn)題,”有多少種方法可以有規(guī)律的百分度分為三角形如果不同方向分別計(jì)算?”(歐拉多邊形劃分問(wèn)題)。解決方案是加泰羅尼亞的數(shù)字(聚(1956;Dorrie Honsberger 1956;1973;Borwein貝利,2003年,頁(yè)21 - 22),如上圖形插圖(Dickau)。加泰羅尼亞數(shù)字通

7、常表示(Graham et al . 1994;斯坦利1999 b、p。219;Pemmaraju Skiena 2003 p。169;這項(xiàng)工作)(留有和杰克遜1983,p . 111),和一般少(van線頭和威爾遜1992,p . 136)。加泰羅尼亞的數(shù)字實(shí)現(xiàn)Wolfram語(yǔ)言作為CatalanNumbern。最初幾個(gè)加泰羅尼亞數(shù)字,2,是1、2、5、14,42歲,132年,429年,1430年,4862年,16796年(OEISA000108).顯式公式包括(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)在哪里是一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù),是一個(gè)的階乘,是一個(gè)雙!,是函數(shù),是一個(gè)超幾何函數(shù).加泰羅尼亞數(shù)字

8、可能推廣到復(fù)平面,正如上文所述。金額給包括(8)(9)(10)(11)(12)在哪里是層功能和一個(gè)產(chǎn)品是由(13)金額包括包括生成函數(shù)(14)(15)(OEISA000108),指數(shù)生成函數(shù)(16)(17)(OEISA144186和A144187),是一個(gè)修改后的第一類貝塞爾函數(shù),以及(18)(19)加泰羅尼亞的漸近狀態(tài)數(shù)量(20)(瓦迪1991年,格雷厄姆et al . 1994年)。小數(shù)位數(shù)的數(shù)字為,1,是1、5、57、598、6015,60199,602051,6020590,(OEISA114466)。數(shù)字收斂到數(shù)字的十進(jìn)制的擴(kuò)張(OEISA114493).一個(gè)遞歸關(guān)系為是獲得(21)

9、所以(22)Segner的遞推公式在1758年由Segner,給出了解決方案歐拉多邊形劃分問(wèn)題(23)與,上面的遞歸關(guān)系給出了加泰羅尼亞的數(shù)量 .從加泰羅尼亞數(shù)的定義,所有的主要因子小于。另一方面,為。因此,是最大的加泰羅尼亞'在做什么和唯一的加泰羅尼亞質(zhì)數(shù)。(當(dāng)然,比這更能說(shuō)的分解 .)唯一的奇怪的加泰羅尼亞的數(shù)字是的形式。最初幾個(gè)因此1,429,9694845,14544636039226909,(OEISA038003).奇怪的加泰羅尼亞的數(shù)字結(jié)束在5,除非以5擴(kuò)張只使用數(shù)字0,1,2,所以這是極其罕見(jiàn)的長(zhǎng)序列的隨機(jī)以5位數(shù)只包含0、1和2。事實(shí)上,最后一位奇

10、怪的加泰羅尼亞的數(shù)字是1,5、9、5、9、5、9、7、5、5、5、5、5、(OEISA0943895),所以是最后一位至少除了1,3,5,7,8。加泰羅尼亞的數(shù)字出現(xiàn)在許多其他相關(guān)類型的問(wèn)題。加泰羅尼亞的數(shù)量也給的數(shù)量二進(jìn)制托架的字母(加泰羅尼亞語(yǔ)的問(wèn)題),解決方案投票的問(wèn)題三價(jià)的數(shù)量平面種植樹(shù)木(Dickau;如上圖),可能在一個(gè)國(guó)家的數(shù)量- - - - - -flexagon,不同的對(duì)角線可能的數(shù)量弗里茲模式與行,的數(shù)量戴克路徑與中風(fēng),形成的多種方式倍指數(shù),建立平面二叉樹(shù)的數(shù)量?jī)?nèi)部節(jié)點(diǎn),根面灌木圖像的邊緣的擴(kuò)展二叉樹(shù)與內(nèi)部節(jié)點(diǎn),山可以用的數(shù)量的一擊,下行程,不相交握手可能跨之間的圓桌對(duì)人(

11、康威和蓋1996)!加泰羅尼亞的泛化數(shù)據(jù)被定義為(24)(25)為彼得森(Klarner 1970,希爾頓和1970)。通常的加泰羅尼亞數(shù)字是一個(gè)特殊的例子 .提供的數(shù)量必要樹(shù)與源節(jié)點(diǎn),關(guān)聯(lián)的方法一個(gè)給定的應(yīng)用必要操作符,把一個(gè)凸的方法多邊形成不相交的與nonintersecting -gons多邊形對(duì)角線和的數(shù)量p-good路徑從(0,)(希爾頓和他1991)。獲得進(jìn)一步概括如下。讓是一個(gè)整數(shù),讓與,。然后定義,讓的數(shù)量是p-good路徑(1,)(希爾頓和他1991)。公式包括廣義約拿的公式(26)顯式公式(27)一個(gè)遞歸關(guān)系是由(28)在哪里 , ,(希爾頓和

12、他1991)。參Narumi多項(xiàng)式多項(xiàng)式這形成了Sheffer序列為(1)(2)哪有生成函數(shù)(3)前幾個(gè)是(4)(5)(6)諾伊曼多項(xiàng)式多項(xiàng)式可以定義的總和(1)為,在那里是層功能。他們遵守遞歸關(guān)系(2)為。他們有積分表示(3)和母函數(shù)(4)(Gradshteyn和Ryzhik 2000,p . 990),和遵守諾伊曼微分方程.最初幾個(gè)諾伊曼多項(xiàng)式給出(5)(6)(7)(8)(9)(OEISA057869).參見(jiàn):諾伊曼微分方程的二階常微分方程滿意的諾伊曼多項(xiàng)式 .參見(jiàn):Nørlund多項(xiàng)式Nørlund多項(xiàng)式(注意拼寫Norlund也出現(xiàn)在各種出版物)是一個(gè)由C

13、arlitz名字(1960)和Adelberg多項(xiàng)式(1997)。這些都是在實(shí)現(xiàn)Wolfram語(yǔ)言作為NorlundBn,通過(guò)定義指數(shù)生成函數(shù)(1)(Carlitz 1960)。金額包括是由(2)(3)(1960年Carlitz,古爾德1960)。Nørlund多項(xiàng)式斯特林相關(guān)數(shù)據(jù)(4)和(5)(Carlitz 1960)。Nørlund多項(xiàng)式是一個(gè)特例(6)函數(shù)的有時(shí)被稱為廣義伯努利多項(xiàng)式,在現(xiàn)Wolfram語(yǔ)言作為NorlundB(n z。這些多項(xiàng)式的定義指數(shù)生成函數(shù)(7)的值小正整數(shù)和是由(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)的多項(xiàng)式有導(dǎo)

14、數(shù)(17)和麥克勞林級(jí)數(shù)(18)在哪里多項(xiàng)式的 .Pell-Lucas多項(xiàng)式Pell-Lucas多項(xiàng)式的是多項(xiàng)式生成的盧卡斯多項(xiàng)式序列使用發(fā)電機(jī) ,。前幾個(gè)是(1)(2)(3)(4)(5)他們是相關(guān)的佩爾多項(xiàng)式通過(guò)(6)參見(jiàn):彼得斯多項(xiàng)式多項(xiàng)式這是一個(gè)泛化的嗎布爾多項(xiàng)式,形成了Sheffer序列為(1)(2)并有生成函數(shù)(3)前幾個(gè)是(4)(5)和(6)參見(jiàn):Pidduck多項(xiàng)式多項(xiàng)式這形成了Sheffer序列為(1)(2)并有生成函數(shù)(3)前幾個(gè)是(4)(5)(6)(7)Pidduck多項(xiàng)式相關(guān)米塔格-萊弗勒多項(xiàng)式通過(guò)(8)(羅馬1984年,p . 1984)。參見(jiàn):Po

15、isson-Charlier多項(xiàng)式Poisson-Charlier多項(xiàng)式的形成一個(gè)Sheffer序列與(1)(2)給生成函數(shù)(3)Sheffer身份是(4)在哪里是一個(gè)下降!(羅馬1984年,p . 1984)。多項(xiàng)式滿足遞歸關(guān)系(5)這些多項(xiàng)式分布在哪里是一個(gè)階躍函數(shù)與跳(6)在,1,為。他們給出的公式(7)(8)(9)(10)(11)在哪里是一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù),是一個(gè)下降!,是一個(gè)有關(guān)拉蓋爾多項(xiàng)式,是一個(gè)斯特靈第一種的數(shù)量,(12)(13)歸一化,這樣(14)在哪里是函數(shù).最初幾個(gè)多項(xiàng)式(15)(16)(17)(18)參見(jiàn):拉卡多項(xiàng)式超幾何類正交多項(xiàng)式的定義(1)為1,在那里是一個(gè)廣義超幾何函數(shù),(2)下列之一(3)與一個(gè)非負(fù)整數(shù).Schlafli多項(xiàng)式一個(gè)多項(xiàng)式的諾伊曼多項(xiàng)式通過(guò)參見(jiàn):諾伊曼多項(xiàng)式多項(xiàng)式可以定義的總和(1)為,在那里是層功能。他們遵守遞歸關(guān)系(2)為。他們有積分表示(3)和母函數(shù)(4)(Gradshteyn和Ryzhik 2000,p . 990),和遵守諾伊曼微分方程.最初幾個(gè)諾伊曼多項(xiàng)式給出(5)(6)(7)(8)(9)(OEISA057869).參諾伊曼微分