數(shù)學(xué)中不等式的證明方法

1、數(shù)學(xué)中不等式的證明方法王貴保一、利用拉格朗日中值定理1拉格朗日中值定理：設(shè)滿(mǎn)足：（1）在閉區(qū)間a, b上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間（a, b）內(nèi)可導(dǎo)，則有一點(diǎn)（a, b），使得2從上式可以看出，如果能確定了介于某兩個(gè)數(shù)m與M之間，則有如下形式的不等式：M因此，欲證形如或構(gòu)造成為形式的不等式，可用該方法。例1：證明，當(dāng)0時(shí)，有.證明：由原不等式，因?yàn)?，可改寫(xiě)為1的形式，或改寫(xiě)為1的形式，這里，區(qū)間為0, ，于是可用拉格朗日中值定理證明。令，0, ，則滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件，于是存在0, 有1所以，有不等式.例2：證明不等式（x0）證明：這里，于是可對(duì)在x, 1+x上應(yīng)用拉格朗日中值定理.令（x0

2、），則在x, 1+x上滿(mǎn)足中值定理的條件，于是有，即，使得（1）又因?yàn)?，知有?）于是由（1）（2）可得二、利用函數(shù)的單調(diào)性1定義：設(shè)在（a, b）內(nèi)有定義，任取且，如有則稱(chēng)在（a, b）單調(diào)增加，如有則稱(chēng)在（a, b）內(nèi)單調(diào)減少.2判定單調(diào)性的方法：如在（a, b）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)0，則在（a, b）內(nèi)單調(diào)增加；如導(dǎo)數(shù)0，則在（a, b）內(nèi)單調(diào)減少.3從單調(diào)性的定義可以看出，若構(gòu)造不成的形式，則可利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定證明.例3：證明，0時(shí)有1+.證明：令，則0所以單調(diào)增加，于是當(dāng)0時(shí)有0，即有0. 或1+例4：證明1時(shí)，有證明：令，則，由1知0，所以單調(diào)增加，于是當(dāng)1時(shí)有0，即得：.三、利用閉區(qū)

3、間上的連續(xù)函數(shù)可以取得最大值與最小值的方法1定理：若在閉區(qū)間a, b上取得最大值M與最小值m，于是有M.2因此，若在不等式的證明中，如有某一個(gè)變量受到限制時(shí)，可用該方法。3最大值與最小值的求法為：先對(duì)求導(dǎo)，得方程0，求出其解，比如為，然后計(jì)算，及與，從中取最大者為最大值，最小者為最小值.例5：證明，當(dāng)01，1時(shí)有不等式1證明：這里因有限制，可見(jiàn)，應(yīng)求函數(shù)在上的最大值及最小值.，可得.又；，于是有1.四、利用函數(shù)的凹凸性進(jìn)行證明1定義：設(shè)函數(shù)在（a, b）內(nèi)有定義，如有則稱(chēng)函數(shù)在（a, b）內(nèi)為凹函數(shù)，如有，則稱(chēng)函數(shù)在（a, b）內(nèi)為凸函數(shù)；更加一般地，如有則稱(chēng)在（a, b）內(nèi)為凹函數(shù)，如有，則稱(chēng)在（a, b）內(nèi)為凸函數(shù). 其中，（a, b）.2因此，如在不等式的證明中出現(xiàn)了形如或的形式，可用函數(shù)凹凸性來(lái)證明.3函數(shù)凹凸性的判定：如在（a, b）內(nèi)的二階導(dǎo)數(shù)0，則函數(shù)為凹函數(shù)，如0，則函數(shù)為凸函數(shù).例6：證明，當(dāng)時(shí)，有.證明：由于在所證明的不等式中有的形式，因此可用函數(shù)的凹凸性證明，為此，令，則0，于是函數(shù)為凹函數(shù)，從而對(duì)任何有. 即.注：本例可以推廣到如下的不等式，即.例7：證明，當(dāng)，均勻正數(shù)時(shí)有證明：因?yàn)樵诓坏仁降淖筮叧霈F(xiàn)了乘積，因此，我們兩邊取對(duì)數(shù)變成和的形式，即欲證，只須證明，即證：于是，可令0，則有0（t0）可見(jiàn)為凸函數(shù)，由凸函數(shù)的定義