平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)

1、平面向量.向量有關(guān)概念：i.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示,注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什勺（向量可f平移）。如：已知A（1,2 ）, B（4,2 ）,則把向量AB按向量a = （ 1,3 ）平移后得到的向量是2.零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作： 0,注意零向量的方向是任意的3.單位向量:長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量（與AB共線的單位向量是（答：（3,0）A）；4 .相等向量5 .平行向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量 a、b叫做平行向量，記作：a / b ,

2、規(guī)定零向量和任何向量平行 提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等;兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念:兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無(wú)傳遞性?。ㄒ蛉c(diǎn)A B、C共線 :共線;6.相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向，量叫做相反向量。a的相反向量是一a 。如：下列命題： （ 1）若AB _DCb, b c,則a C。（6）若a/b,b/c,則a/Co其中正確的是3)右;。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相AB -DC是小行四邊形。1 （,4）若ABCD是平行四邊形，則。（5）若(答：(4) (5)2.3.向量的表布方法：

3、幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如 符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來(lái)表示，如坐標(biāo)表示法：在平面建立直角坐標(biāo)系，以與則平面的任一向量 a可表示為a xi yjAB ,注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；a , b , c等；x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量 x, y，稱x, y為向量a的坐標(biāo),a = x,y叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果 向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。.平面向量的基本定理有且只有對(duì)實(shí)數(shù):如果ei和e2是同一平面的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面的任一向量a,（1）若 a （i,i）b （i, i）,使 a= iei+ pe2。如(1,2),則 C 啰）；（2）下列向量組

4、中，能作為平面所有向量基底的固A. e(0,0), e2(1, 2)C. e(3,5),e2(6,10)B.D.ei( 1,2),e2(5,7)T T i 3ei (2, 3),e2 (-,-)24（3）已知 AD,bE 分別是表示為ABC的邊BC,AC上的中線，且AD士,則1BC可;量 B,b2T 4T(答：一a b)；33（4）已知 ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD 2 DB , CD r AB sAC,則r s的值是（答：0）四.實(shí)數(shù)與少量的叫：實(shí)數(shù) 與向量a的積是一個(gè)向量，記作a,它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：1 a, I I 3i, 2當(dāng) >0時(shí)， a的方向與a的方向相同，當(dāng)<

5、0時(shí)， a的方向與a的方向 相反，當(dāng) =0時(shí)，目0,注意：a wo。五.平面向量的數(shù)量積：,1 .兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量a, b,作OA a,oB b, aob0稱為向量a , b的夾角，當(dāng) =0時(shí)，a , b同向，當(dāng) = 時(shí)，a , b反向，當(dāng) =一2時(shí)，a , b垂直。,2 .平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量 a , b ,它們的夾角g,我們把數(shù)量 Alibi cos叫做a與b的數(shù)量積（或積或點(diǎn)積），記作：a ? b ,即3?b = a|b,cos 。規(guī)定：零向量與任一向量 的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如(1) 4ABC中，| AB | 3, | AC |

6、4 , | BC |(2)已知 a (1,g),b (0, 1),C a kb,d a (3)已知 a 21b 5,a|b 3,則 a b 等于(4)已知a,b是兩個(gè)非零向量，且a i,b a5 ,則 AB BC ,（答：一9）;b, C與d的夾角為,則k等于（答：1）；(答：723);的夾角為5.:設(shè)兩個(gè)非零向量 a , b ,其夾角為則:當(dāng)a , b同向時(shí)，a?b =2,特別地，a a?；當(dāng)a與b反向時(shí),；當(dāng)為銳角時(shí),為鈍角時(shí)，a ? b <0,且,a ?b >0,且a、b不同向,b不反向，a b 0是為銳角的必要非充分條件非零向量a*角的必要非充分條件 I,； |a?b| |

7、a|b|o 如的計(jì)算公式：cos（1）已知a （ ,2 ）, b （3 ,2）,如果a與b的夾角為銳角，則的取值圍是（2）已知 OFQ的面積為S,且OF FQ一4一1（答：一或0且一）；33,1 一 31 ,右S ，則OF, FQ夾角的取值圍22（答：30）0。如3 . b在a上的投影 為161cos ,它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于已知|a| 3, |b| 5,且ab 12,則向量a在向量b上的投影為 12、54. a ?b的幾何意義:數(shù)量積a ? b等于a的模|a |與b在a上的投影的積。(3) 已知 J (cosx,sin x), b (cosy,sin y), 用k表示a b ；求a b的

8、最小值，并求此時(shí)(答:六.向量的運(yùn)算：的夾角的大小14 k2 1_.1b (k 0)；最小值為 一，4k260：)1.幾何運(yùn)算：AB BC AC ；向量的減法：用“三角形法則”由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的絳點(diǎn)。柒意：曲處減向量與劣減向單的起點(diǎn)相同。如：(1)化簡(jiǎn)：AB BC Cd ；疝 ad De(2)若正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1,IC(3)若。是&ABC所在平面一點(diǎn)，且滿足(答：2衣);,則& ABC的形狀為I (4)|Ap|PD|若D為 ABC的邊BC的中點(diǎn)， ABC所在平面有一點(diǎn) P ,滿足,設(shè)(5)若點(diǎn)O是4ABC的外心，且 oA OB CO 0 ,則 ABC的角C為(

9、答:2);2.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)JFa(答：120);向量的加減法運(yùn)算(1,yjb % y2):a b (x1 x2,如：(1)已知點(diǎn) A(2,3), B(5,4) , C(7,10),若一、三象限的角平分線上,則:R),貝U當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在第向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，匕法/ 只適用于不共轉(zhuǎn)的向單,可 此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)AB a,BC b,那么向量AC叫做a與b的和，即實(shí)數(shù)與向量的積：若 A(xi,yi), B(x2,y2)，則x2Xi, yi。x1, y2y1 ,即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)A(2,3), B( 1,5),且

10、NC 1AB，媼 3蝙，則C、D的坐標(biāo)分別是3-11.(答：(1,-),( 7)；小6M口蜘日如 4 J，平面向重?cái)?shù)重積：a?b x1x2 y1y2。如-h-ffr已知向量 a = (sinx , cosx) , b = (sinx , sinx ) , c = ( 1, 0)。( 1)若 x= 一 ,求向量 a、3_一 1c的夾角；(2)若xC 一，函數(shù)f(x) a b的最大值為一，求 的值8 421(答：(1)150;(2) 或 J2 1);4-2向g呼莫：| a | Jx2 y2, a| a |2 x2 y2o tn .已知工客均為單位向量，它們的夾角為60：,那么招 3b | =(答：

11、J13);22兩點(diǎn)間的距離：若A x1,y1 ,B x2,y2 ,則|AB| J x2 x,y2 y1 。如如圖,H平面坐修 xOy/j xOy 60：,平面上任一點(diǎn) P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定 義的：若OP xe1 y,其中己,分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為(x, y)。(1)若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2, 2),求P到O的距離| P0| ； (2)求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜 坐標(biāo)系xOy中的方程。(答：(1) 2; (2) x2 y2xy 1 0)；卜列命題中：2若a b 0 ,則a a2 b2；-b)2七.向量的運(yùn)石律：1.交換律：a b2.結(jié)合律：a b3.分配律：

12、Jla Jrc ?. ab ;a (b c) a b ac； a(b c) (a0或b*24 4a 2abb 4b2 b ，IC a(4 a 則 , Mb c Jrc2b。其中正確的是2Ta(答：)提醒：(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除a(b?c) (a?b)c,為什么？八.向量平行(號(hào)線)的充省條件：ab:(1)若向量 a (x,1),b (4, x),當(dāng) x =(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律"IL

13、 2Ja b) (|a|b|)時(shí)a與b共線且方向相同xy2y1x2 =0。如(答:2);(2)已知 a (1,1),b (4,x),2b, v 2a b ,且 U/V ,貝U x=(答:4);(3)設(shè) PA (k,12),PB (4,5), pC (10,k),則時(shí)，A,B,C共線直的充，要條件：)。如(1)已知 OA ( 1,2),O九.，向I bi d bix1x2N1V22 或 11)0 .特別地(3,m),若 oA oB ,3(答:3);2(2)以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB B 90，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3)已知, (a,b),向量才 m ,且(答：(1,3)或(

14、3, 1);(答:(b, 2)或(b,a)十.線段的定比分點(diǎn)：1 .定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線P1尸2上異于P1、P2的任意一點(diǎn), PP 用，則叫做點(diǎn)p分有向線段PP2所成的比，p點(diǎn)叫做有向線段 分點(diǎn)；2 .的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段P 1P2上時(shí)若存在一個(gè)實(shí)數(shù) 能的以定比為，使的定比的延長(zhǎng)線上時(shí)所成的比為<1；當(dāng)P點(diǎn)在線段P2 Pl的延長(zhǎng)線上時(shí) ,則點(diǎn)P分有向線段AW所成的比為-o如>0;當(dāng)P點(diǎn)在線段0;若點(diǎn)P分有向線段PiP2PP2若點(diǎn)P分AB所成的比為-,則A分wP所成的比為4(答：3.線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè) Wx,%)、P2(x2,y2), P(x,y)

15、分有向線段 吊所成的比為xx21，特別地，當(dāng)=1時(shí)，就得到線段P1P2的中點(diǎn)公式y(tǒng)2yxx22yy2 °在使用定比分2點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確(x,y),(刈%)、(X2,y2)的意義，即分別為分點(diǎn),起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn),(1)若 M (-3 , -2 ), N (6, -1 ),且分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比1.MP 一 MN,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 3(答：(2)已知 A(a,0), B(3,2 a),直線 ylax與線段AB交于M ,且B 2mB，則a等于 26,1)；3.平移公式：如果點(diǎn) P(x, y)按向量(答：2或4)h,k平移至P

16、(x, y ),則 x x h ；曲線 y y kf (X, y) 0按向量a h,k平移得曲線f(x h, y k) 0 .注意：(1)函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？(2)向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！如（1）按向量才把（2, 3）平移到（1, 2）,則按向量才把點(diǎn)（7,2）平移到點(diǎn) （答：（8, 3）；（2）函數(shù)y sin 2x的圖象按向量 a平移后，所得函數(shù)的解析式是y cos2x 1,則a =(答：(一,1)4向量中一些常用的結(jié)論 aHa H一封閉手形弓尾普接口成的餐量和為零向量 .iiai bna Ik di bi, ,特別地：當(dāng)一個(gè)封閉器b| b'L； 1

17、a 6反向或有：,笥邛運(yùn)用；顯a、b同向或有0ia bi iai ib i i怙i則其重心的坐標(biāo)為|b| |a b| |a| | b |（這些和實(shí)數(shù)比較類似）.(3 )在 ABC 中，右 A x,y1 , B x2, y2 ,C %,y3X1X2X33%丫2丫3。如3若/ABC勺三邊的中點(diǎn)分別為（2, 1）、（-3, 4）、（-1,-1）,則/ABC的重心的坐標(biāo)為（答：（D PG 3 (PA PB PC)G為ABC的重心，特別地PA PB PC 02 43,3P 為 ABCPA pB jB 邑 PC PA P為 ABC的垂心；向量（濡昌 福京乂 0）所在直線過(guò) ABC的心（是 iABiPC i

18、 BCi PA iCAi PB 0 P ABC 的心;（3）若P分有向線段PP2所成的比為 ，點(diǎn)M為平面的任BAC的角平分線所在直線點(diǎn)，則 mP MP1 MP2，特別地P為PF2的中點(diǎn) 品MPLMP2；(4)向量 PA、PB. PC'I IA B、C共線存在實(shí)數(shù)1.如平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3,1） , B（ 1,3），若點(diǎn)C滿足OC 1 OA 2OB,其中1, 2 R且121,則點(diǎn)C的軌跡是（答：直線AB）2.2平面向量的線性運(yùn)算1 .在矩形ABCD中，AB <3 , BC 1 ,則向量（aB AD aC）的長(zhǎng)等于（）（A） 2（B） 2v3（C） 3（D）

19、 42 .下面給出四個(gè)命題： 對(duì)于實(shí)數(shù) m和向量a、b恒有：m（a b） ma mbD對(duì)于實(shí)數(shù)m、n和向量a ,恒有（m n）a ma na若ma mb(m R),則有a b若 ma na(m, n R, a其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）(A) 1(B) 2(C) 3(D) 43.若a與b的方向相反，且b ,則a+b的方向與a的方向此時(shí)a答案：相同;4.已知D E、I式:EFF分別是/ ABC勺邊BC CA AB的中點(diǎn)，且bCiCA b, ABC,則下列各1c夫BEa 1b ; CF 1a 1b;222AD BE CF 0 ,其中正確的等式的個(gè)數(shù)為答案：25 .已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是ABC勺

20、一點(diǎn)，若OA Ob OC0,則0是4 ABC的（填重心、垂心、心、外心之一）6.若 AB 8,AC答案：重心由結(jié)論bc,=iAB AC|O7.如圖，D E、F是則 AF DB =答案：BE5,則| a|-| b|的取值圍是ABC的邊< | a ± b| < | a|+| b| ,AR BG CA的中點(diǎn),答案:3,13ACE8.在 0ABCD 中，AB a,ADAN 3NC彳#4aN 3AC=34 b), aM a3NC , M為BC的中點(diǎn),則MN。（用a、b表示）解析：如圖，由AN2b，所以mN9.化簡(jiǎn):-4 a 1-4Lib 1 - 4答案：010.如圖，ABC匿一個(gè)梯

21、形，AB/ CD且AB=2CD M N分別是DC和AB的中點(diǎn)，已知 AB=a, AD =b,試用a, b表示BC和MN .2.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示、選擇題1.設(shè)平面向量 a=( 1,0) , b= (0,2),則 2a 3b=()A. (6,3)B. ( -2, - 6) C . (2,1)D , (7,2)2.已知平面向量a=(x,1) , b= (x, x2),則向量 a+b(A.平彳T于x軸.平行于第一、三象限的角平分線C.平彳T于y軸.平行于第二、四象限的角平分線3.已知平面向量a=(1,2) , b= ( 2, m),且 a/b,貝U 2a+3b=()A. (2, 4) B(

22、-3, - 6) C . (-4, 8) D . (5, 10)4.A.設(shè)點(diǎn)A(2,0)(3,1) BB(4,2)5.若向量AB=(1,2 ),若點(diǎn)P在直線AB上，且|AB| =2|AP| ,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()(1 , 1) C . (3,1)或(1 , 1) D ,無(wú)數(shù)多個(gè)bC= (3,4),則 7C =()A (4,6) B (-4, -6) C (-2, -2) D (2,2)6 .已知向量 a=(x + z,3) , b=(2, y-z),且a±b,若x, y滿足不等式|x| 十 |y| < 1,則z的取值 圍為().A. -2,2B, -2,3 C . -3,2D , - 3,37 .設(shè)兩個(gè)向量 a=(入+ 2,入2 cos2 a )和b= m, -+ sin a ,其中 入，m, a為實(shí)數(shù).若 a= 2b,則強(qiáng)的取值圍是().A. -6,1B . 4,8 C . (8, 1D , -1,6二、填空題8 .設(shè)a=(1,2) , b=(2,3),若向量 入a+b與向量c=(4, 7)共線，則 入=.1 1, 一9 .若二點(diǎn) A(2,2) ,