證明勾股定理

1、勾股定理的證明【證法1】（課本的證明）           做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a + b，所以面積相等. 即， 整理得 . 【證法2】（鄒元治證明）以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直

2、線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90º, AEH + BEF = 90º. HEF = 180º90º= 90º. 四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 它的面積等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90º, EHA + GHD = 90º.又 GHE = 90º, DHA = 90º+ 90º= 180º. ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為a + b的正方形，它的面積等于.

3、 . .  【證法3】（趙爽證明）以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90º， EAB + HAD = 90º， ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90º. EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為ba的正方形，它的面積等于. . .【證法4】（1876年美國(guó)總統(tǒng)Garfield證明）以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩

4、個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90º, AED + BEC = 90º. DEC = 180º90º= 90º. DEC是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于.又 DAE = 90º, EBC = 90º, ADBC. ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于. . . 【證法5】（梅文鼎證明）做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b ，斜邊長(zhǎng)為c.

5、 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過(guò)C作AC的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)P. D、E、F在一條直線上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90°， BED + GEF = 90°， BEG =180º90º= 90º.又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. ABC + CBE = 90º. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90º. 即 CBD= 90º.又 BDE = 90&

6、#186;，BCP = 90º，BC = BD = a. BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.同理，HPFG是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則 , . 【證法6】（項(xiàng)明達(dá)證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b>a） ，斜邊長(zhǎng)為c. 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.過(guò)點(diǎn)Q作QPBC，交AC于點(diǎn)P. 過(guò)點(diǎn)B作BMPQ，垂足為M；再過(guò)點(diǎn)F作FNPQ，垂足為N. BCA = 90º，QPBC， MPC = 90º， BMPQ， BMP = 90º，

7、 BCPM是一個(gè)矩形，即MBC = 90º. QBM + MBA = QBA = 90º，ABC + MBA = MBC = 90º， QBM = ABC，又 BMP = 90º，BCA = 90º，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA.同理可證RtQNF RtAEF.從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明）. 【證法7】（歐幾里得證明）做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD. 過(guò)C作CLDE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L. AF = AC，AB = AD，F(xiàn)

8、AB = GAD， FAB GAD， FAB的面積等于，GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半， 矩形ADLM的面積 =.同理可證，矩形MLEB的面積 =. 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 ，即 . 【證法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在RtABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊AB的長(zhǎng)為c，過(guò)點(diǎn)C作CDAB，垂足是D. 在ADC和ACB中， ADC = ACB = 90º，CAD = BAC， ADC ACB.ADAC = AC AB，即 .同理可證，CDB ACB，從而有 . ，即 . 【證法9】（楊

9、作玫證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（b>a），斜邊長(zhǎng)為c. 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過(guò)A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R. 過(guò)B作BPAF，垂足為P. 過(guò)D作DE與CB的延長(zhǎng)線垂直，垂足為E，DE交AF于H. BAD = 90º，PAC = 90º， DAH = BAC.又 DHA = 90º，BCA = 90º，AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一個(gè)矩形，所以 RtAPB RtBC

10、A. 即PB = CA = b，AP= a，從而PH = ba. RtDGT RtBCA ,RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90º，DHF = 90º，GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90º， DGFH是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB是一個(gè)直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）.用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖），則以c為邊長(zhǎng)的正方形的面積為 = ， = . 把

11、代入，得= = . . 【證法10】（李銳證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b（b>a），斜邊的長(zhǎng)為c. 做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）. TBE = ABH = 90º， TBH = ABE.又 BTH = BEA = 90º，BT = BE = b， RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba.又 GHF + BHT = 90º，DBC + BHT = TBH + BHT = 90º， GHF = DB

12、C. DB = EBED = ba，HGF = BDC = 90º， RtHGF RtBDC. 即 .過(guò)Q作QMAG，垂足是M. 由BAQ = BEA = 90º，可知 ABE= QAM，而AB = AQ = c，所以RtABE RtQAM . 又RtHBT RtABE. 所以RtHBT RtQAM . 即 . 由RtABE RtQAM，又得QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90º，BAE + CAR = 90º，AQM = BAE， FQM = CAR.又 QMF = ARC = 90º，QM = AR =

13、 a， RtQMF RtARC. 即. ，又 ， =，即 .  【證法11】（利用切割線定理證明）在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長(zhǎng)線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因?yàn)锽CA = 90º，點(diǎn)C在B上，所以AC是B 的切線. 由切割線定理，得= ，即， . 【證法12】（利用多列米定理證明）在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）. 過(guò)點(diǎn)A作ADCB，過(guò)點(diǎn)B作BDCA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個(gè)圓.

14、根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有， AB = DC = c，AD = BC = a，AC = BD = b， ，即 ， . 【證法13】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtABC的內(nèi)切圓O，切點(diǎn)分別為D、E、F（如圖），設(shè)O的半徑為r. AE = AF，BF = BD，CD = CE， = = r + r = 2r,即 ， . ，即 ， ， ，又 = = = = ， ， ， ， .【證法14】（利用反證法證明）如圖，在RtABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊AB的長(zhǎng)為c

15、，過(guò)點(diǎn)C作CDAB，垂足是D. 假設(shè)，即假設(shè) ，則由=可知 ，或者 . 即 AD：ACAC：AB，或者 BD：BCBC：AB.在ADC和ACB中， A = A， 若 AD：ACAC：AB，則ADCACB.在CDB和ACB中， B = B， 若BD：BCBC：AB，則CDBACB.又 ACB = 90º， ADC90º，CDB90º.這與作法CDAB矛盾. 所以，的假設(shè)不能成立. . 【證法15】（辛卜松證明）           設(shè)直角三角形兩直

16、角邊的長(zhǎng)分別為a、b，斜邊的長(zhǎng)為c. 作邊長(zhǎng)是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為 ；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為 =. , . 【證法16】（陳杰證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b（b>a），斜邊的長(zhǎng)為c. 做兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）.在EH = b上截取ED = a，連結(jié)DA、DC，則 AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EMED = a = b.又 CMD = 90º，CM = a，AED = 90º， AE = b， RtAED RtDMC. EAD = MDC，DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180º，ADE + MDC = ADE + EAD = 90º， ADC = 90º