【奧賽】小學數(shù)學競賽：數(shù)的整除之四大判斷法綜合運用(二).教師版解題技巧培優(yōu)易錯難

1、X-s= L 5-2-2.數(shù)的整除之四大判斷法綜合運用（二）,且M歸 教學目標1 . 了解整除的性質；2 .運用整除的性質解題；3 .整除性質的綜合運用."W昨 知識點撥一、常見數(shù)字的整除判定方法1 . 一個數(shù)的末位能被 2或5整除，這個數(shù)就能被 2或5整除； 一個數(shù)的末兩位能被 4或25整除，這個數(shù)就能被 4或25整除； 一個數(shù)的末三位能被 8或125整除，這個數(shù)就能被 8或125整除；2 . 一個位數(shù)數(shù)字和能被 3整除，這個數(shù)就能被 3整除；一個數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被 9整除，這個數(shù)就能被 9整除；3 .如果一個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個數(shù)

2、能被 11整除.4 .如果一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么這個數(shù)能被 7、11或13整除.5.如果一個數(shù)能被 99整除，這個數(shù)從后兩位開始兩位一截所得的所有數(shù)（如果有偶數(shù)位則拆出的數(shù)都有兩個 數(shù)字，如果是奇數(shù)位則拆出的數(shù)中若干個有兩個數(shù)字還有一個是一位數(shù)）的和是99的倍數(shù)，這個數(shù)一定是99的倍數(shù)。【備注】（以上規(guī)律僅在十進制數(shù)中成立 .）二、整除性質性質1如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被c整除.即如果cl a,c | b,那么 c I （aib）.性質2如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除.即如果b I a,c

3、 I b,那么 c I a.用同樣的方法，我們還可以得出：性質3如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除.即如果bc I a,那 么 b I a, c I a.性質4 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質，那么a 一定能被b與c的乘積整除.即如果 b I a, c I a,且（b, c）=1,那么bc I a.例如：如果 3 I 12, 4 I 12,且（3, 4）=1 ,那么（3 沖）I 12.性質5如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除.如果 b | a,那么bm | am （m為非0整數(shù)）；性質6如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么ac也能

4、被bd整除.如果 b | a ,且d | c ,那 么 bd | ac;目IM隹例題精講模塊一、11系列【例1】 以多位數(shù)142857為例，說明被11整除的另一規(guī)律就是看奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能 否被11整除.【考點】整除之11系列【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】142857 1 100000 4 10000 2 1000 8 100 5 10 7 11 (100001 1) 4 (1 9999) 2 (1001 1) 8 (1 99) 5 (11 1) 7 1(1 100001 4 9999 2 1001 8 99 5 11) (4 1 8 2 7 5)因為根據(jù)整除性質

5、 1和鋪墊知，等式右邊第一個括號內的數(shù)能被11整除，再根據(jù)整除性質 1,要判斷142857能否被11整除，只需判斷4 1 8 2 7 5 (4 8 7) (1 2 5)能否被11整除，因此結 論得到說明.【例2】 試說明一個4位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的和一定是11的倍數(shù)(如：1236為原序數(shù)，那么它對應的反序數(shù)為6321,它們的和7557是11的倍數(shù).【考點】整除之11系列【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】設原序數(shù)為 abcd ,則反序數(shù)為dcba ,則abcd + dcba (1000a 100b 10c d) (1000d 100c 10b a)1001a 110b 110c 1001

6、d11(91a 10b 10c 91d),因為等式的右邊能被 11整除，所以abcd dcba能被11整除【例3】 一個4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構成一個新的4位數(shù).已知這兩個4位數(shù)的和是以下 5個數(shù)的一個：9865;9866;9867;9868 ;9869.這兩個4位數(shù)的和到底是多少 ？【考點】整除之11系列【難度】2星【題型】解答【解析】設這個4位數(shù)是Obcd ,則新的4位數(shù)是嬴.兩個數(shù)的和為abcd bcda 1001a 1100b 110c 11d，是11的倍數(shù) 在所名的5個數(shù)中只有9867是11的倍數(shù)，故 正確的答案為9867.【答案】9867模塊二、7、11、13系列例4 以多

7、位數(shù)142857314275為例，說明被7、11、13整除的規(guī)律.【考點】整除之 7、11、13系列【難度】3星【題型】解答【解析】略【答案】142857314275 142 1000000000 857 1000000 314 1000 275142 (1000000001 1) 857 (999999 1) 314 (1001 1) 275142 1000000001 142 857 999999 857 314 1001 314 275(142 1000000001 857 999999 314 1001) (857 142 275 314)因為根據(jù)整除性質1和鋪墊知，等式右邊第一個括號

8、內的數(shù)能被 7、11、13整除，再根據(jù)整除性質1, 要判斷142857314275能否被7、11、13整除，只需判斷857 142 275 314能否被7、11、13整除， 因此結論得到說明.【例5】 已知道六位數(shù)20口 279是13的倍數(shù)，求 口中的數(shù)字是幾？【考點】整除之 7、11、13系列 【難度】2星【題型】填空【解析】根據(jù)一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么這個數(shù)能被7、11或13整除的特點知道：279 20D =范，元是13的倍數(shù)，口是8的時候是13倍數(shù)，所以知道 方格中填1?！敬鸢浮?【例6】 三位數(shù)的百位、十位和個位的數(shù)字分別是5, a和b

9、,將它連續(xù)重復寫2008次成為：祠麗彳菽.2009個5ab如果此數(shù)能被91整除，那么這個三位數(shù)5ab是多少？【考點】整除之 7、11、13系列【難度】3星【題型】填空【解析】因為91 7 13,所以5ab54bL445ab也是7和13的倍數(shù)，因為能被 7和13整除的特點是末三位和2009個5ab前面數(shù)字的差是 7和13的倍數(shù)，由此可知5a45abL 445ab 5ab 5a454bL 4 45ab000也是7和13的 2008 個 5ab2007個 5ab倍數(shù)，即5ab5ak2L4_ 45ab也是7和13的倍數(shù)，依次類推可知5a45a.4_ 45ab末三位和前面數(shù)字的差2007個5ab2007

10、個5ab即為：5a45a. 445ab 5ab ?ab5a.理 453b000 也是 7 和 13 的倍數(shù)，即 5ab5a.i 453b 也是 7 和 2006個5ab2005個5ab2005個5ab13的倍數(shù)，由此可知5ab也是7和13的倍數(shù)，百位是5能被7和13即91整除的數(shù)是：91 6 546, 所以ab 46 .【答案】546【例7】 已知四H一位數(shù)55L 5口99L 9 （其中5和9各有20個）能被7整除，那么中間方格內的數(shù)字是多 少？【考點】整除之 7、11、13系列 【難度】4星【題型】填空【解析】我們知道abcabc這樣的六位數(shù)一定能被 7、11、13整除。原41位數(shù)中從高位數(shù)

11、起共有20個5,從低位數(shù)起共有 20個9,那么我們可以分別從低位和高位選出555555,和999999,從算式的結構上將就 是進行 加法的 分拆， 即：555555X 1000（35 個 0）+555555 X 1000（29 個 0）+ +55 99+999999 X 1000（120）+999999.這個算式的和就是原來的41位數(shù)，我們可以發(fā)現(xiàn)每一組含有555555或999999因數(shù)的部分都已經是 7的倍數(shù)，唯獨剩余55口 99寺定，那么只要令55D99 是7的倍數(shù)即可，即只要 口44是7的倍數(shù)即可，匚應為6?！敬鸢浮?【鞏固】應當在如下的問號的位置上填上哪一個數(shù)碼，才能使得所得的整數(shù)66

12、L36?55235可被7整除？50個650個5【考點】整除之 7、11、13系列【難度】4星【題型】填空【解析】由于111111 111 1001可被7整除，因此如果將所得的數(shù)的頭和尾各去掉48個數(shù)碼，并不改變其對7的整除性，于是還剩下66?55”.從中減去63035,并除以10,即得 3?2 ”可被7整除.此時不難驗證，具有此種形式的三位數(shù)中，只有 322和392可被7整除.所以？處應填 2或9.【答案】2或9 例8 8ab8ab8ab8ab8ab是77的倍數(shù)，貝U ab最大為?【考點】整除之 7、11、13系列【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，4年級，第9題解析8ab8ab8a

13、b8ab8ab 8ab 1001001001001100100100100班不是7的倍數(shù)，也不是11的倍數(shù)所以8ab是7和11的倍數(shù)77 10 770, 770 77 847, 847 77 924所以ab 47【答案】47 【例9】一個19位數(shù)772 4f70444 2 444能被13整除，求。內的數(shù)字.99【考點】整除之7、11、13系列【難度】4星【題型】填空【解析】13|77247704442 434,99.131772 437 0444 ,13|7777770000000+7770444913|777777, . 13|7777770000000, . 13|7770444 ,，13

14、|7770 444444 13 43L 2,，13|7770 2, .二設 7770 =77707770 13 597L 9 , . 0 13 (9 2) 6【答案】6【例10】稱一個兩頭(首位與末尾)都是 1的數(shù)為 兩頭蛇數(shù)”。一個四位數(shù)的 兩頭蛇數(shù)”去掉兩頭，得到一 個兩位數(shù)，它恰好是這個“兩頭蛇數(shù)”的約數(shù)。這個“兩頭蛇數(shù) 是。(寫出所有可能)考點整除之 7、11、13系列 【難度】4星題型填空【關鍵詞】走美杯，5年級，決賽，第9題，10分【解析】去掉頭尾后的兩位數(shù)必為 1001的約數(shù)。1001的兩位數(shù)的約數(shù)有11, 13, 77, 91,所有可能的數(shù)為 1111, 1131, 1771,

15、 1911?！敬鸢浮克锌赡艿臄?shù)為 1111, 1131, 1771, 1911模塊三、特殊的數(shù)字系列【例11】學生問數(shù)學老師的年齡老師說：由三個相同數(shù)字組成的三位數(shù)除以這三個數(shù)字的和，所得結果就是我的年齡。"老師今年 歲。【考點】整除之特殊的數(shù)字系列【難度】2星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，3年級，決賽，第10題，12分【解析】方法一：操作找規(guī)律，當這個三位數(shù)為111時，111 (1 1 1) 37 ,當這個三位數(shù)為222時,222 (2 2 2) 37,所以老師今年37歲。方法二，設而不求設這個三位數(shù)為aaa時，根據(jù)題意列出式子整理得到：111a (a a a) 37。【答案】3

16、7【例12 已知兩個三位數(shù)abc與def的和abc def能被37整除，試說明：六位數(shù) abcdef也能被37整除.【考點】整除之特殊的數(shù)字系列【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】abcdef abc 1000 def abc 999 (abc def),因為999能被37整除，所以abc 999能被37整 除，而(abc def)也能被37整除，所以其和也能被 37整除，即abcdef能被37整除.【例13】一個4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構成一個新的4位數(shù)再將新的4位數(shù)的千位數(shù)字移到右端構成一個更新的四位數(shù)，已知最新的4位數(shù)與最原先的4位數(shù)的和是以下 5個數(shù)的一個：9865;986

17、7;9462;9696;9869.這兩個4位數(shù)的和到底是多少 ？【考點】整除之特殊的數(shù)字系列【難度】2星【題型】解答【解析】設這個4位數(shù)是Obcd ,則最新的4位數(shù)是cdOB.兩個數(shù)的和為abcd cdab 1010a 101b 1010c 101d是101的倍數(shù).在所Z的5個數(shù)中只有 9696是101的倍數(shù)， 故正確的答案為 9696.【答案】9696【例14】一個六位數(shù)各個數(shù)字都不相同，且這個數(shù)字能被17整除，則這個數(shù)最小是 ?【考點】整除之特殊的數(shù)字系列【難度】2星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，4年級，第11題【解析】 各個數(shù)字不同的六位數(shù)最小是 123456, 123456 17 7

18、26227263 17 123471, 123471 17 123488, 123488 17 123505, 123505+17=123522, 123522 17 123539, 123539 17 123556, 123556 17 123573, 123573 17 123590 最小是123590【答案】123590【例15 王老師在黑板上寫了這樣的乘法算式：12345679 ( ) ，然后說道：只要同學們告訴我你們喜歡1,2,3,4,5,6,7,8,9中的哪個數(shù)，我在括號里填上適當?shù)某藬?shù)，右邊的積一定全由你喜歡的數(shù)字組成?！毙∶鲹屩f：我喜歡3。”王老師填上乘數(shù)“27'結果

19、積就出現(xiàn)九個3;12345679 (27) 333333333小宇舉手說： 我喜歡7?！敝灰娡趵蠋熖钌铣藬?shù)“63；積久出現(xiàn)九個 7:12345679 (63) 777777777 ,小麗說： 我喜歡8。”那么算式中應填上的乘數(shù)是 .【考點】整除之特殊的數(shù)字系列【難度】2星【題型】填空【解析】實際上有12345679 9 111111111,因此12345679乘以9n (n為1,2,3,4,5,6,7,8,9得到的積就能出現(xiàn)9 個n ,所以要想得到9個8應該乘以72【答案】72模塊四、綜合系列【例16】有四個非零自然數(shù)a,b,c,d ,其中c a b, d b c如果a能被2整除，b能被3整除

20、，c能 被5整除，d能被7整除，那么d最小是.【考點】整除之綜合系列【難度】2星【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，高年級，復賽， 6題【解析】令a 2k,b 3l ,則d 6l 2k ,因為d能被7整除，最小14,此時c取不到5的倍數(shù)；若d 28 , 則l 4,k 2 ,所以d最小是28.【答案】28【例17若四位數(shù)9a8a能被15整除，則a代表的數(shù)字是多少？【考點】整除之綜合系列【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】希望杯，五年級，復賽，第4題，6分【解析】因為15是3和5的倍數(shù)，所以輻既能被3整除，也能被5整除.能被5整除的數(shù)的個位數(shù)字是 0 或5,能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的和是 3的倍數(shù).當a

21、0時，9 a 8 a 17,不是3的倍數(shù)； 當a 5時，9 a 8 a 17,是3的倍數(shù).所以，a代表的數(shù)字是5【答案】5【例18】在六位數(shù)3口2口1口的三個方框里分別填入數(shù)字，使得該數(shù)能被15整除，這樣的六位數(shù)中最小的是.【考點】整除之綜合系列【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，五年級，初賽，第 13題，5分【解析】15=5X3,最小數(shù)為302010【答案】302010【例19】06這7個數(shù)字能組成許多個沒有重復數(shù)字的7位數(shù)，其中有些是55的倍數(shù)，最大的一個是()?！究键c】整除之綜合系列【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第 8題【解析】如果組成的7位數(shù)是55的倍數(shù)，55 11 5說明這個數(shù)既是5的倍數(shù)也是11的倍數(shù)。能被5整除個 位為5或者0,能被11整除說明這7位數(shù)的奇數(shù)位與偶數(shù)位的差是11的倍數(shù)，為0、11、22，0 1 2 3 4 5 6 21,拆成的兩組數(shù)的差分別為：5和16, 5 0 1 4 0 2 3,16 6532654 1,又因為組成的數(shù)要最大為：6431205或者6342105,所以答案為6431205 【答案】6431205【例20】兩個四位數(shù)A275和275B相乘，要使它們的乘積能被72整除，求A和B.【考點】整除之綜合系列【難度】2星【題型】解答【解析】考慮到72 8 9,而A275是奇數(shù)，所以275B必為8的倍數(shù)，因