冰塊融化模型2

1、冰塊融化模型-2作者:日期:題目組長：李桂林 2組員：劉文婷 2課程報告冰塊融化模型劉姣姣 2王佳佳 2院（系）:文理學院業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學岳宗敏指導教師:20 1 6年5月16日目錄摘要問題提出：1?模型假設:錯誤!未定義書簽。符號說明：建立模型2.模型的應用錯誤!未定義書簽。模型的檢驗4?模型的優(yōu)缺點？錯誤!未定義書簽。冰塊融化模型摘要據(jù)資料顯示:地球上的水資源有9 7%被鹽化，僅有3%是淡水資源，且大部分是 主要分布在南北兩極地區(qū)的固體冰川，眾所周知，水是生命的源泉，是人類賴以生 存和發(fā)展的重要物質(zhì)資源之一。而在一些淡水資源非常匱乏的地方，各種產(chǎn)水方 式應運而生，就比如建議之一是把冰山從

2、極地水域拖到南加州的近水岸水域，以期用融化的冰塊來提供淡水。而融化過程中，冰塊融化的體積又會隨著時間的流 逝發(fā)生什么樣的改變呢？而冰塊融化中這種改變又會受到哪幾種因素的制約呢?拋開幾種復雜因素，例如人為因素，溫度和濕度等，本文通過建立模型研究了水 資源短缺以期用融化的冰塊來提供淡水的問題。問題提出:美國的加利福尼亞州存在較嚴重的干旱問題 ，因此總在尋找著新的水資源。建 議之一是把冰山從極地水域拖到南加州的近水岸水域， 以期用融化的冰塊來提供 淡水。我們把冰塊設想成巨大的立方體（或長方體、棱錐體、等具有規(guī)則形狀的 固體），并且假定在融化過程中冰塊保持為立方體不變，現(xiàn)在的問題是，融化這樣 的冰塊需

3、要多長時間？模型假設:我們把冰塊設想成巨大的立方體（或長方體、棱錐體、等具有規(guī)則形狀的固體） 假定在融化過程中冰塊保持為立方體不變。冰塊體積的衰減率和冰塊表面積成正比。符號說明:立方體的邊長為：S體積V : V S3表面積S: S 6s2k:為常數(shù)，由很多因素決定，諸如周圍空氣的溫度和濕度以及是否有陽光等等。符號注釋:這里V和S、S均為t的可微函數(shù)，此外,我們假設冰塊體積的衰減率和 冰塊表面積成正比（注:由于融化現(xiàn)象發(fā)生在冰塊的表面，故改變表面積的大小葉 能改變冰的融化速度）。至此我們得到dVk6s2dt根據(jù)上述假設，比例因子 k是常數(shù)，負號表示體積不斷縮小，它依賴于很多因 素，諸如周圍空氣的

4、溫度和濕度以及是否有陽光等等。建立模型在這個問題里面，我們更想知道的是：要融化特定百分比的冰塊，需要多少時 間？為此，我們在此再提出一組假設條件。設在最前面的一個小時里冰塊被融化 的掉1/4的體積（我們也可以用字母n %來代替特定值，例如r小時融化掉 n%體 積的冰等），從而的得到如下數(shù)學問題：V s3,dVdtk6s2V 0Vo,V3 -V4現(xiàn)在要求使V 00的t值。利用復合函數(shù)求導公式，對Vs3兩邊關于時間t求導得dV c 2 ds3s 一 dt dt令3S2k6s2,我們可以得到dtds 2k dt上述表示立方體的邊長以每小時2k的常速度率在減少，因此若立方體邊長S的 初始長度為So，一

5、小時后為S So 2k，兩小時后為S2 So 4k 上述關系告訴我們,s, s0 2k ,S2 s12k 故冰塊全部融化的時間t為使得2kt So的t值，從而有SoSoSi1So33為例可得、4SSo4VoVo130.9111.1這說明，如果在1 分冰塊所需時間約為所以 小時里有1/4體積的立方體冰塊被融化，那么融化掉其余部1 1小時。模型的應用1. 從致冰廠購買了一塊立方體的冰塊，在運輸途中發(fā)現(xiàn)，第一小時大約融化了1/4， (1 )從致冰廠購買了一塊立方體的冰塊，在運輸途中發(fā)現(xiàn)，一小時大約融化了 1 /4求冰塊全部融化要多長時間(設氣溫不變)？(2)如運輸時間需要2.5小時，問：運輸途中冰塊

6、大約會融化掉多少？1解：設立方體的邊長為：S,體積V:V =S3,表面積S: S=6s2由于V和S、S均為t的可微函數(shù)，此外，我們假設冰塊體積的衰減率和冰塊表 面積成正比，第一步:根據(jù)體積的變化率正比于冰塊的表面積列出關系式k6S2,k odt因為體積是單調(diào)下降的dV，故dt的右端加負號第二步:V S3,dVk6S2dts3兩邊關于時間t求導得dVdt3S2dS所以 dt2k6s2空2k Sdt 解得：2kt c to S令，得So第三步：因此在t1時，冰塊邊長S So2k，根據(jù)題設第一小時大約融化了1/4,3可列出So 2k3 S3,得出So4312k y -S3 ,所以 k 1 1第四步:

7、故冰塊全部融化，即S0,又由1和2得出:2 解:2中所需要的步驟同第1題中第一步，第二步,第三步相同,第四步:當運輸時間需要2 .5小時：由S s02kt 得:S2.5 Sd 2k*2.5So 5k冰塊全部融化的時間為t使得:2kt So又由（1）題第三步中k3S2.5So3So 5kSoSoSo0.5Vo0.4590 0.5 -2運輸時間為2.5小時時,運輸途中冰塊大約會融化掉原體積vo的£。模型的檢驗目前有一塊體積為1立方米的冰塊，在溫度不變的情況下手工計算體積隨時間的 變化情況：融化時間/h012345剩余體積m310. 7 5000.545 60.38220.25510 .1600678910110.09200.0 40. 01940 .00 50 .0 0 00 .06756000實際測量的結(jié)果:融化時間/h012345剩余體積m310.72990.532 80. 370. 2 6580.1 5 571 367891 0110.09320.04 30.02010. 0 0 40.000100 .0 0 0290通過對比上面兩個表格，此模型計算出的數(shù)據(jù)與實驗測得的數(shù)據(jù)誤差最大為 0. 02 0 1。因此模型可以使用。模型的優(yōu)缺點優(yōu)點:1.建立的模型能與實際緊密聯(lián)系，結(jié)合實際情況即人類的飲用水對所提出的問 題進行求解