第一類Meixner多項式

1、第一類Meixner多項式多項式這形成了Sheffer序列為(1)(2)并有生成函數(shù)(3)給出的超幾何級數(shù)通過(4)在哪里是Pochhammer象征(Koepf 1998,p . 1998)。前幾個是(5)(6)(7)Koekoek和Swarttouw Meixner多項式?jīng)]有定義(1998)Pochhammer象征作為(8)的Krawtchouk多項式是一個特殊情況的第一類Meixner多項式。參見:Krawtchouk多項式讓是一個階躍函數(shù)與跳(1)在1,在那里,。然后Krawtchouk多項式的定義(2)(3)(4)為1。最初幾個Krawtchouk多項式(5)(6)(7)Koekoek

2、和Swarttouw(1998)沒有領(lǐng)先的Krawtchouk多項式系數(shù)定義為(8)Krawtchouk多項式的權(quán)重函數(shù)(9)在哪里是函數(shù),遞歸關(guān)系(10)和的平方準則(11)它有限制(12)在哪里是一個埃爾米特多項式.Krawtchouk多項式的一個特例第一類Meixner多項式.階躍函數(shù)一個函數(shù)的實數(shù)是一個階躍函數(shù)如果可以寫成一個有限的線性組合半開的間隔。因此,一個階躍函數(shù)可以寫成在哪里 ,如果和0,否則 , ., .第二類Meixner多項式的多項式這形成了Sheffer序列為(1)(2)哪有生成函數(shù)(3)前幾個是(4)(5)(6)參見:米塔格-萊弗勒多項式

3、多項式形成相關(guān)的Sheffer序列為(1)和有生成函數(shù)(2)給出一個明確的公式(3)在哪里是一個下降!,可以總結(jié)在封閉的形式超幾何函數(shù),函數(shù),多函數(shù)。二項式身份聯(lián)系在一起Sheffer序列是(4)米塔格-萊弗勒多項式滿足遞推公式(5)前幾米塔格-萊弗勒多項式(6)(7)(8)(9)(10)米塔格-萊弗勒的多項式有關(guān)Pidduck多項式通過(11)(羅馬1984年,p . 1984)。參見:Pidduck多項式多項式這形成了Sheffer序列為(1)(2)并有生成函數(shù)(3)前幾個是(4)(5)(6)(7)Pidduck多項式相關(guān)米塔格-萊弗勒多項式通過(8)(羅馬1984年,p . 1984)。

4、參見:Morgan-Voyce多項式Morgan-Voyce多項式多項式相關(guān)Brahmagupta和斐波那契多項式。他們定義的遞歸關(guān)系(1)(2)為,(3)替代復(fù)發(fā)(4)(5)與和,(6)(7)多項式可以給出明確的總結(jié)(8)(9)定義矩陣(10)給出了身份(11)(12)定義(13)(14)給了(15)(16)和(17)(18)Morgan-Voyce多項式相關(guān)斐波那契多項式通過(19)(20)(偶像1968 ab)。滿足常微分方程(21)和這個方程(22)這些和其他幾個身份涉及衍生品和多項式的積分是由專家(1968)。Brahmagupta多項式其中的一個多項式獲得通過權(quán)力的Brahmagu

5、pta矩陣。他們滿足遞歸關(guān)系(1)(2)許多其他的列表是由Suryanarayan(1996)。明確地,(3)(4)的Brahmagupta多項式滿足(5)(6)最初的幾多項式是(7)(8)(9)(10)(11)和(12)(13)(14)(15)(16)采取和給了等于佩爾多和等于Pell-Lucas數(shù)字的一半。Brahmagupta多項式相關(guān)Morgan-Voyce多項式的關(guān)系,但由Suryanarayan(1996)是不正確的。參莫特多項式多項式這形成了Sheffer序列為(1)并有指數(shù)生成函數(shù)(2)前幾個是(3)(4)(5)(6)(7)(8)斯瓦米數(shù)量Narayan數(shù)量為,2,和 

6、;, .,解決了許多在組合計數(shù)問題。例如,給出了的表情對正確的括號匹配和控制不同的等嵌套。它也給數(shù)量戴克路徑的長度與完全峰值。一個封閉的表達是由在哪里是一個二項式系數(shù).總結(jié)了給出了加泰羅尼亞的數(shù)量列舉作為一個三角形數(shù)被稱為斯瓦米三角形.參見:加泰羅尼亞的數(shù)量加泰羅尼亞數(shù)字非負整數(shù)是一組數(shù)字中出現(xiàn)樹枚舉類型的問題,”有多少種方法可以有規(guī)律的百分度分為三角形如果不同方向分別計算?”(歐拉多邊形劃分問題)。解決方案是加泰羅尼亞的數(shù)字(聚(1956;Dorrie Honsberger 1956;1973;Borwein貝利,2003年,頁21 - 22),如上圖形插圖(Dickau)。加泰羅尼亞數(shù)字通

7、常表示(Graham et al . 1994;斯坦利1999 b、p。219;Pemmaraju Skiena 2003 p。169;這項工作)(留有和杰克遜1983,p . 111),和一般少(van線頭和威爾遜1992,p . 136)。加泰羅尼亞的數(shù)字實現(xiàn)Wolfram語言作為CatalanNumbern。最初幾個加泰羅尼亞數(shù)字,2,是1、2、5、14,42歲,132年,429年,1430年,4862年,16796年(OEISA000108).顯式公式包括(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)在哪里是一個二項式系數(shù),是一個的階乘,是一個雙!,是函數(shù),是一個超幾何函數(shù).加泰羅尼亞數(shù)字

8、可能推廣到復(fù)平面,正如上文所述。金額給包括(8)(9)(10)(11)(12)在哪里是層功能和一個產(chǎn)品是由(13)金額包括包括生成函數(shù)(14)(15)(OEISA000108),指數(shù)生成函數(shù)(16)(17)(OEISA144186和A144187),是一個修改后的第一類貝塞爾函數(shù),以及(18)(19)加泰羅尼亞的漸近狀態(tài)數(shù)量(20)(瓦迪1991年,格雷厄姆et al . 1994年)。小數(shù)位數(shù)的數(shù)字為,1,是1、5、57、598、6015,60199,602051,6020590,(OEISA114466)。數(shù)字收斂到數(shù)字的十進制的擴張(OEISA114493).一個遞歸關(guān)系為是獲得(21)

9、所以(22)Segner的遞推公式在1758年由Segner,給出了解決方案歐拉多邊形劃分問題(23)與,上面的遞歸關(guān)系給出了加泰羅尼亞的數(shù)量 .從加泰羅尼亞數(shù)的定義,所有的主要因子小于。另一方面,為。因此,是最大的加泰羅尼亞'在做什么和唯一的加泰羅尼亞質(zhì)數(shù)。(當然,比這更能說的分解 .)唯一的奇怪的加泰羅尼亞的數(shù)字是的形式。最初幾個因此1,429,9694845,14544636039226909,(OEISA038003).奇怪的加泰羅尼亞的數(shù)字結(jié)束在5,除非以5擴張只使用數(shù)字0,1,2,所以這是極其罕見的長序列的隨機以5位數(shù)只包含0、1和2。事實上,最后一位奇

10、怪的加泰羅尼亞的數(shù)字是1,5、9、5、9、5、9、7、5、5、5、5、5、(OEISA0943895),所以是最后一位至少除了1,3,5,7,8。加泰羅尼亞的數(shù)字出現(xiàn)在許多其他相關(guān)類型的問題。加泰羅尼亞的數(shù)量也給的數(shù)量二進制托架的字母(加泰羅尼亞語的問題),解決方案投票的問題三價的數(shù)量平面種植樹木(Dickau;如上圖),可能在一個國家的數(shù)量- - - - - -flexagon,不同的對角線可能的數(shù)量弗里茲模式與行,的數(shù)量戴克路徑與中風(fēng),形成的多種方式倍指數(shù),建立平面二叉樹的數(shù)量內(nèi)部節(jié)點,根面灌木圖像的邊緣的擴展二叉樹與內(nèi)部節(jié)點,山可以用的數(shù)量的一擊,下行程,不相交握手可能跨之間的圓桌對人(

11、康威和蓋1996)!加泰羅尼亞的泛化數(shù)據(jù)被定義為(24)(25)為彼得森(Klarner 1970,希爾頓和1970)。通常的加泰羅尼亞數(shù)字是一個特殊的例子 .提供的數(shù)量必要樹與源節(jié)點,關(guān)聯(lián)的方法一個給定的應(yīng)用必要操作符,把一個凸的方法多邊形成不相交的與nonintersecting -gons多邊形對角線和的數(shù)量p-good路徑從(0,)(希爾頓和他1991)。獲得進一步概括如下。讓是一個整數(shù),讓與,。然后定義,讓的數(shù)量是p-good路徑(1,)(希爾頓和他1991)。公式包括廣義約拿的公式(26)顯式公式(27)一個遞歸關(guān)系是由(28)在哪里 , ,(希爾頓和

12、他1991)。參Narumi多項式多項式這形成了Sheffer序列為(1)(2)哪有生成函數(shù)(3)前幾個是(4)(5)(6)諾伊曼多項式多項式可以定義的總和(1)為,在那里是層功能。他們遵守遞歸關(guān)系(2)為。他們有積分表示(3)和母函數(shù)(4)(Gradshteyn和Ryzhik 2000,p . 990),和遵守諾伊曼微分方程.最初幾個諾伊曼多項式給出(5)(6)(7)(8)(9)(OEISA057869).參見:諾伊曼微分方程的二階常微分方程滿意的諾伊曼多項式 .參見:Nørlund多項式Nørlund多項式(注意拼寫Norlund也出現(xiàn)在各種出版物)是一個由C

13、arlitz名字(1960)和Adelberg多項式(1997)。這些都是在實現(xiàn)Wolfram語言作為NorlundBn,通過定義指數(shù)生成函數(shù)(1)(Carlitz 1960)。金額包括是由(2)(3)(1960年Carlitz,古爾德1960)。Nørlund多項式斯特林相關(guān)數(shù)據(jù)(4)和(5)(Carlitz 1960)。Nørlund多項式是一個特例(6)函數(shù)的有時被稱為廣義伯努利多項式,在現(xiàn)Wolfram語言作為NorlundB(n z。這些多項式的定義指數(shù)生成函數(shù)(7)的值小正整數(shù)和是由(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)的多項式有導(dǎo)

14、數(shù)(17)和麥克勞林級數(shù)(18)在哪里多項式的 .Pell-Lucas多項式Pell-Lucas多項式的是多項式生成的盧卡斯多項式序列使用發(fā)電機 ,。前幾個是(1)(2)(3)(4)(5)他們是相關(guān)的佩爾多項式通過(6)參見:彼得斯多項式多項式這是一個泛化的嗎布爾多項式,形成了Sheffer序列為(1)(2)并有生成函數(shù)(3)前幾個是(4)(5)和(6)參見:Pidduck多項式多項式這形成了Sheffer序列為(1)(2)并有生成函數(shù)(3)前幾個是(4)(5)(6)(7)Pidduck多項式相關(guān)米塔格-萊弗勒多項式通過(8)(羅馬1984年,p . 1984)。參見:Po

15、isson-Charlier多項式Poisson-Charlier多項式的形成一個Sheffer序列與(1)(2)給生成函數(shù)(3)Sheffer身份是(4)在哪里是一個下降!(羅馬1984年,p . 1984)。多項式滿足遞歸關(guān)系(5)這些多項式分布在哪里是一個階躍函數(shù)與跳(6)在,1,為。他們給出的公式(7)(8)(9)(10)(11)在哪里是一個二項式系數(shù),是一個下降!,是一個有關(guān)拉蓋爾多項式,是一個斯特靈第一種的數(shù)量,(12)(13)歸一化,這樣(14)在哪里是函數(shù).最初幾個多項式(15)(16)(17)(18)參見:拉卡多項式超幾何類正交多項式的定義(1)為1,在那里是一個廣義超幾何函數(shù),(2)下列之一(3)與一個非負整數(shù).Schlafli多項式一個多項式的諾伊曼多項式通過參見:諾伊曼多項式多項式可以定義的總和(1)為,在那里是層功能。他們遵守遞歸關(guān)系(2)為。他們有積分表示(3)和母函數(shù)(4)(Gradshteyn和Ryzhik 2000,p . 990),和遵守諾伊曼微分方程.最初幾個諾伊曼多項式給出(5)(6)(7)(8)(9)(OEISA057869).參諾伊曼微分