導(dǎo)學(xué)案025平面向量的概念及線性運算

1、濟寧學(xué)院附屬高中高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案編號024班級：高三()姓名:平面向量的概念及線性運算考綱要求1. 了解向量的實際背景.2. 理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義.3. 理解向量的幾何表示.4. 掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.5. 掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.6. 了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義. 考情分析1. 平面向量的線性運算是考查重點.2. 共線向量定理的理解和應(yīng)用是重點，也是難點.3. 題型以選擇題、填空題為主，常與解析幾何相聯(lián)系 教學(xué)過程基礎(chǔ)梳理1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有_又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的相同的向

2、量. 相反的向量.(2) 零向量：長度等于 的向量，其方向是任意的.(3) 單位向量：長度等于 的向量.(4) 平行向量：方向 或 的非零向量，又叫共線向量,規(guī)定：0與任一向量共線.(5) 相等向量：長度相等且(6) 相反向量：長度相等且(1) 定義：實數(shù) 入與向量a的積是一個向量，這種運算叫向量的數(shù)乘，記作，它的長度與方向規(guī)定如下： I入aU |入|a|;；當(dāng)入V 0時，入a與a的方向 當(dāng)入0時，入a與a的方向當(dāng)入=0時，入a = 0.(2) 運算律：設(shè)入，卩是兩個實數(shù)，則入(卩a)=(入卩)a :(入+卩)a =入a+卩a； 入(a + b)=入a+入b.4. 共線向量定理向量a(a豐0)

3、與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)入，使得雙基自測1. 下列給出的命題正確的是A. 零向量是唯一沒有方向的向量B. 平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個則a與c是方向相同的向量C. a與b是共線向量，b與c是平行向量,D.相等的向量必是共線向量2. 如右圖所示，向量a b等于A.B.4e1 2e22e1 4e2CD.3.e1 3e23e1 e2（教材習(xí)題改編）設(shè)a， b為不共線向量，AB= a+ 2b， BC= 4a b,CD= 5a 3b,則下列關(guān)系式中正確的是（）B. AD= 2BC.AD=-2BCA . AD= BCC . AD=-BCD4. 化簡：AB+ DA CD= _5. 已知a與b是兩

4、個不共線向量，且向量 a+入b與一（b 3a）共線，貝U入=典例分析考點一、平面向量的基本概念例1給出下列命題： 兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量； 若A，B，C, D是不共線的四點，貝U AB= DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充 要條件； 若a與b同向，且|a|>|b| ，則a>b； 入，卩為實數(shù)，若入a=卩b,則a與b共線.其中假命題的個數(shù)為（）A. 1B. 2C. 3D. 4 變式1設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個向量，則a=假命題的個數(shù)是（）B. 1D. 3|a|a0 ；若a與a0平行，則a= |a|a0 ；若a與a0平行且|a| = 1,則a= a0. 上述

5、命題中，A. 0C. 2方法總第涉及平面向量有關(guān)概念的命題的真假判斷， 準(zhǔn)確把握概念是關(guān)鍵；掌握向量與數(shù)的區(qū)別,充分利用反例進行否定也是行之有效的方法考點二、例2BA+ CM EF=平面向量的線性運算（2011 四川高考）如圖，正六邊形ABCDEI中, （ ）£> f.A. 0B. BECifC . ADD. CF變式1本例條件不變，求AC AF.變式2. （2012 杭州五校聯(lián)考）設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外, BC2 = 16,|AB + AC匸 |AB AC|，J則|AM| =(B. 4D. 1方法總結(jié)1. 進行向量運算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三

6、角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線定理、相似多邊形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)， 把未知向量用已知向量表示出來.實數(shù)運算中的去括號、移項、合并 提取公因式等變形手段在向量線性運算中同樣適用.運用上述法則可簡2. 向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算， 同類項、 化運算考點三、共線向量例3（2012 南昌模擬）已知向量a，b不共線，c = ka+ b（k R）, d = a b. 如果c / d，那么（）A. k= 1且c與d同向 B . k = 1且c與d反向C. k= 1且c與d同向 D . k= 1且c與d反向變式2e3. （2012 南通月考）設(shè)ei, e2是兩個不共線向量，已知A

7、B=1 8e2，CB= e1 + 3e2， CD= 2e1 e2.求證：A、B、D三點共線；若BF= 3e1 ke2，且B、D F三點共線，求k的值.方法總結(jié)1. 向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實數(shù) 入使b=入a.要注意通常 只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運 用.2. 證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點 共線.丄！一易錯矯矯正帶略0的特殊性導(dǎo)致的錯誤考題范例（2012 臨沂模擬）下列命題正確的是A.向量a、b共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)入，使b=入a；ABC中

8、, AB+ BC+ CA= 0;C不等式|a| |b| < |a + b| < |a| + |b|中兩個等號不可能同時成立;D.向量a、b不共線，則向量a+ b與向量a b必不共線失誤展板錯解一：a、b共線，必然是有且只有一個實數(shù) 入，使b=入a，故選A.錯解二：首尾相連，始終如一.在 ABC中，AB BC CA圍成 了一個封閉圖形，故AB+ BC+ CA= 0,故選B.錯解三：當(dāng)a與b同向時，式子中第一個等號不成立；當(dāng)a與b反向時，式子中 第二個等號不成立，當(dāng)兩個向量不共線時， 兩個等號都不成立，故兩個等號不可 能同時成立，故選C.錯因：錯解一，忽視了 aM0這一條件.錯解二，忽

9、視了 0與0的區(qū)別，AB+ BC + CA= 0;錯解三，忽視了零向量的特殊性，當(dāng) a= 0或b = 0時，兩個等號同時 成立.正確解答向量a與b不共線，b, a + b與a b均不為零向量.若a+ b與a b平行，則存在實數(shù)入，使a+ b=入（a b）,即（入一1）a = （1 +入）b，r 1二0 ，入無解，故假設(shè)不成立，即a+ b與a b不平行,11 + 入=0故選D.一條規(guī)律一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量 終點的向量.兩個防范（1）向量共線的充要條件中要注意“ aM0”，否則入可能不存在，也可能有無數(shù) 個.證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但

10、應(yīng)注意向量共線與三點共線的 區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量 平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合.本節(jié)檢測1. （2012 濰坊模擬）在四邊形ABCD中 AB = DC，且| AB | = | BC |，那么四 邊形ABC助（）A.平行四邊形C.長方形2 設(shè)P是 ABC所在平面內(nèi)的一點,B.菱形D.正方形BC + BA = 2 BP，則(A.PA + PB = 0B.PC + PA = 0PB + PC = 0D.PA + PB + PC = 0（2012 揭陽模擬）已知點0為 ABC外接圓的圓心，且3.則 ABC的內(nèi)角A等于（A.C.OA+OB+CO = 0,4.A.A.C.30°90°)B. 60°D. 120°（2012 銀川模擬）在 ABC中,D為AB邊上一點,若 AD = 2 DB , CD X入CB，則入的值為（b-3C.已知向量,其中a、b均為非零向量,則Ipl的取值范圍是（）0，邊(0,2B