小升初工程問題全解

1、1、 一項工程，甲、乙合作要 12 天完成；如果甲先做三天后，再有乙接著做 8 天，共完成這項工程的 5/ 12。如果這件工程有甲、乙單獨完成各需多少天？分析:(1) 一項工程，甲、乙合作要 12天完成 .說明: 那么甲、乙兩人每天做這項工程的 1/12.(2) 如果甲先做三天后，再有乙接著做 8 天，共完成這項工程的 12/5.說明:這時候,我們就可以將條件改變?yōu)槿绻滓覂扇讼茸?3天后, 再由乙接著做8-3=5( 天) ，共完成這項工程的 5/12.(3) 改變條件后 , 這一題便好解決多 . 如果甲乙兩人先做 3天后, 就做了這項工程的(1/12)*3=1/4, 那么盛夏的 5/12-1

2、/4=1/6 就由乙 5(天)完成任務(wù) .則可以求出乙的工作效率是 (1/6)/5=1/30, 單獨做就需要 1/(1/30)=30( 天).(4) 則甲的工作效率是 1/12-1/30=1/20, 那就要 1/(1/20)=20( 天 ). 工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點， 是分數(shù)應(yīng)用題的引申與補充， 是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具。 它是函數(shù)一一對應(yīng)思想在應(yīng)用題中的有力滲透。 工程問題也是教材的難點。工程問題是把工作總量看成單位“ 1”的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認知起來比較困難。因此，在教學(xué)中， 如何讓學(xué)生建立正確概念是數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵。本節(jié)課從始至終都以工程問題的概念來貫穿

3、，目的在于使學(xué)生理解并熟練掌握概念。聯(lián)系實際談話引入。引入設(shè)懸，滲透概念。目的在于讓學(xué)生復(fù)習理解工作總量、工作時間、工作效率之間的概念及它們之間的數(shù)量關(guān)系。 初步的復(fù)習再次強化工程問題的概念。通過比較， 建立概念。在教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位， 運用學(xué)生已有的知識 “包含除”來解決合作問題。合理運用強化概念。 學(xué)生在感知的基礎(chǔ)上， 于頭腦中初步形成了概念的表象， 具備概念的原型。一部分學(xué)生只是接受了概念，還沒有完全消化概念。所以我編擬了練習題，目的在于通過學(xué)生運用， 來幫助學(xué)生認識、理解、 消化概念， 使學(xué)生更加熟練的找到了工程問題的解題方法。在學(xué)生大量練習后， 引出含有數(shù)量的工作問題， 讓

4、學(xué)生自己找到問題的答案。從而又一次突出工程問題概念的核心。工作量 =在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項任務(wù)，完成某項工程等等，都要涉 及到工作量、工作效率、工作時間這三個量，它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是工作效率X時間.在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題”舉一個簡單例子 . ：一件工作， 甲做 10天可完成， 完成？乙做 15天可完成 .問兩人合作幾天可以一件工作看成 1 個整體，因此可以把工作量算作的工作量，我們用的時間單位是“天”， 1 天就是一個單位，1. 所謂工作效率，就是單位時間內(nèi)完成再根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式，得到所需時間=工作量寧工作效率=6（天

5、）兩人合作需要 6 天.這是工程問題中最基本的問題，這一講介紹的許多例子都是從這一問題發(fā)展產(chǎn)生的為了計算整數(shù)化 （盡可能用整數(shù)進行計算 ），如第三講例 3 和例 8 所用方法，把工作量多設(shè)份額. 還是上題，10與 1 5的最小公倍數(shù)是 30.設(shè)全部工作量為 30份. 那么甲每天完成 3份，乙每天完成 2 份. 兩人合作所需天數(shù)是30-( 3+ 2 ) = 6 (天)數(shù)計算，就方便些 .:2.或者說“工作量固定，工作效率與時間成反比例”.甲、乙工作效率的比是15 : 10=3 :2. 當知道了兩者工作效率之比， 從比例角度考慮問題，也需時間是把工作量設(shè)為整體1”的做法，因此，在下面例題的講述中，

6、不完全采用通常教科書中而偏重于“整數(shù)化”或“從比例角度出發(fā)”，也許會使我們的解題思路更靈活一些、兩個人的問題標題上說的“兩個人”，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體例 1 一件工作， 甲做 9 天可以完成， 乙做 6 天可以完成 . 現(xiàn)在甲先做了 3 天，余下的工作 由乙繼續(xù)完成 . 乙需要做幾天可以完成全部工作？ 解一：甲每天完成 1/9 ，乙每天完成 1/6 。甲先做了 3 天，即做了整個工作的 3/9 ，還剩 下6/9，則乙完成剩余工作的天數(shù)為：6/9 - 1/6 = 4 答：乙需要做 4 天可完成全部工作 .解二：9 與6的最小公倍數(shù)是 18.設(shè)全部工作量是 18份.甲每天完成 2份

7、，乙每天完成 3 份. 乙完成余下工作所需時間是(18- 2 X 3 )-3= 4 (天).解三：甲與乙的工作效率之比是 6 : 9= 2 : 3.甲做了 3天，相當于乙做了 2天.乙完成余下工作所需時間是 6-2=4(天) .例2 一件工作，甲、乙兩人合作 30天可以完成，共同做了 6天后，甲離開了，由乙繼續(xù) 做了 40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？ 解：共做了 6 天后， 原來，甲做 24 天，乙做 24 天， 現(xiàn)在，甲做 0 天，乙做 40=(24+16)天.這說明原來甲 24天做的工作，可由乙做 16天來代替.因此甲的工作效率 如果乙獨做，所需時間是 如果甲獨做，

8、所需時間是 答：甲或乙獨做所需時間分別是 75 天和 50天.例 3 某工程先由甲獨做 63 天，再由乙單獨做 28 天即可完成；如果由甲、乙兩人合作， 需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨做 42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？ 解：先對比如下： 甲做 63 天，乙做 28 天； 甲做 48天，乙做 48天.就知道甲少做 63-48=15（天），乙要多做 48-28=20（天），由此得出甲的 甲先單獨做 42天，比 63 天少做了 63-42=21（天），相當于乙要做 因此，乙還要做 28+28= 56 （天） .答：乙還需要做 56 天.例4 一件工程，甲隊單獨做 10天完成，乙隊單

9、獨做 30天完成.現(xiàn)在兩隊合作， 其間甲隊 休息了 2 天，乙隊休息了 8 天（不存在兩隊同一天休息） . 問開始到完工共用了多少天時 間？ 解一：甲隊單獨做 8天，乙隊單獨做 2 天，共完成工作量 余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數(shù)是 2+8+ 1= 11 （天）.答：從開始到完工共用了 11 天.解二：設(shè)全部工作量為 30份. 甲每天完成 3份，乙每天完成 1份. 在甲隊單獨做 8天，乙 隊單獨做 2 天之后，還需兩隊合作（30- 3 X 8-1 X 2 ）-（ 3+1） = 1 （天）.解三：甲隊做 1 天相當于乙隊做 3 天.在甲隊單獨做 8 天后，還余下（甲隊） 10-8= 2

10、 （天）工作量 . 相當于乙隊要做 2X 3=6天） . 乙隊單獨做 2 天后，還余下（乙隊） 6-2=4（天）工作量 .4=3+1， 其中 3天可由甲隊 1 天完成，因此兩隊只需再合作 1 天.例 5 一項工程，甲隊單獨做 20 天完成，乙隊單獨做 30 天完成 . 現(xiàn)在他們兩隊一起做， 其 間甲隊休息了 3天，乙隊休息了若干天 .從開始到完成共用了 1 6天.問乙隊休息了多少 天？ 解一：如果 16 天兩隊都不休息，可以完成的工作量是 由于兩隊休息期間未做的工作量是 乙隊休息期間未做的工作量是 乙隊休息的天數(shù)是 答：乙隊休息了 5 天半.解二：設(shè)全部工作量為 60份. 甲每天完成 3份，乙

11、每天完成 2份.兩隊休息期間未做的工作量是（3+2）X 16- 60= 20 （份）.因此乙休息天數(shù)是（20- 3 X 3 ）-2= 5.5（天）.解三：甲隊做 2 天，相當于乙隊做 3 天.甲隊休息 3 天，相當于乙隊休息 4.5 天.如果甲隊 1 6天都不休息，只余下甲隊 4天工作量，相當于乙隊 6天工作量，乙休息天數(shù)16-6-4.5=5.5（天） .例 6 有甲、乙兩項工作，張單獨完成甲工作要 10天，單獨完成乙工作要 15天；李單獨 完成甲工作要 8 天，單獨完成乙工作要 20天.如果每項工作都可以由兩人合作，那么這 兩項工作都完成最少需要多少天？ 解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，

12、張做乙工作的工作效率高 .因此讓李先做甲，張 先做乙 .設(shè)乙的工作量為 60份（ 1 5與20的最小公倍數(shù)） ，張每天完成 4份，李每天完成 3份.8天，李就能完成甲工作.此時張還余下乙工作（60-4 X 8）份.由張、李合作需要60-4X8）-（ 4+3） =4（天） .8+4=12（天） .答：這兩項工作都完成最少需要 12天.例7 一項工程，甲獨做需 10天，乙獨做需 15天，如果兩人合作，他們要 8天完成這項 工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？ 解：設(shè)這項工程的工作量為 30份，甲每天完成 3份，乙每天完成 2份.兩人合作，共完成3X 0.8 + 2 X 0.9= 4.

13、2（份） .因為兩人合作天數(shù)要盡可能少，獨做的應(yīng)是工作效率較高的甲. 因為要在 8天內(nèi)完成，所 以兩人合作的天數(shù)是30-3X8）-（ 4.2-3 ） =5（天） .很明顯，最后轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”型問題例8甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨做時，如果這件工作始 終由甲一人單獨來做，需要多少小時?解：乙6小時單獨工作完成的工作量是 乙每小時完成的工作量是 兩人合作6小時，甲完成的工作量是 甲單獨做時每小時完成的工作量 甲單獨做這件工作需要的時間是 答：甲單獨完成這件工作需要 33小時.這一節(jié)的多數(shù)例題都進行了“整數(shù)化”的處理.但是，“整數(shù)化”并不能使所有工程問題 的計算簡便.例8

14、就是如此.例8也可以整數(shù)化，當求出乙每 有一點方便，但好處不大.不必多此一舉.、多人的工程問題 我們說的多人，至少有3個人，當然多人問題要比2人問題復(fù)雜一些，但是解題的基本思 路還是差不多.例9 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合 作要60天完成.問甲一人獨做需要多少天完成?解：設(shè)這件工作的工作量是1.甲、乙、丙三人合作每天完成 減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨做需要90天完成.例9也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天 完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請試一試，計算是否會方便些?例 10 一

15、件工作， 甲獨做要 12 天，乙獨做要 18 天，丙獨做要 24 天. 這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天 數(shù)是乙做的天數(shù)的 2倍，終于做完了這件工作 . 問總共用了多少天？ 解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3X 2=6 （天）.說明甲做了 2天，乙做了 2X 3=6 （天），丙做2X 6=12（天），三人一共做了 2+6+12=20（天） .答：完成這項工作用了 20 天.本題整數(shù)化會帶來計算上的方便 .12， 18， 24這三數(shù)有一個易求出的最小公倍數(shù) 72.可設(shè) 全部工作量為 72. 甲每天完成 6，乙每天完成 4，丙每天完成

16、3. 總共用了 例11 一項工程，甲、乙、丙三人合作需要 13天完成.如果丙休息 2天，乙就要多做 4 天，或者由甲、乙兩人合作 1 天. 問這項工程由甲獨做需要多少天？ 解：丙2天的工作量，相當乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的 4- 2=2（倍）， 甲、乙合作 1 天，與乙做 4天一樣.也就是甲做 1 天，相當于乙做 3天，甲的工作效率是 乙的工作效率的 3倍.他們共同做 1 3天的工作量，由甲單獨完成，甲需要 答：甲獨做需要 26 天.事實上，當我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3： 2 : 1,就知甲做1 天,相當于乙、 丙合作 1 天. 三人合作需 13天，其中乙、丙兩人

17、完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做 13天來 完成.例12 某項工作，甲組 3人8天能完成工作，乙組 4人7天也能完成工作 .問甲組 2人和 乙組 7 人合作多少時間能完成這項工作？ 解一：設(shè)這項工作的工作量是 1.甲組每人每天能完成 乙組每人每天能完成 甲組 2人和乙組 7人每天能完成 答：合作 3 天能完成這項工作 .解二：甲組 3人 8天能完成，因此 2人12天能完成；乙組 4人 7天能完成，因此 7人 4 天能完成 .現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為： 甲組獨做 12 天，乙組獨做 4 天，問合作幾天完成？ 小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性 . 解二是比例靈活運用的典型，如果你心算較好， 很

18、快就能得出答數(shù) .例13 制作一批零件，甲車間要 10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要 6天就能完 成.乙車間與丙車間一起做，需要 8天才能完成 .現(xiàn)在三個車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車 間比乙車間多制作零件 2400個. 問丙車間制作了多少個零件？ 解一：仍設(shè)總工作量為 1.甲每天比乙多完成 因此這批零件的總數(shù)是 丙車間制作的零件數(shù)目是 答：丙車間制作了 4200個零件 .解二： 10與6最小公倍數(shù)是 30.設(shè)制作零件全部工作量為 30份.甲每天完成 3 份，甲、 乙一起每天完成 5 份，由此得出乙每天完成 2 份 .乙、丙一起，8天完成.乙完成8X2=16 （份），丙完成30-16=14

19、（份），就知 乙、丙工作效率之比是16： 14=8： 7.已知 甲、乙工作效率之比是 3： 2= 12： 8.綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是 12： 8： 7.當三個車間一起做時，丙制作的零件個數(shù)是 2400-( 12- 8 ) X 7= 4200 (個).例14 搬運一個倉庫的貨物， 甲需要 10小時，乙需要 12小時， 丙需要15小時.有同樣的 倉庫A和B,甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉(zhuǎn) 向幫助乙搬運 . 最后兩個倉庫貨物同時搬完 . 問丙幫助甲、乙各多少時間？ 解：設(shè)搬運一個倉庫的貨物的工作量是 1. 現(xiàn)在相當于三人共同完成工作量 2，所需時間

20、是 答：丙幫助甲搬運 3 小時，幫助乙搬運 5 小時.解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運兩個倉庫的時間 . 本題計算當然也可以整數(shù)化，設(shè) 搬運一個倉庫全部工作量為 60. 甲每小時搬運 6 ，乙每小時搬運 5 ，丙每小時搬運 4.三人共同搬完，需要60 X 2 -(6+ 5+ 4 ) = 8 (小時).甲需丙幫助搬運(60- 6 X 8 )- 4= 3 (小時).乙需丙幫助搬運(60- 5 X 8 ) - 4= 5 (小時).三、水管問題 從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題與工程問題是一樣的 . 水池的注水或排水相當于一項工程， 注水量或排水量就是工作量 . 單位時間里的注水量或排水量就是工作效率 .

21、 至于又有注入 又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了 . 因此，水管問題與工程問題的解題思路基 本相同.例 15 甲、乙兩管同時打開， 9分鐘能注滿水池 . 現(xiàn)在，先打開甲管， 10分鐘后打開乙管， 經(jīng)過 3 分鐘就注滿了水池 . 已知甲管比乙管每分鐘多注入 0.6 立方米水，這個水池的容積 是多少立方米？ 甲每分鐘注入水量是 乙每分鐘注入水量是 因此水池容積是 答：水池容積是 27 立方米.例 16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等 . 現(xiàn)在按預(yù)定時間注滿水池，如果開始時就 打開 10根水管，中途不增開水管，也能按預(yù)定時間注滿水池 .問開始時打開了幾根水管？答：開始時打開 6 根水管

22、.例17 蓄水池有甲、丙兩條進水管,和乙、丁兩條排水管 .要灌滿一池水,單開甲管需 3 小時,單開丙管需要 5 小時. 要排光一池水,單開乙管需要 、乙、的順序輪流打開1小時，問多少時間后水開始溢出水池?，否則開甲管的過程中水池里的水就會溢出 以后（20 小時），池中的水已有此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進了枯井的青蛙,它要往上爬30尺才 能到達井口,每小時它總是爬 3尺,又滑下 2尺.問這只青蛙需要多少小時才能爬到井口? 看起來它每小時只往上爬 3- 2= 1（尺）,但爬了 27 小時后,它再爬 1 小時,往上爬了 3 尺已到達井口 .因此，答案是 28小時，而不是 30 小時

23、 .例18 一個蓄水池，每分鐘流入 4立方米水.如果打開 5個水龍頭， 2小時半就把水池水 放空，如果打開 8個水龍頭， 1 小時半就把水池水放空 .現(xiàn)在打開 13個水龍頭， 問要多少 時間才能把水放空?解：先計算 1 個水龍頭每分鐘放出水量 .2 小時半比 1 小時半多 60分鐘,多流入水4 X 60= 240 （立方米） .時間都用分鐘作單位, 1 個水龍頭每分鐘放水量是240 -（ 5 X 150- 8 X 90 ） = 8 （立方米），8 個水龍頭 1 個半小時放出的水量是 8 X 8 X 90 , 其中90分鐘內(nèi)流入水量是 4 X 90 ,因此原來水池中存有水 8 X 8 X 90-

24、4 X 90= 5400（立方米） .打開13個水龍頭每分鐘可以放出水8X 13,除去每分鐘流入4,其余將放出原存的水，放 空原存的 5400，需要5400 -(8 X 13-4 ) =54 (分鐘).答：打開 1 3個龍頭，放空水池要 54分鐘.水池中的水， 有兩部分，原存有水與新流入的水， 就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水 . 這在題目中卻是隱含著的 .例19 一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的.打開A管，8小時可將滿池水排空，打開C管，12小時可將滿池水排空.如果打開A,B兩管，4小時可將水排空.問打開B，C兩管，要幾小時才能將滿池水排空?解：設(shè)滿水

25、池的水量為 1.A管每小時排出A管4小時排出因此， B， C 兩管齊開，每小時排水量是B， C 兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是答： B， C 兩管齊開要 4 小時 48 分才將滿池水排完 .本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量 . 由于不知具體數(shù)量，像工程問題不知工作量的具體數(shù)量一樣 .這里把兩種水量分別設(shè)成“1”.但這兩種量要避免混淆 .事實上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為 8 與 1 2的最小公倍數(shù) 24.17 世紀英國偉大的科學(xué)家牛頓寫過一本普遍算術(shù)一書，書中提出了一個“牛吃草”問題，這是一道饒有趣味的算術(shù)題 .從本質(zhì)上講，與例1 8和例19是類同的.題目涉及三種數(shù)量：原有

26、草、新長出的草、牛吃掉的草 . 這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的 .例 20 有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一 草；21 頭牛 9 星期吃完第二片牧場的草. 問多少頭牛 1 8星期才能吃完第三片牧場的草?解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量X牛頭數(shù)X星期數(shù).根據(jù)這一計算公式，可以設(shè)定“頭牛每星期吃草量”作為草的計量單位 .原有草+4星期新長的草= 1 2 X 4.原有草+9星期新長的草=7X 9.由此可得出，每星期新長的草是(7X 9-12 X 4)-( 9-4) =3.那么原有草是 7X 9-3X 9=36(或者 12X4-3X 4).對第三片牧場來說，原有草和 1

27、8星期新長出草的總量是 這些草能讓 90X 7.2 - 18=36 (頭) 牛吃 18個星期.答：36 頭牛 1 8個星期能吃完第三片牧場的草 .例20與例 1 9的解法稍有一點不一樣 .例 20把“新長的”具體地求出來，把“原有的”與“新長的”兩種量統(tǒng)一起來計算.事實上，如果例19再有一個條件，例如：“打開 B管,10 小時可以將滿池水排空 . ”也就可以求出“新長的”與“原有的”之間數(shù)量關(guān)系 . 但僅 僅是例 19所求，是不需要加這一條件 . 好好想一想，你能明白其中的道理嗎？牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現(xiàn) . 限于篇幅，我們只再舉一個例子 .例 21 畫展 9 點開門，但早

28、有人排隊等候入場 . 從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾 人數(shù)一樣多 .如果開 3個入場口， 9點9分就不再有人排隊，如果開 5個入場口， 9點 5 分就沒有人排隊 . 問第一個觀眾到達時間是 8 點幾分？ 解：設(shè)一個入場口每分鐘能進入的觀眾為 1 個計算單位 .從 9 點至 9 點 9 分進入觀眾是 3X 9， 從 9 點至 9 點 5 分進入觀眾是 5 X 5.因為觀眾多來了 9-5=4（分鐘），所以每分鐘來的觀眾是(3X 9-5 X 5)-( 9-5) =0.5.9 點前來的觀眾是 5X5-0.5X 5=22.5.這些觀眾來到需要 22.5-0.5=45(分鐘).答：第一個觀眾到達時間

29、是 8 點 15 分.例1、例2、例3、2-(3/10 -1/6)例4、=2-4/30例5、=15(天)挖一條水渠，甲、乙兩隊合挖要六天完成。甲隊先挖三天，乙隊接著挖一天，可 挖這條水渠的 3/10 ，兩隊單獨挖各需幾天？ 分析: 甲乙合作 1 天后, 甲又做了 2 天共 3/10-1/6=4/30例6、例7、1-（1/6-1/15）=10（ 天）答：甲單獨做要 15天,乙單獨做要 10天 .例2. 一件工作，如果甲單獨做，那么甲按規(guī)定時間可提前 2天完成，乙則要超過規(guī)定時 間 3 天才完成。現(xiàn)在甲乙二人合作二天后，剩下的乙單獨做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成。若甲乙二人合作，完成工作需多長時間？ 解

30、設(shè)：規(guī)定時間為X天.（甲單獨要X-2天,乙單獨要X+3天,甲一共做了 2天,乙一共做了 X 天） 1/(X- 2) X 2 + X/(X+3)=1X=12 規(guī)定要 12天完成 1-1/(12 -2)+1心2+3) =1-(1/6) =6 天 答： 兩人合作完成要 6天.例 3：一項工程，甲單獨做 63天，再由乙做 28天完成，甲乙合作需要 48天完成。甲先 做 42 天，乙做還要幾天？ 答：設(shè)甲的工效為 x, 乙的工效為 y 63x+28y=1 48x+48y=1 x=1/84 y=1/112乙還要做（1-42/84）/（1/112）=56（天）所以，這批零件共有2441/7 = 168 （個

31、）含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出一項工程 ”、 “一塊土地 ”、“一條水渠 ”、“一件工作 ”等，在解題時，常常用單位 “1”表示工作總量。數(shù)量關(guān)系】 解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作1，”這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量=工作效率 xX作時間工作時間=工作量 三工作效率工作時間=總工作量 一（甲工作效率+乙工作效率）解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例 1、一項工程，甲隊單獨做需要 1 0天完成，乙隊單獨做需要 15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？解 題中的 “一項工程 ”是工作總量， 由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位 “1”。由于甲隊獨做需 10 天完成，那么每天完成這項工程的1/10 ；乙隊單獨做需 15 天完成，每天完成這項工程1/10 1/15) 。的 1/15 ；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（由此可以列岀算式：1-( 1/10 + 1/15 )= 1-1/6= 6 (天)24答：兩隊合做需要 6 天完成。例 2、一批零件，甲獨做 6 小時完成，乙獨做