差分方程Z變換

1、第 3 章 線性離散時間系統(tǒng)的描述及分析差分方程及其時域分析3.1.1 差分方程3.1.2 差分方程的解A 遞推解B 古典解C Z變換求解Z 變換3.2.1 Z變換的定義3.2.2 Z變換的性質(zhì)3.2.3 Z反變換A 長除法B 留數(shù)法C 部分分式法離散時間系統(tǒng)的Z域分析3.3.1 零輸入響應3.3.2 零狀態(tài)響應3.3.3 完全響應Z 傳遞函數(shù)及其求法3.4.1 Z傳遞函數(shù)的定義3.4.2 離散系統(tǒng)的運算3.4.3 由G(s)求G一一連續(xù)時間系統(tǒng)的離散化A對G(s)的討論B 對離散化方法的評價C 留數(shù)法D 直接代換法E系統(tǒng)等效法I沖擊響應不變法;F系統(tǒng)等效法n階躍響應不變法G 部分分式法3.4

2、.4 離散化方法小結(jié)線性離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1 閉環(huán)極點與輸出特性之間的關(guān)系3.5.2 穩(wěn)定判據(jù)線性離散時間系統(tǒng)的頻率特性分析法3.6.1 線性離散時間系統(tǒng)的頻率特性3.6.2 線性離散時間系統(tǒng)的頻率特性分析法第3章線性離散系統(tǒng)的描述及分析3.1 差分方程及其時域分析3.1.1 差分方程在線性離散時間動態(tài)系統(tǒng)中，輸入激勵序列u(k)與輸出響應序列y(k)之間的 動態(tài)關(guān)系在時域中用差分方程來描述，差分方程一般寫成升序方式y(tǒng)(k n) a1y(k n 1) K b0u(k m) b1u(k m 1) 有始性：k 0初始條件：y(0)y0,時間因果律：m n或?qū)懗蒻y(k n)biu(k

3、 mi 0an 1y(k 1) a0y(k)Kbm 1u(k 1) bmu(k)y(1) y1,，y(n-1)yn-1ni) ajy(k n j) j 1上式表明某一離散時間點上輸出值可能與當前時間點上的輸入值(當b00, m n以及此前若干個輸入和輸出值有關(guān)推論開來，當前的輸出值是 此前”全部激勵和內(nèi)部狀態(tài)共同作用的 積累 效應。考慮實時控制系統(tǒng)的時間因果律，必須有m訴。當m=n時，表明當前時刻的輸入會直接影響當前時刻的輸出， 可稱為 直傳”;當m<n時，表明當前時刻的輸入不會直接影響當前時刻的輸出；當前時刻的輸入對輸出的影響會延時n-m”拍。差分方程也可以寫成降序方式一一式中各項序號

4、均減ny(k) ay(k 1) a2y(k 2) K a1y(k n 1) ay(k n) b0u(k) b1u(k 1) K bm 1u(k m 1) bmu(k m)在降序方式中的n和m與升序方式中的n和m的含義不完全相同，因而對 n和m并無限制。在降序方式中，當b°?o時，相當于升序方式中 m=n的情況。此時 當前時刻的響應與當前時刻的輸入有關(guān)升序意味著超前，與連續(xù)時間系統(tǒng)中的微分相對應；當用 Z變換法求解差分方程時，升序方式便于考慮初始條件。降序意味著滯后，與連續(xù)時間系統(tǒng)中的積分相對應；當用 Z變換法求解差 分方程時，降序方式無法考慮初始條件。3.1.2差分方程的解51.例：

5、已知差分萬程 x(k 2) x(k 1) x(k) r(k+1)+0.5r(k),其中 r(k)=1, 66k>Q x(0)=1, x(1)=2試由迭代法求其全解的前5項；分別由古典法求其零輸入解yzi(k)、零狀態(tài)解yzs(k),以及全解y(k)。給定一個差分方程，根據(jù)特定的輸入時間序列u(k)和初始條件，來求得其輸出序列y(k), 一般有三種方法。A.遞推解(迭代解)對式差分方程可以寫成y(k n)biu(k m i)ajy(k n j)i 0j 1顯然給定初始條件后，就可依次求出各點值。但是，式差分方程中的n個初始條件x(0), x(10),洶巾曲僅僅是指“零輸入初始條件”，進行遞

6、推求解時的初始條件應該是“全解初始條件”；因而應該先求出其“零狀態(tài)初始條件”，“全解初始條件”是“零輸入初始條件”與“零 狀態(tài)初始條件”之和。上例已知零狀態(tài)初始條件，由此可遞推求得零輸入解yzi(k)；可求零輸入初始條件，由此可遞推求得零狀態(tài)解yzs(k)；以上初始條件之和為全解初始條件，由此遞推即可直接求得全解 y(k)=yzi(k)+yzs(k)oB.古典解法1)零輸入解在式中令輸入為零，即u(k)=0, k由，則得齊次方程y(k n) ay(k n 1) . any(k 1) any(k) 0類似于在解線性常微分方程時定義的微分算子P,對差分方程定義一個移序(增序)算子d,即dny(k)

7、 y(k n) d ny(k) y(k n)于是式可以表示成(dn+adn1 . an 1d an)y(k) A(d)y(k) 0以多項式A(d)存在n個單根為例，即n ,A d (d di) , di 0, i 1,2,n i 1則有零輸入解yzi(k)的“通解”式為nyzi(k) Cidik C2d2k . CndnkCidik, k 0i 1其中Ci, C2,G是由n個(另輸入)初始條件決定的n個待定常數(shù)。設(shè)給定初始條件為y(i)=yi , i=0, 1，n-1,分別代人上式可得y。11.1GV1d1d2.dnC2y2d12d22.dn2C3.yn1d1n1d2n1.dnn1Cn可簡記為

8、矩陣方式Y(jié)0D*C以n個單根為例，矩陣D一定可逆。于是可得待定常數(shù)為C D 1丫。當A(d)存在重根時，亦可得相應結(jié)果，不再贅述。上例求得零輸入解yzi(k)。2)零狀態(tài)解當“零輸入初始狀態(tài)”為零時，為求得式在任意輸入 u(k)激勵下的“零狀態(tài) 響應” yz4k),首先考慮單位脈沖激勵u(k)= (k)的特殊情況，此時的系統(tǒng)響應為 單位脈沖響應，記為h(k),式成為h(k n) a1h(kn 1)an 1h(k 1) anh(k)b。(k m)句(k m 1)bm 1 (k 1) bm (k)可寫成如下形式 mnh(k n)bi (k m i) ajh(k n j), m ni 0j 0上式中

9、依次令k=-n, -n+1,，-2,-1, 0,可求得前面n+1個點的結(jié)果，h(0)hoh(1) hi,當 m<n 時，h(0)=h0=0h(n 1) hn ih(n) hn當k>0時，在式中恒有k+m-i>0,即恒有 (k+m-i)=0,此時式又成為一個齊次方程，等價為h(k n) a1h(kn 1)an 1h(k 1) anh(k) 0n , k 0h(1) h1，h(2) h2，,h(n) %上式按差分方程的零輸入解法求解，并考慮h(0)=0,即可得到式的單位脈沖響應序列h(k), k肛對于一個一般的輸入序列u(k)= u(0), u(1), u(2),可以寫成u(k)

10、 u(i) (k i) u(0) (k) u(1) (k 1)i 0按照線性系統(tǒng)的迭加原理，(k-1)所激勵的響應為h(k-i)1(k-i), i=0, 1,于是可得u(k)激勵下的響應為y(k) u(0)h(k)1(k) u(1)h(k 1)1(k 1)u(k)h(0)kku(i)h(k i) u(k i)h(i) i 0i 0= u(k) h(k) , k 0稱為u(k)和h(k)的卷和”。顯然，卷和的定義與連續(xù)時間函數(shù)的卷積具有類似的形式。卷和計算例上例求得零狀態(tài)解yzs(k)。3)全解1)和2)二者之和。上例y(k)=yzi(k)+ yzs(k)。C. Z變換解法一一后面再講3.2 Z

11、變換3.2.1 Z變換的定義Z變換是對離散序列定義的，設(shè)有y(k) y(0),y(i),y(0) (k) y(i) (k 1) y(2) (k 2), k 0則y(k)的Z變換定義為(單邊)羅朗級數(shù)Y(z) y(0)y(1)z 1. y(i)z ii 0zZ變換域變量d 一增序算子兩者在數(shù)字上具有完全相同的表現(xiàn)形式，但意義卻不同，不能混淆。就像s S變換域(拉氏變換)變量p 一微分算子二者表現(xiàn)形式相同，但意義截然不同為什么要定義Z變換Z變換把離散(等距時間點上)數(shù)值序列變換成有理分式；L變換把連續(xù)時間信號變換成有理分式；便于利用代數(shù)學的某些結(jié)論進行簡單處理。Z變換的另一種“定義”對于時域信號y

12、(t尸f(t),采樣得離散信號y*(t)記得第1章中討論過y*(t) 和y*(k)的(沖量的)等價性， _ *_ _ _f (t)f(0) (t) f(T) (t T) f(2T) (T 2T)f(kT) (t kT) k 0取其拉氏變換，得kTsF*(s) L f * (t) f(kT)e k 0再令Ts z e即得,F(z) Zf *(t) f(kT)z k 0二者的結(jié)果是一致的。但是，二者有兩點區(qū)別， 前者是對y(k)定義的，后者是對y*(t)定義的。在離散時間系統(tǒng)中使用前 者更符合工程實際。但是，對于首先熟悉了 Laplace變換的工程技術(shù)人員而言， 后者更容易理解。前者在數(shù)學上是嚴格

13、的；而后者中的式容易使得誤解z和s之間的關(guān)系。 實時上z和s之間并沒有式所示的關(guān)系，僅僅是有時同一個被控對象的 Z變換傳遞函數(shù)和L變換傳遞函數(shù)的特征根具有那個關(guān)系3.2.2 Z變換的性質(zhì)A.在簡單的情況下，可直接按定義求得y(k)的 Z 變換 Y(z)。Z (k) (i)zi 1i 01(k)1(i)zii 0Tz) iiT ie z (ei 0i 0做為線性離散系統(tǒng)的Z變換，它有許多與L變換類似的性質(zhì)，不同的是按照Z變換的定義，這些性質(zhì)更容易被證明一些。已知 Zfi(k)B.線性迭加性質(zhì):Fi（z）,Zf2（k） F2（z）,a,b R,下同。按定義可得,Zafi(k) bf2(k) Zaf

14、i(k) Zbf2(k)aZ fi(k) bZf2(k) aFi(z) bFz(z)C.增序性質(zhì):（對應于L變換的微分性質(zhì)）設(shè) g(k)=f(k+n),k>Q為什么Zf(k n)=Zg(k)g(k)z kk 0f(jj 0n)zf(i)zizni nznf(i)zii 0f(jj 0n 1(f(i)zii 0n 1f(i)znii 0(j n) nn)z zn 1f(i)zizn)i 0znF(z) zn f (0) zn 1f (1) . z2f (n 2) zf(n 1)(令 i=j+n)注意兩點:一是為什么要減去前面幾項因為按照定義 g(k)中沒有這幾項!二是與L變換的微分性質(zhì)相比

15、，形式上多了一個“ z”。D.減序性質(zhì)：(對應于L變換的積分性質(zhì))設(shè) g(k)=f(k-n), k>Q 為什么Zf(k n)f (i n)z ii 01zn f(j)z jj nznF(z)z nf (i n)z(i n) i 0z n f(j)z jj 0(令 i -n =j)為什么第一項沒啦因為按照定義f(k)中的這幾項為零!E.卷和性質(zhì)：(對應于L變換的卷積性質(zhì))Zfi(h)* f2(h) Fi(z)F2(z)F.初值性質(zhì)：f (0) lim f(k) lim F(z)k 0z證明：一一按照Z變換的定義。G.終值性質(zhì)：f ( ) lim f (k) lim(1 z-1)F(z) l

16、im( z 1)F(z)當f(k)不收斂(Rz)中有單位圓外極點)時，終值性質(zhì)不能使用!證明：Z f(k+1)-f(k) zF(z) f(0) F(z) (z-1)F(z) zf(0)Z f (k+1)-f (k)f(i+1)-f (i)z ii 0同令z 1得，lzim1( z-1)F(z)=f (0)+f(1)-f(0) f(2)-f(1) . f(k)-f(k 1) . f( )其它略3.2.3 Z反變換已知F(z)有理分式，求f(k)使得Z f(k) F(z),記為f(k) Z 1F(z)A. 長除法 羅朗級數(shù)展開如果F(z)是有理分式，必可展開為羅朗級數(shù)，如果F(z)是真有理分式，必

17、可展開為(單邊)羅朗級數(shù)(有始函數(shù))，即有f(k),k>0如果F(z)是嚴格真有理分式，則一定有f(0)=0。例，B. 留數(shù)法在實時離散控制系統(tǒng)中有f(k), k>，則一定有F (z) f (0)z 0 f (1)z 1+.f(k)z kk0按照復變函數(shù)的留數(shù)理論，考慮如下圍線(逆時針包圍含全部極點)積分，cF(z)zk1dzCiCf(0) f(1)zCf(i)ziz, o1 . f (kk 1.dzk 1kk 1k 11)z f (k)z f (k 1)z+.z dzCf(0)zk1f(1)zk212f (k 1) f (k)z 1 f (k 1)z2+.dzif(k)z1dz

18、2 jf(k)C留數(shù)是如何定義的1f(k)二F(z)zk1dz稱為F(z)zk 1的留數(shù)于是有1k 1f(k) Z1F(z) ResF(z)zk1nResF(z)zk 1 i i z即f (k)為F(z)zk 1在其所有極點zi, i=1, 2,，n,處的留數(shù)之和。按照留數(shù)計算規(guī)則，若zo是F(z)的單重極點則有Res F (z) zk 1 zolim( z zo)F(z)zk 1 z zo若z0是F(z)的m重極點，則有1dm 1Res F(z)zk1。呵h(z zo)mFzk1C.部分分式法一一留數(shù)法的特例般都是直接查表部分分式法是應用留數(shù)法得到的一些易于實際應用的特例情況，設(shè)F(z)有n

19、個單重根zi,，zn,則可以寫成部分分式形式按照迭加原理，我們可以求得其中每一項的 Z反變換，即f(k)一 1 一一Z F(z)Zi 11 zk1Ai尸AziKz 4 i i按式有,f(k)=nResF(z)zk 1i 1n z(z z)A lim(i 1 z % z znAzki 1n7A Res(zk 1)i izi z zzk1)正是所希望的結(jié)果。3.3 離散時間系統(tǒng)的Z域分析利用Z變換求解差分方程。3.3.1 零輸入響應對式()所示差分方程，當輸入u(k)=0, kno時，成為齊次方程yzi(k n) ayzi(k n 1)anyzi(k 1) anYzi(k)0y(0)=y0, y(

20、1)=y1, ., y(n-1)=yn-1應用Z變換的增序性質(zhì)，并注意給定的零輸入初始條件，得znYzi(z) zn y0 zn1y1 匚 zyn 1 a1znY(z) zn 1y。 zyn 2 .anJzYi(z) zy。 anYzi(z) 0整理可得v mB(y0,y1,.,yn 2*1)Yzi (z)nn 1za1z. an 1z an于是可得式的零輸入響應為1yzi(k)Z1YZi(z)3.3.2 零狀態(tài)響應設(shè)式所示系統(tǒng)在沒有輸入激勵時，其內(nèi)部初始能量積累為零，即所謂零狀 態(tài)，此時不考慮初始條件對式的兩邊同時進行Z變換，可得YZs(z)mm 1b0zb1znn 1za1zbmiz bm

21、 an izanU(z)定義G(z)mm 1b°ztz bmiz bmnn 1za1z .an 1zan稱為離散動態(tài)系統(tǒng)式的Z傳遞函數(shù)，則上式可寫成Yzs(z) G(z)U(z)則有yzs(k) Z 1Yzs(z)=Z 1G(z)U(z)按照卷和定理kyzs(k) g(k)*u(k) g(k i)u(i), k 0i 0其中g(shù)(k) Z 1G(z)g(k)是什么，以及如何求得g(k)設(shè)u(k尸k)是一個單位脈沖函數(shù)，已知，U(z尸Z0k)=1,即可得系統(tǒng)對u(k)= 9(k)的零狀態(tài)響應，稱為單位脈沖 響應，并記為h(k), k>Q并有h(k) z1G(z) g(k)現(xiàn)在，如欲

22、解析求解式()所示的差分方程的零狀態(tài)響應，主要有兩種方 法。Z 域法：yzs(k) Z1G(z)U(z)時域法：yzs(k) h(k)* u(k)3.3.3 完全響應對式()求Z變換時，同時考慮初始條件，即可得系統(tǒng)的完全響應，與分 別求出yzi(k)和yzs(k)再相加是一致的。即：Y(z) n ."". 2,yn ' G(z)U(z)za1z. an 1z an= Yz。)Yzs(z)乂 k) =yzi(k) yzs(k)幾點說明：在求零狀態(tài)響應時，顯然零狀態(tài)解 yzs(k)的初始n個值并不一定為零，零狀 態(tài)僅僅是說當輸入為零時，系統(tǒng)初值為零。求零狀態(tài)響應時，對式

23、兩邊求Z變換時，此時的yz<k)與u(k)都是有初值的, 因此亦應考慮增序性質(zhì)時的初值，但是在整理時兩邊的初值正好相互抵消，因 此在求零狀態(tài)響應時的Z變換時，可以不考慮初值。在求完全響應時，由u(k)引起的yzs(k)中的那一部分初值效應必然由 u(k)的初 值效應所抵消，因此只考慮系統(tǒng)的零輸入初值。51.例：已知差分萬程 x(k 2) x(k 1) x(k) r(k+1)+0.5r(k),其中 r(k)=1, 66k>Q x(0)=1, x(1)=2。試由Z變換法求其全解。3.4 Z傳遞函數(shù)及其求法3.4.1 Z傳遞函數(shù)的定義 定義一個離散時間被控對象的動態(tài)特性，或連續(xù)時間對象的

24、離散控制動 態(tài)特性。 由輸入-輸出序列Z變換之比來定義。 傳遞函數(shù)描述一個動態(tài)系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)態(tài)傳遞特性(穩(wěn)態(tài)的含義是不 包含初始條件的影響)。A對于離散時間系統(tǒng)u(k)U(z)離散時間系統(tǒng)y(k)GQ)調(diào)Y(z)圖離散時間被控對象傳遞函數(shù)的比如這個離散時間系統(tǒng)原來是由差分方程描述的。對于式描述的差分方程,y(k n) ay(k n 1) . a1y(k 1) aj(k) b0u(k m) b1u(k m 1) . bm 1u(k 1) bmu(k)k 0,1,2,，m ny(0)y。， y(1) y-，y(n-1) yn-1根據(jù)Z變換的性質(zhì)，兩邊求Z變換（不考慮初始條件），并化簡可得G(z)

25、YU(z)b°zm hzm1 bmz bmnn 1za1z. an 1z an如果差分方程是由式描述的,y(k) ay(k 1) a2y(k 2) . a”1y(kn 1) a“y(k n)b0u(k) b1u(k 1) . bm 1u(km 1) bmu(k m)則同理可得G(z)Y(z)U(z)nn 1n (m 1)n mb°zhz .bmzbmznn 1za1z.an1z ann mmm 1z (Ez hz . d 1zbm)nn 1z az . anzan當n=m時，與式相同、A、1注息:2）為什么上二式求Z變換時不考慮初始條件傳遞函數(shù)只描述穩(wěn)態(tài)特性，與初始條件無關(guān)

26、!3） 式和稱為有理分式;n<m時稱為（假）有理分式，反時間因果律，離散時間系統(tǒng)中不存在;n=m時稱為真有理分式，輸入-輸出有直通分量；n>m時稱為嚴格真有理分式，輸入-輸出至少延時一拍。B對于一個連續(xù)時間的采樣控制系統(tǒng)對于一個連續(xù)時間系統(tǒng)，對其進行離散時間控制時前面必須加一個零階保 持器(ZOH)。只有對其輸入和輸出采樣得到響應的輸入-輸出離散時間序列時, 才能對其定義Z傳遞函數(shù)。G(s) Y(s)/ U (s)* y(k)U(z)u(k).離散時間系統(tǒng)G(z)VY(z)> y(k)G(z)Y(z)U (z)圖2采樣控制的連續(xù)時間系統(tǒng)的離散時間傳遞函數(shù)3.4.2 離散系統(tǒng)的

27、運算-流圖化簡，與連續(xù)時間系統(tǒng)完全相同A串聯(lián)* Gi(z)* G2(z)- Gn(z)Y(z)U(z)* G(z)+ Y(z)B并聯(lián)nG(z) Gi(z)i 1圖3 離散時間系統(tǒng)的串聯(lián)。U(z).G(z)Y(z)nG(z) Gi(z)i 1C反饋系統(tǒng)圖4 離散時間系統(tǒng)的并聯(lián)+U(z)G(z)圖5 離散時間反饋系統(tǒng)對于任意的復雜系統(tǒng)，可由梅森公式求得。3.4.3 由 G(s域 G(z) 連續(xù)時間系統(tǒng)(或信號)的離散化A 對G(s)的討論一般來說，G(s)的含義可能有以下三種情況：1) G(s)為時域信號g(t)的Laplace變換此時，應該由G(s)求的g(t),對g(t)離散化得g(k),最后

28、再求G。2) G(s)為控制器的傳遞函數(shù)一一它只是一個數(shù)字模型G(s)既可以由連續(xù)時間系統(tǒng)(模擬)實現(xiàn)，輸入輸出為連續(xù)時間變量；G(s)也可以由離散時間系統(tǒng)(數(shù)字)實現(xiàn)、輸入輸出為離散時間變量； 此時，對G(s)直接離散化即可，不需要 ZOHL3) G(s)是一個(連續(xù)時間)被控對象離散化后的輸入時離散時間的，但是 G(s)只能接受連續(xù)時間激勵信號， 因此必須在輸入端需增設(shè)一個保持器(例如零階保持器ZOH) ，將離散序列轉(zhuǎn)化為連續(xù)時間函數(shù)。G(s)的輸出一定是連續(xù)時間函數(shù)，需對其進行采樣。圖6 對連續(xù)時間被控對象的離散化B 對離散化方法的評價離散化方法不是唯一的，它們各有其特點和適用范圍。因而

29、需要對離散化方法建立評價指標體系。對信號的離散化結(jié)果應該是唯一的，嚴格的。就是說在采樣點上的取值嚴 格等于原函數(shù)。對調(diào)節(jié)器傳遞函數(shù)G(s)的離散化結(jié)果G(z),應與G(s)的頻率特相一致。這時 會因所用方法的不同而有差異。對被控對象傳遞函數(shù)G(s)的離散化結(jié)果G，在不同情況下有不同的要求， 后面會詳細討論。這時也會因方法的不同而有差異。評價一個離散化方法，大概有如下 5項指標。但是在不同的應用場合有不同的要求。1)易操作性。2) 從S平面到Z平面的映射關(guān)系。包括映射的單值性和 穩(wěn)定性的遺傳 性。3)頻率特性畸變。指G的頻率特性與G(s)的頻率特的一致性。4) 穩(wěn)態(tài)增益畸變。指G的穩(wěn)態(tài)增益與G(

30、s)的穩(wěn)態(tài)增益的一致性。5) 時域(采樣點)響應的一致性。指在采樣點上G(z)和G(s)取值的一致性。C 留數(shù)法適用于G(s)為時域信號g(t)的Laplace變換的情況。這時，G(z)和G(s)在采樣點上的取值是完全一致的。按定義G(z) g(k)zkg(t)|zk 0k 0t kT：G(s)eskTds zk 2 j jj G(s) (eskTzk)ds k 0j 、1.j G(s)；srds1 e z帶入g(t)交換求和求積分的順序級數(shù)和的閉式按留數(shù)定理即可得,m1G( z) = Res G( s) -7i=1 i1-ezD 直接代換法操作簡單，但卻有誤差。直接代換法既適用于對控制器的離

31、散化，亦適用于對被控對象的離散化。但是不適用于對信號的離散化(在采樣點上取值不嚴格)。使用直接代換法對被控對象離散化時，一方面物理上需要引入ZOH兩一方面代換是并不包括ZOH直接代換法有很多種，下面介紹常用的幾種。1)后向差分法設(shè)連續(xù)時間描述為：d 一 x u ,dtX1U (s) s用差分代替微分，采樣周期取為 T,x(k 1) x(k)X(z) Tzx( )( u(k 1), G(z) -z) -TU (z) z 1(為什么叫“后向”差分)比較G(s)和G(z),可得代換式，1z 1z ,或 s 1 sTTzS z映射關(guān)系：單值對應S平面上左半平面穩(wěn)定域G(s)穩(wěn)定Z平面上單位圓內(nèi)正實軸上

32、小圓G(z)穩(wěn)定C()S平面圖7后向差分法的穩(wěn)定性遺傳顯然穩(wěn)定性的遺傳不是可逆的，但 S穩(wěn)定“同急定”，因此常被采用(S平面上除了 aef小圓外，所有的s映射到Z平面都是穩(wěn)定的)頻軸畸變較大。穩(wěn)態(tài)增益無畸變。即：G(s) |s 0 G(z) |z 1不能保證時域(采樣點)響應的一致性。2)前向差分法連續(xù)時間系統(tǒng)描述為-x u G(s) dt ，sG(z)用差分代替微分 x(k 11) x(k) u(k),(為什么叫“后向”差分)比較G(s)和G(z),可得代換式,z sT 1S到z映射關(guān)系：單值一一對應。事實上就是一個平移圖8前向差分法的穩(wěn)定性遺傳G(s)穩(wěn)定G (z)穩(wěn)定顯然，G(s)穩(wěn)定很

33、難保證G (z)是穩(wěn)定的，固很少采用 頻軸畸變較大。穩(wěn)態(tài)增益無畸變，即：G(s) |s 0 G(z) |不能保證時域(采樣點)響應的一致性。3) 雙線性變換法(Tustin法)連續(xù)時間系統(tǒng)描述為x u G(s)dt 'G(z)用差分代替微分，x(k 1 x(k) u(k - u(k),T2比較的代換式，2 z 1 sT z 12 sT2 sT(為什么叫“雙線性變換)Z平面圖9雙線性變換法的穩(wěn)定性遺傳s到z的映射關(guān)系：單值對應；S平面上左半平面穩(wěn)定域Z平面上單位圓內(nèi)穩(wěn)定域G(s)穩(wěn)定G(z)穩(wěn)定當T足夠小時(即當足夠大時)頻軸畸變很??； c事實上在程序化處理的G(s)穩(wěn)態(tài)增益無畸變；顯然

34、，在直接代換法中，雙線性變換是最好的到G(z成換中都采用雙線性變換法，應用最為廣泛。E系統(tǒng)等效法I沖激響應不變法提法：設(shè)有(被控對象)G(s)和G(z),若G(s)在m)的激勵下的響應g(t)在kT處的采樣值g(kT)與G(z)在S(k)的激勵下所得之響應相等，即稱 G(z)和G(s)是 沖擊響應不變(等價)的。但是，事實上9(k)和*)并不等價。原因是，不)的沖量為1,而(加上零階 保持器之后)9(k)的沖量為“ T”，二者差一個系數(shù)" T'；使得G(z)的穩(wěn)態(tài)增益隨 著T大幅變化，這是不允許的。為什么還要講這種方法按定義，在 m)激勵下，有沖激響應g(t)1_g(t) L

35、 G(s)121stG (s)e ds按采樣周期T采樣即得g(k) g(kT)G(s)eskTds按照輸入輸出等效原則，在單位脈沖輸入 k)的激勵下，應有輸出g(k)如上式所示。根據(jù)Z變換的定義，即有對上式求 Z變換G(z)g(k)z k k 0k0六;w交換和積順序:G(s) (eskTzk)ds k 0求級數(shù)和的閉jj G(s)sT1 e z7 ds按留數(shù)定理m1G(z)=1ResG(s)1因此，沖擊響應等效法也是留數(shù)計算法。顯然，此式與式的留數(shù)法相同。此式用來對信號的G(s)求其G(z)時是嚴格正 確的，但是，用來對被控對象的 G(s)求其G(z)時卻是不對的。此代換不易操作，特別是不易

36、計算機實現(xiàn)。S到z的映射關(guān)系分析如下若G(s)有一個極點Sij(則G一定有一個極點其中iTri e顯然，s平面z平面eSiT1,z平面,s平面,diiT單值映射多值映射j(e2nY)T j diTreT ,TJ圖10沖擊響應等效法的穩(wěn)定性遺傳如果只考慮s平面的主值域，即i ( T,T,則有一一對應的關(guān)系。在主值域內(nèi)有 dii ,因此，頻軸無畸變。求式的穩(wěn)態(tài)增益啊0 G (z)W可見G的穩(wěn)態(tài)增益受采樣周期T響應很大。因此，穩(wěn)態(tài)增益畸變嚴重- 便得本法很少使用。n當T足夠小時，一定可使所有 S域極點均落在主域之內(nèi)，此時的映射可相 當于一一對應的。主域整個Z平面；左半平面單位圓內(nèi)；右半平面一一單位圓

37、外；虛軸 單位圓；容易理解，如果在a(k)的激勵下也引入零階保持器時，ik)和m)就成為等 價的了(為什么)，于是式成為，m1- e-Ts1G(z) = Res G(s)仃i=1 i s1- e z1 m _. 1 、1,(1 z ) Res -G(s)dli=1 i s 1- e z由下式可以證明穩(wěn)態(tài)增益無畸變G(z) L1JsT 1e z z 11m _1 -(1 z1) Res-G(s)i1 i s1z1zG(s)(1z1)ResG(s)s(1 esT z 1)G(s)sof系統(tǒng)等效法n階躍響應不變法提法：設(shè)有G(s)和G(z),若G(s)在1(t)的激勵下的響應e在kT處的采樣值e(k

38、T)與G在1(k)的激勵下所得之響應相等，即稱G和G是階躍響應不變(等 價)的。在階躍輸入的特殊情況下，在 1(t)的后面有無零階保持器是無區(qū)別的()。有1八1Z G(z)、1八1L G(s)- |t kTs兩邊求z變換，得,1-1,ZL G(s)s1 -1RessGrvr可得,G(z) (1 z1 m 1)i1RessG1-sT 1 J e z(2-37)S到z的映射關(guān)系與沖激響應不變法相同;從變換關(guān)系式可知，無頻軸畸變。由下式可知，無增益畸變-, sT 11 e z z 11 m 1G1zi(1 z)i1RessG(s)小 1G(s)(1 z ) Res strs0 s(1 e z ) z

39、1G(s)對比式和式可知，引入零階保持器時的沖激響應等效法 式與不引入零階保 持器時的階躍響應等效法 式二者是等價的。G 部分分式法事實上，部分分式法是留數(shù)計算法的一個變形，也是留數(shù)法的一種使用形 式。一般教科書中都給出相應的表格以供查照。3.4.4離散化方法小結(jié)1)對于表示信號的G(s)的離散化必須直接使用留數(shù)法(部分分式法)2)在物理上，表示調(diào)節(jié)器的 G(s)不需要ZOH,表示被才5對象的G(s)必需要加 ZOHo3)無論對于表示調(diào)節(jié)器還是表示被控對象的G(s)的離散化，都可以使用直接代換法，也可以使用留數(shù)法(部分分式法)。但是在數(shù)學上，使用直 接代換法時不需要ZOH使用留數(shù)法(部分分式法

40、)時需要先加上ZOH3.5線性離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1 離散系統(tǒng)的閉環(huán)極點(特征值)與系統(tǒng)輸出特性的關(guān)系設(shè)線性離散時間系統(tǒng)G(z),kzL(z Pi)i 1其中Am(z)為m階首一多項式,并設(shè)Pi為單實根或單共鈍復根的情況，且設(shè)G(z)中沒有z=1的極點，即有piL當存在復根或z=1的極點時，如下各項分析結(jié)論仍然成立。當存在一對共軻復根時，有npij ire i , Pi 1 re當輸入為單位階躍序列，即0/ R(z)z ,此時輸出為z 1Y(z) G(z)R(z),Am(z)k n(z Pi) zi 1由上一節(jié)討論可知，求上式的Z反變換，可得y(k)koPrkr(pr)kj s k

41、jksj s k jkSks(e rs e e L e )pskokr(Pr)kksrsk(ej(k s s) e j(k s s)prpsK 8力。S2叱 8s-,）上式中，ko為與階躍輸入相對應的穩(wěn)態(tài)響應項Pr為單重實根極點，kr為與Pr相對應的輸出項系數(shù)Ps為單重共鈍復極點，其中rs為其幅值，s為其幅角ks為與極點ps相對應的輸出項的系數(shù)幅值，s為其相位角由上式可知，如果1，則隨著k ，Pi的對應輸出項發(fā)散，不穩(wěn)定如果Ml 1,則隨著k , Pi的對應輸出項為恒值（實根）或等幅振蕩（共鈍復根），臨界穩(wěn)定。如果0 |。| 1,則隨著k , Pi的對應項收斂，穩(wěn)定。再考察共鈍復根對應輸出項的相角特性（周期振蕩），令k s 2，則一個振蕩周期對應的周期數(shù)為,2_ 5 0（考慮共鈍復數(shù)）。kdss顯然，s越接近零，kd越大，即振蕩周期越長，當 s 時，kd 2,輸出正負交替。震蕩周期為兩個采樣周期圖例:P對應輸出，發(fā)散,R對應輸出，穩(wěn)定,s 22.5 ,kd 16s 15, kd 24P6對應輸出，穩(wěn)定,P7對應輸出，穩(wěn)定,180 ,kd0 ,kdP4對應輸出，臨界穩(wěn)定,P2對應輸出，臨界穩(wěn)定,P3對應輸出，臨界穩(wěn)定,135 ,kd45，kd2.7s 90 ,kd 4試分別畫出與上述各特征根對應的輸出模態(tài)波形的示意圖由上分析可知：線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定域是其傳遞函數(shù)的全