高中新課標數(shù)學概念、方法、題型、易誤點匯整(二)

1、高中新課標數(shù)學概念、方法、題型、易誤點匯整（二）如：的值域（答：）；不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值。如設成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是_.（答：）。單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。如求，的值域為_（答：、）；數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等），利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。如（1）已知點在圓上，求及的取值范圍（答：、）；（2）求函數(shù)的值域（答：）； 判別式法：如（1）求的值域（答：）；（2）求函數(shù)的值域（答：）如求的值域（答：）導數(shù)法;分離參數(shù)法;如求函數(shù)，的最小值。（答：48）用2種方法求下列函數(shù)的值域：（；3分段函數(shù)：.是在其

2、定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應關系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值時，一定首先要判斷屬于定義域的哪個子集，然后再代相應的關系式；分段函數(shù)的值域應是其定義域內(nèi)不同子集上各關系式的取值范圍的并集。如（1）設函數(shù)，則使得的自變量的取值范圍是_；（2）已知，則不等式的解集是_;4函數(shù)的奇偶性:（1）定義域必須關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件,為此確定函數(shù)的奇偶性時，務必先判定函數(shù)定義域是否關于原點對稱。如若函數(shù)，為奇函數(shù)，其中，則的值是 ；（2）確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性）：定義法：如判斷函數(shù)的奇偶性_ 。利用

3、函數(shù)奇偶性定義的等價形式：或（）。如判斷的奇偶性_ _.圖像法：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關于軸對稱。（3）函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.若為偶函數(shù)，則.如若定義在R上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且=2，則不等式的解集為_ 若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。如若為奇函數(shù)，則實數(shù)_ .在關于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；定義在關于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和（或差）”。如設是

4、定義域為R的任一函數(shù)， ，。判斷與的奇偶性； 若將函數(shù)，表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和，則 ;既奇又偶函數(shù)有無窮多個（，定義域是關于原點對稱的任意一個數(shù)集）5函數(shù)的單調(diào)性：（1）確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：在解答題中常用：定義法（取值作差變形定號）、導數(shù)法.（在區(qū)間內(nèi)，若總有，則為增函數(shù)；反之，若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，則，請注意兩者的區(qū)別所在。如已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_ ；在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意,型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運用：增區(qū)間為，減區(qū)間為.如（1）若函數(shù) 在區(qū)間（，4） 上是減函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是 ；（2）已知函數(shù)在

5、區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_；（3）若函數(shù)的值域為R，則實數(shù)的取值范圍是 ；復合函數(shù)由同增異減判定注意：在區(qū)間上是增（減）函數(shù)當時， ；注意：能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，是為增函數(shù)的充分不必要條件。注意：函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用（比較大??；解不等式；求參數(shù)范圍）.如已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，求實數(shù)的取值范圍。（答：）；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_(答：（1,2）)。特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時，一是勿忘定義域6函數(shù)的周期性（1）三角函數(shù)的周期： ； ； ；（2）類比“三角函數(shù)圖像”得：或 的周期為；函數(shù)滿足，則的周期為2；若恒成立，則；若恒成立，則.的圖象關于點中心

6、對稱必是周期函數(shù)，且一周期為；的圖象關于直線軸對稱必是周期函數(shù)，且一周期為；如果函數(shù)的圖像有一個對稱中心和一條對稱軸，則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為；如已知定義在上的函數(shù)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程在上至少有_個實數(shù)根（答：5）如(1) 設是上的奇函數(shù)，當時，則等于_(答：)；(2)定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，若是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則的大小關系為_(答：)；7指數(shù)式、對數(shù)式：，。如的值為_(答：)指數(shù)、對數(shù)值的大小比較：（1）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（0或1）；（4）化同指數(shù)（或同真數(shù)）后利用圖象比較。8基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)冪函數(shù)： （

7、； 指數(shù)函數(shù)：；對數(shù)函數(shù):；正弦函數(shù):；余弦函數(shù)： ；（6）正切函數(shù)：；一元二次函數(shù)：；其它常用函數(shù)：一次函數(shù):y=ax+b(a0)正比例函數(shù)：是奇函數(shù)；反比例函數(shù)：平移(中心為(b,a)；特別的，函數(shù)；是奇函數(shù),； 9二次函數(shù)：解析式（三種形式）：一般式：(軸-b/2a,a0,頂點?當b=0時，是偶函數(shù);)；頂點式：，為頂點；零點式：；二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：開口方向；對稱軸；端點值；與坐標軸交點；判別式；兩根符號。其中區(qū)間最值:配方后一看開口方向,二討論對稱軸與區(qū)間的相對位置關系; 如：若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間，則 （答：2）實根分布:先畫圖再研究>0、軸與區(qū)間關系、區(qū)間

8、端點函數(shù)值符號;二次函數(shù)問題解決方法：數(shù)形結(jié)合；分類討論。10函數(shù)圖象圖象作法 ：描點法（注意三角函數(shù)的五點作圖）；圖象變換法；導數(shù)法圖象變換： 平移變換：，左“+”右“-”； 上“+”下“-”； 伸縮變換：， （縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的倍；， （橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的倍； 對稱變換：； ； ； 翻轉(zhuǎn)變換：右不動，右向左翻（在左側(cè)圖象去掉）；上不動，下向上翻（|在下面無圖象）；如要得到的圖像，只需作關于_軸對稱的圖像，再向_平移3個單位而得到(答：；右)；（3）函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)有_個(答：2)如將函數(shù)的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關于直線

9、對稱,那么 (答：C)如（1）將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再將此圖像沿軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應的函數(shù)為_(答：)；（2）如若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對稱軸方程是_(答：)如（1）作出函數(shù)及的圖象；（2）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關于_對稱 （答：軸）11函數(shù)圖象（曲線）的對稱性滿足條件的函數(shù)的圖象關于直線對稱。特別地：f(a+x)=f(ax) （xR）y=f(x)圖像關于直線x=a對稱；兩函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)圖像關于直線x=對稱。如已知二次函數(shù)滿足條件且方程有等根，則_(答：)； 點關于軸的對稱點為；函數(shù)關于軸 的對稱曲線方程

10、為；點關于軸的對稱點為；函數(shù)關于軸 的對稱曲線方程為； 點關于原點的對稱點為；函數(shù)關于原點的對稱曲線方程為； 點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為。特別地，點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為；點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為。如己知函數(shù),若的圖像是,它關于直線對稱圖像是關于原點對稱的圖像為對應的函數(shù)解析式是_（答：）；曲線關于點的對稱曲線的方程為。曲線C1:f(x,y)=0關于直線x=a的對稱曲線C2方程為：f(2ax, y)=0;如若函數(shù)與的圖象關于點（-2，3）對稱，則_（答：）形如的圖像是雙曲線，對稱中心是點。如已知函數(shù)圖象與關于直線

11、對稱，且圖象關于點（2，3）對稱，則a的值為_（答：2）提醒：(1)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（2）證明函數(shù)與圖象的對稱性，即證明圖象上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點在的圖象上，反之亦然；如（1）已知函數(shù)。求證：函數(shù)的圖像關于點成中心對稱圖形。12. 抽象函數(shù)：抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問題。求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：（1）借鑒模型函數(shù)進行類比探究。 幾類常見的抽象函數(shù) ：正比例函數(shù)型： -；冪函數(shù)型： -，；指數(shù)函數(shù)型： -，； 對數(shù)函數(shù)型： -，；三角函數(shù)型： - 。如已知是定義在R上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為T，則_（答：0）（2）利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）進行演繹探究：如（1）設函數(shù)表示除以3的余數(shù)，則對任意的，都有A、 B、 C、 D、（ ）；（2）設是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足，如果，求；（3）如設是定義在上的奇函數(shù)，且，證明：直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；（4）已知定義域為的