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文檔簡介

正方形的對(duì)角線與邊不可公度的代數(shù)證明定理 是無理數(shù).證明（反證法）假定定理的結(jié)論不成立：不是無理數(shù)，而是有理數(shù)，即。通過約分，我們一定可以得到p和q沒有公因數(shù).這樣一來，p,q不會(huì)同時(shí)是偶數(shù)，由于 ，平方得。所以，是偶數(shù)，從而p也是偶數(shù).設(shè)p=2r（r是整數(shù)），這時(shí)上式變?yōu)榧?這樣，是偶數(shù)，從而q也是偶數(shù)，這與p,q不會(huì)同時(shí)是偶數(shù)相矛盾.假設(shè)是有理數(shù)導(dǎo)致了矛盾.因此，必須放棄這個(gè)假設(shè).定理證畢.這個(gè)證明可以在歐幾里得的幾何原本找到，實(shí)際上遠(yuǎn)在歐幾里得之前就已經(jīng)有了證明。這是間接證明的一個(gè)最經(jīng)典的例子。正方形的對(duì)角線與邊不可公度的幾何證明。證明的基本思想是，從任一個(gè)正方形開始，我們可以構(gòu)造一系列正方形，其中一個(gè)比一個(gè)小。圖1ABCD 圖2如圖2所示，在正方形中，令，。在對(duì)角線上，截取。再作線段垂直于E，并交于。容易證明因此，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，我們有。在直角三角形中， ，從而三角形是等腰三角形，自然有。接著，我們構(gòu)造第二個(gè)正方形，它以為邊，以為對(duì)角線。這個(gè)過程可以永遠(yuǎn)重復(fù)下去，得到一系列越來越小的正方形，它們的邊和對(duì)角線滿足關(guān)系式：。幾何構(gòu)造過程已經(jīng)結(jié)束，現(xiàn)在證明正方形的邊和對(duì)角線是不可公度的。仍用反證法。如果它們是可公度的，則一定存在一個(gè)更小的線段，使得于是，這里。重復(fù)這個(gè)過程，就得到現(xiàn)在我們得到了矛盾。因?yàn)?/p>

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