不定積分(一)

1、2022-1-161p129 習(xí)題習(xí)題5.2 1(1). 6. 9.p133 習(xí)題習(xí)題5.3 1(3)(6)(9). 2(3)(5)(11). 3(3)(7)(9)(10). 4(3)(8).作作 業(yè)業(yè)預(yù)習(xí)：預(yù)習(xí)：p135p1351411412022-1-162第十三講第十三講 不定積分（一）不定積分（一）一、原函數(shù)與不定積分概念一、原函數(shù)與不定積分概念二、基本積分表二、基本積分表三、湊微分法三、湊微分法2022-1-163一、原函數(shù)與不定積分概念一、原函數(shù)與不定積分概念（1 1） 從運算與逆運算看從運算與逆運算看 初等數(shù)學(xué)中加法與減法、乘法與除法、初等數(shù)學(xué)中加法與減法、乘法與除法、乘方與開方

2、等，都是互逆的運算。乘方與開方等，都是互逆的運算。 微分運算是對一個可導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)。微分運算是對一個可導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)。微分運算的逆運算是什麼？微分運算的逆運算是什麼？問題：問題：).()(),(),(xfxfxfxf的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)正正是是使使要要求求這這樣樣一一個個函函數(shù)數(shù)已已知知函函數(shù)數(shù)這就是求原函數(shù)和不定積分的運算。這就是求原函數(shù)和不定積分的運算。2022-1-164)()(?)(),(tstvtvtss 求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：要要求求瞬瞬時時速速度度已已知知運運動動規(guī)規(guī)律律（2 2） 從物理問題看從物理問題看)()(),(:?)(),(:tvtststsstv 使使求求原原函函數(shù)數(shù)要要求求運運動

3、動規(guī)規(guī)律律已已知知瞬瞬時時速速度度反反問問題題2022-1-165.)()()()()()(,),(.)(上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)在在是是則則稱稱或或都都有有使使可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)若若另另有有一一個個上上有有定定義義在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)ixfxfdxxfxdfxfxfixxfixf （一）原函數(shù)的定義（一）原函數(shù)的定義.),(3)()(123上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)間間在在是是例例 xxfxxf.)1, 1(11)(arcsin)(22上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)間間在在是是例例 xxfxxf2022-1-166關(guān)于原函數(shù)有兩個理論問題關(guān)于原函數(shù)有兩個理論問題: :（a a）原函數(shù)的

4、存在問題）原函數(shù)的存在問題.)(,)(上上存存在在原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間則則上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)ixfixf結(jié)論結(jié)論: :（b b）原函數(shù)的結(jié)構(gòu)問題）原函數(shù)的結(jié)構(gòu)問題.3)(3)(,2323上上的的原原函函數(shù)數(shù)在在也也是是rxcxxcxrc 一個函數(shù)若存在一個原函數(shù)，一個函數(shù)若存在一個原函數(shù)， 則它必有無窮多個原函數(shù)。則它必有無窮多個原函數(shù)。2022-1-167ixxfxfcxf )()()(.,)()(,)()(為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中原原函函數(shù)數(shù)的的全全體體是是則則原原函函數(shù)數(shù)上上的的一一個個在在區(qū)區(qū)間間是是若若cxfcxfixfxf 定理定理1證證一一個個原原函函數(shù)

5、數(shù)上上的的在在是是）證證明明（ixfcxf)()(1 原原函函數(shù)數(shù)上上的的一一個個在在是是ixfcxf)()( 2022-1-168上上的的任任何何一一個個原原函函數(shù)數(shù)在在是是設(shè)設(shè)ixfxg)()(ixxfxfxfxgxfxg 0)()()()( )()(推推論論知知由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的ixcxfxg )()(ixcxfxg )()(即即的的形形式式都都可可以以表表示示為為上上的的任任意意一一個個原原函函數(shù)數(shù)在在）證證明明（cxfixf )()(22022-1-169.)()(),()(上上的的不不定定積積分分在在區(qū)區(qū)間間稱稱為為其其原原函函數(shù)數(shù)的的全全體體則則上上存存在在

6、原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)ixfcxfxfixf cxfdxxf)()(積積分分常常數(shù)數(shù)積積分分號號（二）不定積分的定義（二）不定積分的定義記作記作:被積函數(shù)被積函數(shù)2022-1-1610cxfy )(積積分分曲曲線線族族xxyo積分曲線積分曲線)(xfy 積分曲線與積分曲線族積分曲線與積分曲線族2022-1-1611 0210cos)(2xcxxcxxg 00sin)(xxxxxf設(shè)設(shè).)1, 0()()2()()()1(點點的的積積分分曲曲線線過過求求的的不不定定積積分分嗎嗎？是是問問：xfxfxg例例3解解不是！不是！處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點因因為為0)( xxg(1)2022-1-1

7、612的的積積分分曲曲線線族族首首先先要要求求)()2(xf 0210cos)(221xcxxcxxg上上的的原原函函數(shù)數(shù)在在是是若若rxfxg)()(連連續(xù)續(xù)在在0)( xxg)0()(lim)(lim00gxgxgxx 121 cc 01210cos)(2xcxxcxxg分段積分，得分段積分，得2022-1-161301coslim)0(0 xxgx又又01121lim)0(20 xxgx0)0( gxxgxsin)(,0 時時當(dāng)當(dāng))()(,),()(xfxgxg 且且上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在于于是是 01210cos)(2xcxxcxdxxfxxgx )(,0時時當(dāng)當(dāng)2022-1-1614 01

8、210cos)(2xcxxcxxgy即即的的積積分分曲曲線線族族是是)(xf得得令令,1)0(,0 gx0 c 01210cos)(2xxxxxfy點點的的積積分分曲曲線線過過是是)1, 0()(xf2022-1-1615)()()1(xfdxxf dxxfdxxfd)()( cxfdxxf)()()2( cxfxdf)()(（三）不定積分的性質(zhì)（三）不定積分的性質(zhì) （1） 不定積分與微分互為逆運算不定積分與微分互為逆運算2022-1-1616 dxxgdxxgdxxgxf)()()()()3( dxxfkdxxkf)()()4(dxxfkxfk )()(2211 dxxfkdxxfk)()(

9、2211綜合綜合(3)(4) （2） 線性運算性質(zhì)線性運算性質(zhì)2022-1-1617不定積分計算的基本思想：不定積分計算的基本思想： 求不定積分是求導(dǎo)的逆運算求不定積分是求導(dǎo)的逆運算 導(dǎo)數(shù)基本公式導(dǎo)數(shù)基本公式積分基本公式積分基本公式 微分法微分法積分法積分法 反想反想 逆運算逆運算 怎樣計算不定積分？怎樣計算不定積分？2022-1-1618 dxx )1( dxx1)2( xdxsin)3( xdxcos)4(cx 11 )1( cx lncx coscx sin二、基本積分表二、基本積分表2022-1-1619 dxax)5( dxex)6( xdx2sec)7( xdx2csc)8( sh

10、xdx)9( chxdx)10(caax ln1cex cx tancx cotcchx cshx 2022-1-1620 dxxdxxdxxdxx222211)14(11)13(11)12(11)11(cx arcsincx arccoscx arctancxarc cotcaxaaxdx arctan1)15(222022-1-1621caxaxaaxdx ln21)18(22caxxadx arcsin)16(22cxaxxadx )ln()17(2222cxxxdx csccotlncsc)20(cxxxdx sectanlnsec)19(2022-1-1622 dxxxxx)1112

11、(423計計算算例例 dxxdxxdxxdxdxx231112原原式式421x 解解221x x x2 x1 c 2022-1-1623 dxxx112522計計算算例例dxxx 13)1(222原式原式dxxdx 11322cxx arctan32解解2022-1-1624 dxxx22cossin16計算計算例例dxxxxx 2222cossincossin原原式式dxxdxx 22sin1cos1cxx cottan解解2022-1-1625）（目目標(biāo)標(biāo)是是積積分分基基本本公公式式形形再再分分項項通通過過代代數(shù)數(shù)或或三三角角恒恒等等變變直直接接分分項項小小結(jié)結(jié)： xdxdxxx222ta

12、n)2()1(1)1(練練習(xí)習(xí)題題：dxxxxx )1()1(2222 dxx)1(sec22022-1-1626?5cos dxx問問：cxxdxdxx 5sin51)5(5cos515cosux 5視視cxdxx sincoscuduu sincos或或利用微分形式不變性利用微分形式不變性)5(5cos)5(sinxdxxd dxxd5)5( 2022-1-1627則則可可微微且且設(shè)設(shè),)(,)()(xucufduuf cxfdxxxf)()()( 三、湊微分法三、湊微分法定理定理1：（湊微分法）：（湊微分法）證證利用微分形式不變性利用微分形式不變性)()()(xdxfcxfd duuf)

13、( duuf)( dxxxf)()( 2022-1-1628 dxxxf)()( )()(xdxf duuf)(cuf )(cxf )( 湊微分湊微分怎樣應(yīng)用湊微分法怎樣應(yīng)用湊微分法 ？dxx)( 2022-1-1629dxx 5211例例)52(52151521xdxdxx duu 151cxcu 525252xu52 令令解解向哪個積分公式湊向哪個積分公式湊 ？cuduu 212022-1-1630 xdxtan2例例xdxxdxxxdxxsincos1cossintan duu 1cxcu coslnlnux cos令令解解2022-1-1631 xdxxdx32sin)2(;sin)1

14、(3例例dxxxdx 22cos1sin) 1 (2cxx 2sin412解解 )2(2cos4121xxddx xdxx sinsin2 xdx3sin)2( )(cos)cos1 (2xdxcxx 3cos31cos2022-1-1632 222222)3(;)2(;)1(4axdxxadxaxdx例例 )(1)()1(2222axaaxadaxdxcaxa arctan1解解 )1 (222axadxcaxaxdax arcsin)()(112 22)2(xadx2022-1-1633 22)3(axdx)(1)(121axdaxaxdaxa dxaxaxa)11(21 caxaxaca

15、xaxa ln21)ln(ln212022-1-1634 xxdx15例例 xxd12原原式式 xxd1)1(2cx 14解解2022-1-1635dxxx 4cos42sin6例例dxxxx 4cos4cossin2原式原式 222)(cos4)(cosxxdcx )2cosarcsin(2解解2022-1-1636 xedx17例例dxeeedxexxxx 1111dxeedxxx 1 xxeedx1)1(解解cexx )1ln(2022-1-1637 xdxcos8例例 xxddxxxdxx22sin1)(sincoscoscos1cxx sin1sin1ln21cxx cossin1l

16、n解解cxx tansecln2022-1-1638)ln1 (ln112lnln1xdxx 原原式式dxxxx ln12ln9例例)ln1()ln1(21xdx 解解)ln1()ln1()12(ln21xdx cxx 2123)ln1)(12(ln2)ln1(322022-1-1639dxxexxx )1()1(10例例dxxexeexxxx )1 () 1(原原式式)()1()1(xxxxxxedxexexexe )1 ()(xxxxexexedcxexexx 1ln解解2022-1-1640)(baxdadx )(212xdxdx )(xxeddxe )(sincosxdxdx )cos(sinxdxdx )(ln1xddxx )(21xddxx )(arctan112xdd