2020-2021中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)的綜合題試題含答案解析

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)的綜合題試題含答案解析一、二次函數(shù)21 .如圖，對稱軸為直線 x1的拋物線y ax bx c a 0與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（一3, 0）. 若點(diǎn)P在拋物線上，且 S POC 4s BOC ,求點(diǎn)P的坐標(biāo)； 設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動點(diǎn)，作 QD）± x軸交拋物線于點(diǎn) D,求線段QD長度的最大值.【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,0）.（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4, 21）或（一4, 5）.線段QD長度的最大值為 -.4【解析】【分析】（1）由拋物線的對稱性直接得點(diǎn)B的坐標(biāo).（2）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，得到S boc

2、 ,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)Spoc 4S boc列式求解即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).用待定系數(shù)法求出直線 AC的解析式，由點(diǎn) Q在線段AC上，可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（q,-q- 3）,從而由QDx軸交拋物線于點(diǎn) D,得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（q,q2+2q-3）,從而線段QD等于兩點(diǎn) 縱坐標(biāo)之差，列出函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求解【詳解】解：（1） ,A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸 x 1對稱，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為（一3, 0）,.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,0）.二.拋物線a 1 ,對稱軸為x 1 ,經(jīng)過點(diǎn)A （3, 0）,2a9a2 3b c拋物線的解析式為 y x2 2x 3.一- c _ 1_3，B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（0, 3）.，OB=

3、1,OC=3.，Sboc -1 3-.23 ip /22設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p,p2+2p-3),則S POC八一3八一一 S POC 4s BOC，一p 6 ,斛仔 p2當(dāng) p 4時(shí) p2 2p 3 21 ；當(dāng) p 4 時(shí)，p2 2p 3 5, 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4, 21)或(4, 5). 設(shè)直線AC的解析式為y kx b ,將點(diǎn)A, C的坐標(biāo)代入，得:3k bb 3 直線AC的解析式為y x 3. 點(diǎn)Q在線段AC上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（q,-q-3）.又 QD,x軸交拋物線于點(diǎn) D, 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（q,q2+2q-3）.2八 2八 八2八39 1 QD q 3 q 2q 3 q 3q q -24 ,

4、 a 1< 0 , -3< 3< 02，、， 9線段QD長度的最大值為 一.42.如圖，拋物線y= - x2-2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸 交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M(m , 0)為線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線 AC交于點(diǎn)E,與拋物線交于點(diǎn) 巳 過點(diǎn)P作PQ/AB交拋物線于點(diǎn) Q,過點(diǎn)Q作QNx軸 于點(diǎn)N,可得矩形PQNM.如圖，點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，試用含 m的式子表示矩形 PQNM的 周長；(3)當(dāng)矩形PQNM的周長最大時(shí)，m的值是多少？并求出此時(shí)的 4AEM的面積；(4

5、)在(3)的條件下，當(dāng)矩形 PMNQ的周長最大時(shí)，連接 DQ,過拋物線上一點(diǎn) F作y軸的平 行線，與直線 AC交于點(diǎn)G(點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方).若FG= 2 V2DQ,求點(diǎn)F的坐標(biāo).【答案】(1)A(3, 0), B(1, 0); C(0, 3) ; (2)矩形 PMNQ 的周長=-2m2-8m+2; (3) m = 2; S= 1; (4)F( 4, - 5)或(1, 0).2【解析】【分析】(1)利用函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，求出點(diǎn) A, B, C的坐標(biāo)；(2)先確定出拋物線對稱軸，用 m表示出PM, MN即可；(3)由(2)得到的結(jié)論判斷出矩形周長最大時(shí)，確定出 m,進(jìn)而求出直線 AC解

6、析式, 即可；(4)在(3)的基礎(chǔ)上，判斷出 N應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，求出DQ=DC= 應(yīng)，再建立方程(n+3) - (- n2-2n+3) = 4即可.【詳解】(1)由拋物線 y=x22x+3 可知，C(0, 3).令 y=0,貝U 0= x2- 2x+3,解得，x=- 3或乂= l,.A(- 3, 0), B(1 , 0).(2)由拋物線y= - x2- 2x+3可知，對稱軸為x= - 1 . M(m, 0),PM = - m2 - 2m+3, MN = (- m-1)X2= - 2m-2, .矩形 PMNQ 的周長=2(PM+MN) = ( m22m+3 2m 2) X2= -

7、2m28m+2 .(3) / -2m2-8m+2 = -2(m+2)2+10,，矩形的周長最大時(shí)，m = - 2.,. A(- 3, 0), C(0, 3),設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)= kx+b,3k b 0b 3解得 k= l, b = 3,解析式y(tǒng)=x+3,令 x= - 2,則 y= 1, -E(- 2, 1),，EM = 1, AM = 1,1 1.S= AMK EM=.22(4) . M(-2, 0),拋物線的對稱軸為 x=- l,，N應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合， .DQ=DC,把 x= - 1 代入 y= - x2 - 2x+3,解得 y=4, D( - 1, 4), ,-.dq=dc

8、= 72 - . FG= 2 J2DQ, . FG= 4.設(shè) F(n, - n2 - 2n+3),則 G(n, n+3), 點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方且FG= 4, (n+3) - (- n2- 2n+3)=4.解得n= - 4或n = 1, F(-4, - 5)或(1, 0).【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)極值的確定，解本題的關(guān)鍵是用m表示出矩形PMNQ的周長.3.如圖，已知拋物線 y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，與y軸交于 點(diǎn)C (0, 3),對稱軸是直線 x=1,直線BC與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)D.(1)求

9、拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式； 當(dāng)線段PQ=3AB時(shí)，求tan/CED的值； 4當(dāng)以點(diǎn)C D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)點(diǎn)E為y軸上一動點(diǎn)，CE的垂直平分線交 CE于點(diǎn)F,交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P 在第三象限.題鹵省期圖【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2x-3. ( 2)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3. (3) 2 . Pi ( 1應(yīng)，2) , P2 ( 1巫，I ) .324【解析】【分析】已知C點(diǎn)的坐標(biāo)，即知道 OC的長，可在直角三角形BOC中根據(jù)/ BCO的正切值求出 OB的長，即可得出 B點(diǎn)的坐標(biāo).已知了 4AOC

10、和BOC的面積比，由于兩三角形的高相等， 因此面積比就是 AO與OB的比.由此可求出 OA的長，也就求出了 A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù) A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.【詳解】(1) 拋物線的對稱軸為直線 x=1,一=上=1 2a 2 1 .b=-2 .拋物線與y軸交于點(diǎn)C (0, -3), . c=-3)，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y=x2-2x-3 ；(2)二.拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng) y=0 時(shí)，x2-2x-3=0.1. x1=-1 , x2=3.A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，.A (-1, 0) , B (3, 0)設(shè)過點(diǎn)B (3, 0)、C (0,-3)的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=

11、kx+m,0= 3k m則，3= mk=1m= 3直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3;一3(3).=4, PQ=-AB,4PQ=3.PQy 軸 .PQ/ x 軸，3則由拋物線的對稱性可得PM= 3 ,2;對稱軸是直線 x=1,1 P至1J y軸的距離是一，2_ 1，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-,4)i.p (-，2.F (0, - 7),47 5 " FC=3-OF=3=4 4 PQ垂直平分CE于點(diǎn)F,5，CE=2FC=2 點(diǎn)D在直線BC上， 當(dāng) x=1 時(shí)，y=-2,則 D (1, -2),過點(diǎn)D作DG, CE于點(diǎn)G, .DG=1, CG=1,.GE=CE-CG=5 -1 = 3 .22.GD

12、2在 RtEGD 中，tan Z CED=一.EG 3p 1(1-T2, -2), P2(1-6, -2)(2-a),設(shè) OE=a,則 GE=2-a, 當(dāng)CE為斜邊時(shí)，則 DG2=CG?GE即1= (OC-OG .1=1 x(2-a),a=1,.CE=2, .OF=OE+EF=2，F(xiàn)、P的縱坐標(biāo)為-2,把y=-2,代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2x-3得: 點(diǎn)P在第三象限.Pi ( 1- V2，-2),當(dāng)CD為斜邊時(shí)，DE± CE,，OE=2, CE=1, .OF=2.5,5.P和F的縱坐標(biāo)為：-,2把y=-5,代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2x-3得：x=1-亭，或1 +當(dāng)

13、，丁點(diǎn)P在第三象限.El乎 -5)綜上所述：滿足條件為Pl (1-J2, -2) , P2 (1-6, -5) .【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求 法.在求有關(guān)動點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果.4.童裝店銷售某款童裝，每件售價(jià)為60元，每星期可賣100件,為了促銷該店決定降價(jià)銷售 經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元,每星期可多賣10件，已知該款童裝每件成本 30元，設(shè)降價(jià)后該款童裝每件售價(jià) X元，每星期的銷售量為 y件.降價(jià)后，當(dāng)某一星期的銷售量是未降價(jià)前一星期銷售量的3倍時(shí)，求這一星期中每件童裝降價(jià)多少元？(2)當(dāng)每件售價(jià)定為多少元時(shí)，一星

14、期的銷售利潤最大，最大利潤是多少？【答案】(1)這一星期中每件童裝降價(jià)20元；(2)每件售價(jià)定為50元時(shí)，一星期的銷售利潤最大，最大利潤 4000元.【解析】【分析】(1)根據(jù)售量與售價(jià) x (元/件)之間的關(guān)系列方程即可得到結(jié)論.(2)設(shè)每星期利潤為 W元，構(gòu)建二次函數(shù)利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題.【詳解】解：(1)根據(jù)題意得，(60-x) X 10+100= 3X 100解得：x=40,60- 40=20%,答：這一星期中每件童裝降價(jià)20元；(2)設(shè)利潤為w,根據(jù)題意得，w= (x-30) (60-x) X 10+100卜-10x2+1000x- 21000 =-10 (x- 50) 2+40

15、00,答：每件售價(jià)定為 50元時(shí)，一星期的銷售利潤最大，最大利潤4000元.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次不等式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題， 利用圖象法解一元二次不等式，屬于中考常考題型.5.某賓館客房部有60個房間供游客居住，當(dāng)每個房間的定價(jià)為每天200元時(shí)，房間可以住滿.當(dāng)每個房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會有一個房間空閑.對有游客入住的房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費(fèi)用.設(shè)每個房間每天的定價(jià)增加x元.求：(1)房間每天的入住量 y (間)關(guān)于x (元)的函數(shù)關(guān)系式；(2)該賓館每天的房間收費(fèi)p (元)關(guān)于x (元)的函數(shù)關(guān)系式；(3)該賓館客房部每天的

16、利潤 w (元)關(guān)于x (元)的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)每個房間的定價(jià)為每天多少元時(shí)，w有最大值？最大值是多少？【答案】(1) y=60-; (2) z=-x2+40x+12000; (3) w=-x2+42x+10800,當(dāng)每個房 101010間的定價(jià)為每天 410元時(shí)，w有最大值，且最大值是 15210元.【解析】試題分析：(1)根據(jù)題意可得房間每天的入住量=60個房間-每個房間每天的定價(jià)增加的錢數(shù)+10(2)已知每天定價(jià)增加為 x元，則每天要(200+x)元.則賓館每天的房間收費(fèi)=每天的實(shí)際定價(jià) 明間每天的入住量；(3)支出費(fèi)用為 20X (60-)，則利潤 w= (200+x) ( 60- -x

17、) - 20X(60-x),101010利用配方法化簡可求最大值.試題解析：解：(1)由題意得：xy=60 10x、12(2) p= (200+x) ( 60- -) =- x +40x+12000一 一 x 一 x(3) w= (200+x) (60) - 20X (60)10101 2=- - x +42x+10800101=-一(x- 210) 2+1521010當(dāng)x=210時(shí)，w有最大值.此時(shí)，x+200=410,就是說，當(dāng)每個房間的定價(jià)為每天410元時(shí)，w有最大值，且最大值是15210 元.點(diǎn)睛：求二次函數(shù)的最大(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式

18、法.本題主要考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，難度一般.6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個頂點(diǎn)B (1,0)、C (3, 0)、D (3,1 ” 4).以A為頂點(diǎn)的拋物線 y=ax2+bx+c過點(diǎn)C.動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒 個單位的2速度沿線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒.過點(diǎn)P作PE± x軸交拋物線于點(diǎn) M,交AC(2)(3)線段當(dāng)t為何值時(shí)，4ACM的面積最大？最大值為多少？點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段 CD向點(diǎn)D運(yùn)動，當(dāng)t為何值時(shí)，在PE上存在點(diǎn)H,使以C Q、N、H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？【答案】(1) A (1, 4) ; y=x2+2x+3; (2

19、)當(dāng)t=2時(shí)，AMC面積的最大值為201； (3) 20 8J5 或一13(1)由矩形的性質(zhì)得到點(diǎn) A的坐標(biāo)，由拋物線的頂點(diǎn)為 A,設(shè)拋物線的解析式為 y = a (x-1) 2+4,把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得 a的值；(2)由點(diǎn)P的坐標(biāo)以及拋物線解析式得到點(diǎn) M的坐標(biāo)，由A、C的坐標(biāo)得到直線 AC的解 析式，進(jìn)而得到點(diǎn) N的坐標(biāo)，即可用關(guān)于 t的式子表示 MN,然后根據(jù) ACM的面積是 AMN和4CMN的面積和列出用t表示的4ACM的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到當(dāng)t=2時(shí)，4AM C面積的最大值為1;(3) 當(dāng)點(diǎn)H在N點(diǎn)上方時(shí)，由 PN =CQ, PN/ CQ得到四邊形 PNCQ為平行四邊

20、形， 所以當(dāng)PQ= CQ時(shí)，四邊形FECQ為菱形，據(jù)此得到+(4 J ,解得t值; 當(dāng)點(diǎn)H在N點(diǎn)下方時(shí)， NH=CQ=, NQ=CQ時(shí)，四邊形NHCQ為菱形，NQ2=CQ2,得： (2 + 0-2/)2 :八，解得 t 值.解：(1)由矩形的性質(zhì)可得點(diǎn) A (1, 4),;拋物線的頂點(diǎn)為 A,設(shè)拋物線的解析式為 y=a (x1) 2+4,代入點(diǎn)C (3, 0),可得a= - 1 . ,y= - (x1) 2+4=x2 + 2x+3.1(2) P (1 t , 4),2心 ，11 2將x 1 t代入拋物線的解析式，y= ( x1) 2+4= 4 t ,24一 1,1,2、 . M (1 -t ,

21、 4 t ),24設(shè)直線AC的解析式為y = ir + /),將 A(l,4), C(3,0)代入 y - A,v + b ,得：y = -2, + 6 ,1將x 1 t代入得丁 = 4 一 f,2,1N (1 -t , 4-1 ),21，_ 1MN 三-)一(-jf -IMN =廣+ / = (一？/】，當(dāng)t=2時(shí)，AMC面積的最大值為1 .(3)如圖1 ,當(dāng)點(diǎn)H在N點(diǎn)上方時(shí)，一 11 ,、. N ( 1 2t, 4-f)，P (1 -t, 4), .PN=4 (4-1) = 1 = CQ, 又 PN/ CQ,四邊形PNCQ為平行四邊形，當(dāng)PQ= CQ時(shí)，四邊形FECQ為菱形， PQ2= P

22、D2+DQ2 = 2；F+(4 爐，. .(2 ；f十(4尸=r ,整理，得t240t 80 0 .解得t1208拆,t220875(舍去)；如圖2當(dāng)點(diǎn)H在N點(diǎn)下方時(shí)，NH=CQ=, NQ=CQ時(shí)，四邊形 NHCQ為菱形,NQ2 = CQ2,得：（2 = .220整理，得 13t2 72t 800 0. 13t 20 t 400 .所以 t1 一，F(xiàn) = 4 （舍去）13圖2尊睛”此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會用頂點(diǎn)式求拋物線，會用兩點(diǎn)法求直線解析 式，會設(shè)點(diǎn)并表示三角形的面積，熟悉矩形和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵2 -7 .已知拋物線 y x (5 m)x 6 m .(1)求證：該拋物線與

23、x軸總有交點(diǎn)；(2)若該拋物線與x軸有一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于3且小于5,求m的取值范圍；(3)設(shè)拋物線yx2 (5 m)x 6 m與y軸交于點(diǎn)M,若拋物線與x軸的一個交點(diǎn)關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)恰好是點(diǎn) M,求m的值.【答案】(1)證明見解析；(2) 1<?m?3; (3) m 5或m 6【解析】【分析】(1)本題需先根據(jù)判別式解出無論m為任何實(shí)數(shù)都不小于零，再判斷出物線與x軸總有交點(diǎn).(2)根據(jù)公式法解方程，利用已有的條件，就能確定出m的取值范圍，即可得到結(jié)果.(3)根據(jù)拋物線y=-x2+(5-m) x+6-m,求出與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，再確定拋物線與 x 軸的兩個交點(diǎn)關(guān)于直線 y=-x的對

24、稱點(diǎn)的坐標(biāo)，列方程可得結(jié)論.【詳解】(1)證明:,2b 4ac22m 4 6m m 70，拋物線與x軸總有交點(diǎn)(2)解：由(1)2m 7 ,根據(jù)求根公式可知, （m 7）2方程的兩根為:即 x11, x2由題意，有 3<-m 6<51<?n 3(3)解：令 x = 0, y = m 6M (0, m 6)由(2)可知拋物線與x軸的交點(diǎn)為(-1, 0)和(m 6,0),它們關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)分別為(0 , 1)和(0, m 6),由題意，可得：m 6 1 或 m 6 m 6m 5或 m 6【點(diǎn)睛】本題考查對拋物線與 X軸的交點(diǎn)，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判別式，對

25、 稱等，解題關(guān)鍵是熟練理解和掌握以上性質(zhì)，并能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.8 .如圖，拋物線y=ax2+bx過點(diǎn)B (1, - 3),對稱軸是直線 x=2,且拋物線與x軸的正半 軸交于點(diǎn)A.(1)求拋物線的解析式，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)ywo時(shí)，自變量x的取值范圍；(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)P,當(dāng)PA! BA時(shí)，求4PAB的面積.【答案】(1)拋物線的解析式為 y=x2-4x,自變量x的取值范圖是0<x<4 (2) 4PAB的 面積=15.【解析】【分析】(1)將函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn) B坐標(biāo)代入的函數(shù)的解析式中，再和對稱軸方程聯(lián)立求出待定 系數(shù)a和b;(2)如圖，過點(diǎn) B作B已x軸

26、，垂足為點(diǎn) E,過點(diǎn)P作PELx軸，垂足為F,設(shè)P (x, x2- 4x),證明PFAAEB求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將4PAB的面積構(gòu)造成長方形去掉三個三角形 的面積.【詳解】(1)由題意得,二=22a解得a= 1b= 4，拋物線的解析式為 y=x2-4x,令 y=0,得 x2-2x=0,解得 x=0 或 4,結(jié)合圖象知，A的坐標(biāo)為(4, 0),根據(jù)圖象開口向上，則 ywo時(shí)，自變量x的取值范圍是0WxW；4(2)如圖，過點(diǎn) B作B已x軸，垂足為點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PELx軸，垂足為F,. PA，BA / PAF吆 BAE=90 , / PAF吆 FPA=90, / FPA=/ BAE又 / PFA=Z A

27、EB=90 .PFAAEB,PF AF 口 x2 4x 4 x,即，AE BE 2 13解得，x= -1 , x=4 (舍去)-1 x2-4x=-5點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1, -5),又.B點(diǎn)坐標(biāo)為(1, -3),易得到BP直線為y=-4x+1 1所以BP與x軸交點(diǎn)為(一，0)41 15 .SA PAB= 5 3 152 4【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，特別是利用待定系數(shù)法將兩條直 線表達(dá)式解出，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求三角形的面積是關(guān)鍵.9.如圖1,拋物線C:y ax2 bx經(jīng)過點(diǎn)A( 4,0)、B( 1,3)兩點(diǎn)，G是其頂點(diǎn)，將拋 物線C繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋

28、物線 C' .VA】Si02圖3(1)求拋物線C的函數(shù)解析式及頂點(diǎn) G的坐標(biāo)；，一12(2)如圖2,直線l ：y kx 一經(jīng)過點(diǎn)A， D是拋物線C上的一點(diǎn)，設(shè) D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 5m ( m 2),連接DO并延長，交拋物線 C于點(diǎn)E ,交直線l于點(diǎn)M ,DE 2EM,求m的值；(3)如圖3,在(2)的條件下，連接 AG、AB ,在直線DE下方的拋物線C上是否存 在點(diǎn)P ,使得 DEP GAB ?若存在，求出點(diǎn) P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1) y x2 4x,頂點(diǎn)為：G(2,4)； (2) m的值為-3； (3)存在，點(diǎn)7、73f 73 7P的橫坐標(biāo)為：或-44【解析】【

29、分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法將 A( 4,0)、B( 1,3)代入y ax2 bx中，即可求得a和b的值和 拋物線C解析式，再利用配方法將拋物線C解析式化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；(2)根據(jù)拋物線C繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180co，可求得新拋物線 C'的解析式，再將 A( 4,0)代入12，y kx 一中，即可求得直線l解析式，根據(jù)對稱性可得點(diǎn)E坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DH/y軸5交直線l于H ,過E作EK /y軸交直線l于K ,由DE 2EM ,即可得-ME 1 ,再證MD 3明 MEK s MDH ,即可得DH 3EK ,建立方程求解即可；(3)連接BG,易證 ABG是Rt , ABG 900,可得1

30、tan DEP tan GAB -,在x軸下萬過點(diǎn)。作OH OE ,在OH上截取 3OH 1OE J2,過點(diǎn)E作ET y軸于T ,連接EH交拋物線C于點(diǎn)P ,點(diǎn)P即為 3所求的點(diǎn)；通過建立方程組求解即可.【詳解】16a 4b 0-，r a 解得b(1)將 A( 4,0)、B( 1,3)代入 y ax2 bx 中，得a b 314 2C解析式為：y x 4x ,配方，得：yx2 4x (x 2)2 4,，頂點(diǎn)為：G( 2,4)；(2) ;拋物線C繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180c5,得到新的拋物線 C'.、一r，一一 、_1. _.'，新拋物線C的頂點(diǎn)為：G (2, 4),二次項(xiàng)系數(shù)為：a 1，

31、新拋物線C的解析式為：y (x 2)2 4 x2 4x12123將A( 4,0)代入y kx 一中，得0 4k ,解得k 一 , 555312，直線l解析式為y -x ,552. D(m, m 4m),，直線DO的解析式為y (m 4)x,由拋物線C與拋物線c'關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得點(diǎn) D、V關(guān)于原點(diǎn)對稱， 2 E( m,m 4m)如圖2,過點(diǎn)D作DH /y軸交直線l于H ,過E作EK/y軸交直線l于K ,解得：m13 , m2則 H(m,K( m,|m /m2 4m2 1712m m 一, 55DH m2 4m ( 3m 馬 m, "m 學(xué) 5555EK DE 2EMME 1

32、MD 3 ' . DH/y 軸，EK/y 軸DH /EKME- MDHEKDHMEMD1一，即 DH33EK17一 m51253(m217一 m512)25'm 2，m的值為：-3；(3)由(2)知：m 3, D( 3,3), E(3, 3), oe 3日如圖 3,連接 BG ,在 ABG 中，AB2 ( 1 4)2 (3 0)2 18, BG2 2,_2AG 20222AB2 BG2 AG2ABG是直角三角形，ABG 90°， tan GABBGAB、232DEPGAB.tan DEPtanGAB1313，在x軸下方過點(diǎn)。作OH OE ,在OH上截取OH 1OE 叵

33、,3過點(diǎn)E作ET y軸于T ,連接EH交拋物線C于點(diǎn)P ,點(diǎn)P即為所求的點(diǎn); E(3, 3),EOT 45°EOH 90°HOT 45°H( 1, 1),設(shè)直線EH解析式為y px q,3p q 3則，解p q1，直線EH解析式為1八、一y x解方程組 ,22 y x，點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為：4x7 .73又277373 5,73 7y244【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形判定 和性質(zhì)，直線與拋物線交點(diǎn)，解直角三角形等知識點(diǎn)；屬于中考壓軸題型，綜合性強(qiáng)，難 度較大.10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y= - x2+bx

34、+c經(jīng)過點(diǎn)A (- 1, 0)和點(diǎn)C (0,4),交x軸正半軸于點(diǎn)B,連接AC,點(diǎn)E是線段OB上一動點(diǎn)(不與點(diǎn) O, B重合)，以 OE為邊在x軸上方作正方形 OEFG連接FB,將線段FB繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段FP,過點(diǎn)P作PH/y軸，PH交拋物線于點(diǎn) H,設(shè)點(diǎn)E (a, 0)(1)求拋物線的解析式.(2)若4AOC與4FEB相似，求a的值.(3)當(dāng)PH= 2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).164【答案】(1) y=- x2+3x+4; (2) a=或 g； (3)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2, 4)或(3+典，4).2【解析】【詳解】(1)點(diǎn) C (0, 4),則 c=4,二次函數(shù)表達(dá)式為：

35、y = - x2+bx+4,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得：0= - 1 - b+4,解得：b = 3,故拋物線的表達(dá)式為：y= - x2+3x+4；AO 1(2) tan Z ACO=, CO 4 AOC 與 AFEB 相似，貝 U / FBE= / ACO 或/CAO,即：tan / FEB= 1 或 4, 4四邊形OEFG為正方形，則 FE= OE= a,EB= 4- a,a 1 5a /貝U或4 ,4 a 44 a解得：a= 16或4；5 5(3)令 y= - x2+3x+4= 0,解得：x= 4 或-1,故點(diǎn) B (4, 0)； 分別延長CR HP交于點(diǎn)N, / PFN+Z BFNI= 90

36、 °, / FPN+Z PFN= 90 ； / FPN= / NFB, . GN / x 軸，Z FPN= / NFB= / FBE / PNF= / BEF= 90 °, FP= FB,.-.PNFABEF （AAS ,.FN=FE= a, PN= EB= 4-a, 點(diǎn) P （2a, 4）,點(diǎn) H （2a, - 4a2+6a+4）, .PH=2,即：4a2+6a+4-4=|2| ,解得：a= 1或1或3而或3后（舍去），244故：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2, 4）或（1, 4）或（3+業(yè)，4）.2【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，其中（2）、（ 3）,要注意分類求解，避免遺漏.

37、11.已知：二次函數(shù) y x2 4x 3a 2 (a為常數(shù)).(1)請寫出該二次函數(shù)圖象的三條性質(zhì)；(2)在同一直角坐標(biāo)系中，若1二次函數(shù)的圖象在x 4的部分與一次函數(shù) y 2x 1的圖象有兩個交點(diǎn)，求a的取值范圍.5【答案】見解析；(2) a 2 .3【解析】【分析】(1)可從開口方向、對稱軸、最值等角度來研究即可；(2)先由二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y 2x 1的圖象有兩個交點(diǎn)，即關(guān)于 x的一元二次方程x2 6x 3a 3 0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，由此可得a 2 ,再根據(jù)二次函數(shù)的圖象在x 4的部分與一次函數(shù) y 2x 1的圖象有兩個交點(diǎn)，也就是說二次函數(shù)wx26x3a3的圖象與x軸x 4的

38、部分有兩個交點(diǎn)，畫出函數(shù)wx26x3a3的圖象，結(jié)合圖象，可知當(dāng) x 4時(shí)，x2 6x3a 3 0 ,將x=4代入求得a的取值范圍，由此即可求得答案 .【詳解】(1)圖象開口向上； 圖象的對稱軸為直線 x 2;當(dāng)x 2時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x 2時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x 2時(shí)，函數(shù)有最小值；(2) ,二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y 2x 1的圖象有兩個交點(diǎn),x2 4x 3a 2 2x 1 ,即 x2 6x 3a 3 0,36 4(3a 3)二次函數(shù)的圖象在，二次函數(shù)w x212a 24 0,解得 a 2,x 4的部分與一次函數(shù) y 2x 1的圖象有兩個交點(diǎn), 6x 3a 3的圖象與x軸x

39、4的部分有兩個交點(diǎn)，畫出二次函數(shù)w x2 6x 3a3的圖象，結(jié)合圖象,當(dāng) x 4時(shí)，x2 6x 3a 33，當(dāng)二次函數(shù)的圖象在 x 4的部分與一次函數(shù) y 2x 1的圖象有兩個交點(diǎn)時(shí),5a的取值范圍為5 a 2.3【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的 交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的圖象與 x軸交點(diǎn)問題，正確進(jìn)行分析并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、靈活運(yùn) 用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.12.如圖1,已知一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線 2y x bx c過A、B兩點(diǎn)，且與x軸父于另一點(diǎn) C.(1)求b、c的值；(2)如圖1,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，

40、點(diǎn) E在線段BD上，且BE=2ED,連接CE并延長交拋物 線于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)將直線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15°后交y軸于點(diǎn)G,連接CG,如圖2, P為 ACG內(nèi)以點(diǎn)，連接PA PG PG,分另1J以AP、AG為邊，在他們的左側(cè)作等邊 4APR等 &AAGQ,連接 QR求證：PG=RQ 求PA+PC+PG勺最小值，并求出當(dāng) PA+PC+PGX得最小值時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo).A D QSIR0C爸用圖12【答案】(1) b=-2, c=3； ( 2) M ( 一551、一)；253) 證明見解析； PA+PC+PG的最小值為2炳,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)(,19里3)19【解析】試

41、題分析：(1)把A ( - 3, 0) , B (0, 3)代入拋物線(2)首先求出 A、C D坐標(biāo)，根據(jù) BE=2ED求出點(diǎn)E坐標(biāo),2.一 一 , 、 一x bx c即可解決問題.求出直線CE,利用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)M .(3)欲證明PA+PG+PCt 小,PG=QR只要證明QAR0GAP即可.當(dāng)Q、R P、C共線時(shí), 作 QNXOAT N, AM，QC于M, PC OA 于 K,由AMNQsin / ACM= TAC QC求出AM, CM,利用等邊三角形性質(zhì)求出 AP、PM、PC,由此即可解決問題.試題解析：(1) ,一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、B (0, 3) , 拋物線 y2x bx

42、 c 過 A、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，A(- 3,c 3B兩點(diǎn)， cc，解得：9 3b c 0(2),對于拋物線yx22x點(diǎn) C 坐標(biāo)(1,0), , AD=DC=2,3 ,令 y=0,貝 U ，點(diǎn)D坐標(biāo)(-x21, 0)2x 3 0 ,解得 x=- 3 或 1, ,BE=2ED .點(diǎn) E坐標(biāo)2、一，1)3,設(shè)直線 CE為y=kx+b,把E、C代入得到:2k 3b解得:，點(diǎn)(3)直線CE為ym坐標(biāo)(1251、一，一)525y y3-x52x52x 3AGQ, 4APR是等邊三角形,AP=AR，/QAR=/ GAP,在 AQAR 和 AGAP 中, AQ=AG,1或1255125AQ=AG, /

43、 QAC=Z RAP=60 ,/QAR=/ GAP, AR=AP,.QAWGAP,，QR=PG.如圖 3 中，. PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC.當(dāng) Q、R P、C共線日PA+PG+PCt小，作QNOA 于 N, AMQC 于 M, PC OA 于 K. / GAO=60 , AO=3, . AG=QG=AQ=G /AGO=30； . /QGA=60； . . / QGO=90 ； .點(diǎn) Q 坐標(biāo)（6, 班），在 RTA QCN 中，QN=373，CN=7,QC= QN 2 NC2 =2,19 ,AM.sinZACM=ACNQ= ?QC.AM= 6扃, APR是等邊三角形，Z APM

44、=60 , PM=PR cos30°=fM 19AP. AP=12M , pm=RM= 6M ,MC= JAC2AM = 14炳,PC=CM-191919PM=8M , - -PK CP 絲，.CK=28, pk=126OK=CK- CO= , 點(diǎn) P 坐19 QN CQ CN191919標(biāo)（_9_, 12Y3）, . pa+pc+PG勺最小值為2屈,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（9, 19191913.如圖，已知二次函數(shù) y=ax2+bx+3的圖象交x軸于點(diǎn)A (1, 0) , B (3, 0),交y軸于 點(diǎn)C.(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一動點(diǎn)，求 4BCP

45、面積的最大值；(3)直線x=m分別交直線BC和拋物線于點(diǎn) M, N,當(dāng) BMN是等腰三角形時(shí)，直接寫出 m的值.27【答案】(1)這個二次函數(shù)的表達(dá)式是y=x24x+3； (2) S>abcp最大=;(3)當(dāng) BMN8是等腰三角形時(shí)，m的值為J2 , 1, 2.【解析】分析：(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；(2)根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得 PE的長，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；(3)根據(jù)等腰三角形的定義，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案.詳解：(1)將A (1, 0) , B (3, 0)代入函數(shù)解析式，

46、得a b 3= 09a 3b 3= 0解得a= 1b= 4這個二次函數(shù)的表達(dá)式是 y=x2-4x+3；(2)當(dāng) x=0 時(shí)，y=3,即點(diǎn) C (0, 3),設(shè)BC的表達(dá)式為y=kx+b,將點(diǎn)B (3, 0)點(diǎn)C (0, 3)代入函數(shù)解析式，得3k b= 0b= 0解這個方程組，得k= 1b= 3直線BC的解析是為y=-x+3, 過點(diǎn)P作PE/ y軸.Sa bcp=S bpe+Scpe= 1 (-t2+3t)23dtm 2+巴228,3<0,2當(dāng)t=3時(shí)，Sabcp最大27(3) M (m, -m+3) , N (m, MN=m2-3m, BM=72|m-3| , 當(dāng)MN=BM時(shí)，m 2-

47、3m= 2 m 2-3m=- y2 (m-3),解得8m2-4m+3)m=- J2當(dāng) BN=MN 時(shí)，/ NBM=Z BMN=45 , m2-4m+3=0,解得 m=1 或 m=3 （舍） 當(dāng) BM=BN 時(shí)，ZBMN=Z BNM=45 , -（m2-4m+3） =-m+3,解得 m=2 或 m=3 （舍）， 當(dāng)ABMN是等腰三角形時(shí)，m的值為J2, -J2, 1, 2.點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用3）的關(guān)鍵是利用等腰三角形的面積的和差得出二次函數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，解（ 定義得出關(guān)于 m的方程，要分類討論，以防遺漏.14.如圖，直線y=-x+分另IJ與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，/ACB=90,°拋物線y=ax2+bx+力經(jīng)過A, B兩點(diǎn).（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn) M作MHXBC于點(diǎn)H,作MD / y軸交BC于點(diǎn)D,求4DMH周長的最大值.cQx+g哈【答案】(1) (-1,0) (2) y=-&lx2+過E【解析】試題分析：(1)由直線解析式可求得 B、C坐標(biāo)，在RtBOC中由三角函數(shù)定義可求得 /OCB=60 ,0則在RtAOC中可