初中數(shù)學(xué)教學(xué)論文關(guān)于化歸思想的分析與應(yīng)用_第1頁(yè)
初中數(shù)學(xué)教學(xué)論文關(guān)于化歸思想的分析與應(yīng)用_第2頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、關(guān)于化歸思想的分析與應(yīng)用【關(guān)鍵詞】化歸思想 化歸策略 化歸方法所謂化歸,就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思,數(shù)學(xué)中的化歸方法就是將一個(gè)新的,有待解決的或者還沒解決的問題,通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題中去,從而最終求得解答的一種手段或方法.化歸的方向可以簡(jiǎn)述為:由未知化為已知,由困難化為容易,由繁瑣化為簡(jiǎn)潔.在具體化歸的時(shí)候一般應(yīng)遵循三個(gè)原則,分別是:熟悉性原則,簡(jiǎn)單性原則,直觀性原則.也可以簡(jiǎn)述為:把實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題,把數(shù)學(xué)問題化為代數(shù)問題,把代數(shù)問題化為解方程的問題.義務(wù)教育大綱明確提出數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分以來,數(shù)學(xué)教學(xué)中如何挖掘課本中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方

2、法、如何有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)、如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育工作者普遍關(guān)注和潛心探索的一項(xiàng)重要課題.在新課程中,化歸的思想在教材中的體現(xiàn)是豐富多彩,在整個(gè)初中階段幾乎我們?cè)诮鉀Q新的問題都用了化歸的思想,將不熟悉的問題化歸為熟悉的問題,所以在教學(xué)的過程中我們應(yīng)該從深層去揭示數(shù)學(xué)例題的實(shí)質(zhì),讓學(xué)生從學(xué)習(xí)中去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想去感受數(shù)學(xué)方法論,提高對(duì)數(shù)學(xué)的審美觀.新課標(biāo)不同于過去的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱,不再是一系列的知識(shí)點(diǎn)的羅列,而是把數(shù)學(xué)看成人類創(chuàng)造的“活生生”的思維活動(dòng),而不是“天上掉下來”的教條.數(shù)學(xué)內(nèi)涵豐富了,學(xué)生易于親近了,學(xué)習(xí)的積極性提高了,數(shù)學(xué)教學(xué)的效能也自然提高了.一、化歸在教

3、材中的滲透1、化歸思想在代數(shù)運(yùn)算方面的滲透:有理數(shù)的運(yùn)算:例:; 這是初中階段最基礎(chǔ)的有理數(shù)的運(yùn)算,從這個(gè)例題中我們可以看出化歸在這里已經(jīng)體現(xiàn)出來了,我們學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算是先學(xué)加法運(yùn)算,而減法運(yùn)算是通過化歸成已學(xué)習(xí)的加法來運(yùn)算。同理,在學(xué)了乘法的基礎(chǔ)上如何計(jì)算除法呢,同樣我們將陌生的除法轉(zhuǎn)化為熟悉學(xué)過的乘法運(yùn)算.解二元一次方程組分析:(1)式(2)式得2y=3, ,將代入(2)式得到利用消元解二元一次方程,實(shí)質(zhì)就是將不熟悉的二元一次方程組化歸為我們已經(jīng)熟悉的一元一次方程.分式方程整式化、無(wú)理方程有理化,實(shí)現(xiàn)新知識(shí)向已知知識(shí)塊的轉(zhuǎn)化 .教材中的分式方程按去分母后的形式分為可化為一元一次方程的分式

4、方式和可化為一元二次方程的分式方程,前者安排在七年級(jí)上,后者安排在八年級(jí)下。從此可以看出把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一已知的知識(shí)模塊是解分式方程的基本思路.初中教材中的無(wú)理方程基本上都可以通過對(duì)方程兩邊進(jìn)行平方或是換元把它轉(zhuǎn)化為整式方程中的一元一次方程或是一元二次方程,從而使無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程這一已知的模塊,從而得到求解.2、化歸思想在幾何教學(xué)中的滲透與應(yīng)用平面幾何從定義、定理到立體、習(xí)題等許多地方都體現(xiàn)出了化歸思想。在四邊形中研究有關(guān)邊、角的數(shù)量關(guān)系時(shí),經(jīng)常通過作輔助圖形化歸成三角形的有關(guān)知識(shí)來解決,對(duì)正多邊形的有關(guān)計(jì)算可以化歸為直角三角形中的有關(guān)計(jì)算。學(xué)習(xí)正多邊形和圓的位置關(guān)系后,正多邊

5、形的作法可化歸成等分圓周來解決;求圓柱、圓錐的側(cè)面積可化歸為計(jì)算矩形、扇形面積等。以上這些都是化歸思想在教材中的體現(xiàn)。在新教材中,對(duì)圓周角定理的證明,就充分體現(xiàn)了化歸的思想方法.3、化歸思想在解析幾何教學(xué)中的滲透與應(yīng)用在教學(xué)“函數(shù)及圖象”中的求兩直線的交點(diǎn)問題,化歸思想體現(xiàn)在以下方面:將求兩直線交點(diǎn)問題化歸為求方程組的解集.兩直線和的交點(diǎn)為(,),說明點(diǎn)(,)即在上又在上,故其坐標(biāo)(,)即滿足的表達(dá)式,又滿足的表達(dá)式。所以同時(shí)滿足兩個(gè)方程的一對(duì)未知數(shù)的值和,就是兩表達(dá)式組成的方程組的解.所以在求直線交點(diǎn)的問題就可以化歸為求方程組解的問題了,從而對(duì)此類題目有了一個(gè)較明確、形象的理解,不再那么抽象

6、.二、化歸的策略1、變換的策略1.1、尋找恰當(dāng)?shù)挠成洌▽?duì)應(yīng)關(guān)系)實(shí)現(xiàn)化歸,數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系有許多是映射.利用映射,可將待解決的問題轉(zhuǎn)化為另一問題. 笛卡爾通過建立坐標(biāo)系,確定了平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,創(chuàng)立了解釋幾何.由此我們可以把判斷點(diǎn)P(6,3)是否在拋物線上,變成判斷是否是方程的解;求直線與雙曲線交點(diǎn)問題,變成求方程組解的問題.1.2、代換.變量替換、換元、增量替換、等量代換都是特殊的映射變換. 例1、若a、b為互不相等的實(shí)數(shù),且,則的值為        分析

7、:用變量x替換a、b.即根據(jù)條件的特殊結(jié)構(gòu),由方程解的定義可知:a、b是方程的兩個(gè)不等實(shí)根.由韋達(dá)定理得,。利用已知條件,把所求代數(shù)式變形,再整體代換2、轉(zhuǎn)換語(yǔ)義實(shí)現(xiàn)化歸策略 數(shù)學(xué)中,每一種數(shù)學(xué)語(yǔ)義(概念、關(guān)系等),一般都有一種確定的數(shù)學(xué)符號(hào)(式)表示,但不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)義可能是由同一種數(shù)學(xué)符號(hào)(式)表示的.也就是說,一種數(shù)學(xué)符號(hào)(式),可作不同的語(yǔ)義解釋,如表示a與b差的絕對(duì)值,又表示數(shù)軸上a,b兩點(diǎn)的距離.語(yǔ)言是思維的載體,是思維的外部表現(xiàn)形式,同一種數(shù)學(xué)語(yǔ)義的內(nèi)容可以用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、邏輯語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、表格等不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式表示.因此,通過語(yǔ)義轉(zhuǎn)換,能使一個(gè)問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)

8、較簡(jiǎn)單明了的問題.2.1、等價(jià)轉(zhuǎn)換將一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯成另一種語(yǔ)言形式;或?qū)⒁环N形式意義翻譯成另一種形式意義,這種以對(duì)象“釋”對(duì)象,就是等價(jià)轉(zhuǎn)換。如點(diǎn)P在O上(R為O半徑);兩圓外切(d為圓心距,R、r為兩圓半徑);原命題等價(jià)于逆否命題.2.2、數(shù)形轉(zhuǎn)化數(shù)和形反映了事物的兩個(gè)方面,數(shù)無(wú)形,少直觀;形無(wú)數(shù),難入微.因此,在解決問題時(shí),常要把同一數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行代數(shù)釋意與幾何釋意,實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的語(yǔ)義轉(zhuǎn)化.也就是說,將數(shù)(量)與(圖)形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究,通過數(shù)的計(jì)算去找圖形之間的聯(lián)系,用“數(shù)”的知識(shí)解決“形”的問題;根據(jù)條件畫圖形或結(jié)合所給圖形去尋找數(shù)之間的聯(lián)系,用“形”的知識(shí)解決“數(shù)”的問題

9、,這種數(shù)形結(jié)合的思想是解決數(shù)學(xué)問題的切入點(diǎn).例2、ABC中,AB=AC=4,BD交AC于E,且CE=1。求 分析:根據(jù)題意,由AB=AC,可構(gòu)造一個(gè)以A為圓心,AB為半徑的輔圓(如右圖,BDC為圓周角),直徑,由相交弦定理可知, 例3、 計(jì)算 分析:將邊長(zhǎng)為1的正方形割取一半;第二次再將余下矩形割取一半依此分割(如圖),可以看出每次割取的部分(矩形)與余下的部分(矩形)面積相等。那么割取的各部分矩形面積之和應(yīng)等于正方形的面積1減去最后一次余下的矩形面積。即           3、特殊

10、化與一般化的策略 3.1、特殊化 所謂特殊化就是將所論的數(shù)學(xué)事實(shí)“退”到屬于它的特殊狀態(tài)(數(shù)量或位置關(guān)系)下研究,從而達(dá)到研究一般狀態(tài)的目的,數(shù)學(xué)中常將變量換成常量,任意圖形換成特殊圖形或特殊位置,以獲取某種啟示,這是特殊化得具體體現(xiàn). 3.2、一般化 所謂一般化,就是將所論的具體數(shù)學(xué)問題,放在一般的狀態(tài)下進(jìn)行思考,從而找到解決具體問題的思路.由特殊到一般,由一般到特殊,即由具體到抽象,由抽象到具體,它們互相制約,互相補(bǔ)充,是化歸法的另一個(gè)策略.例4 在RtABC中, 0,a,b,c為三邊長(zhǎng),求證: (n3)分析:在具體證明前,可先從具體,特殊性入手.當(dāng)

11、n=3時(shí),因?yàn)樗运詮亩艽藛l(fā)。可以得到證明方法是:因?yàn)槔?、計(jì)算分析:數(shù)字較大,運(yùn)算繁,不易發(fā)現(xiàn)隱含的一般性質(zhì),設(shè),則 原式 三、化歸的方法依據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn),化歸方法可進(jìn)行不同的分類,下面主要?dú)w納幾種基本,重要且具體的化歸方法.1、變形法變形在初等數(shù)學(xué)中主要是恒等變形,有多項(xiàng)式的恒等變形,分式的恒等變形,無(wú)理式的恒等變形,通過變形實(shí)現(xiàn)由未知到已知,由難道易,由繁到簡(jiǎn)的目的.例6.設(shè).分析:本題若將x的值直接代入原式計(jì)算,將很繁瑣,若利用恒等變形進(jìn)行化歸,可達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的妙處.由2、分解法所謂分解法就是把所要考慮的每一個(gè)問題,按照需要與可能,分成若干部分,使它們更容易求解

12、,在很多情況下,為使化歸過程完全實(shí)現(xiàn),往往還要重新組合,數(shù)學(xué)家波利亞說過:“分解與組合是重要的智力活動(dòng),使其每一部份成為更易下手的問題.”在面積和體積的計(jì)算和證明中,經(jīng)常用到分解法,也稱為形體分割法,通過對(duì)形體的分割,以達(dá)到化歸的目的.例7,如圖,有一塊半圓形鋼板,直徑AB=20cm,計(jì)劃將此鋼板切割成下底為AB的等腰梯形,上底CD的端點(diǎn)在圓周上,且CD=10cm求圖中陰影部分的面積.OEBACD分析:陰影部分的面積是不規(guī)則的,要直接求是不可能的,陰影部分是一個(gè)弓形,所以我們可以直接分解:弓形面積=扇形面積-三角形面積即,S扇形DOCSDOC=S陰影3、映射法映射法,即關(guān)系,映射,反演方法(R

13、MI)這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中實(shí)現(xiàn)化歸的一種重要方法,與一般的化歸相比,這種化歸的方法達(dá)到了更高的抽象程度,這一方法也是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治提出的.尋找恰當(dāng)?shù)挠成洌▽?duì)應(yīng)關(guān)系)實(shí)現(xiàn)化歸,數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系有許多是映射。利用映射,可將待解決的問題轉(zhuǎn)化為另一問題。例8、已知:關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為,且二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線,則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為        分析:根據(jù)方程與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可知:方程的一個(gè)根為,那么,函數(shù)當(dāng)自變量時(shí),函數(shù)值 即點(diǎn)(2,3)在拋物線上;又因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是直線,則(2,3)為拋物線的頂點(diǎn)

14、.縱觀整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué),我們不難發(fā)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)教材中有很多問題都是需要用化歸思想來解決,化歸思想在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有著舉足輕重的作用,是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想,所以在日常教學(xué)中應(yīng)該落實(shí)和滲透化歸思想.認(rèn)真鉆研教材,充分挖掘和掌握教材中所蘊(yùn)涵的化歸思想方法.數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體,它的各部分之間相互聯(lián)系、相互依存、相互滲透,使之構(gòu)成了縱橫交錯(cuò)的立體空間,我們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)問題的過程中,常需要利用這些聯(lián)系對(duì)問題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化,使之達(dá)到簡(jiǎn)單化、熟悉化的目的.要實(shí)施轉(zhuǎn)化,首先須明確轉(zhuǎn)化的一般原理,掌握基本的化歸思想和方法,并通過典型的問題加以鞏固和練習(xí)。因此,在平時(shí)的教學(xué)中,我們不斷要教會(huì)學(xué)生解題,通過仔細(xì)的觀察、分析,由問題的條件、圖形特征和求解目標(biāo)的結(jié)構(gòu)形式聯(lián)想到與其有關(guān)的定義、公式、定理、法則、性質(zhì)、數(shù)學(xué)解題思想方法、規(guī)律以及熟知的相關(guān)問題解法,由此不斷轉(zhuǎn)化,建立條件和結(jié)論之間的橋梁,從而找

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