可伸縮撓性結構的穩(wěn)定控制

1、1998年2月中國空間科學技術1可伸縮撓性結構的穩(wěn)定控制張洪華(北京控制工程研究所,北京100080)摘要對于撓性梁收縮過程的不穩(wěn)定性,提出了邊界控制方案,并設計了相應的控制律。受控結構的振動能量總是被耗散,系統(tǒng)的阻尼被增強,從而撓性梁的伸展過程、收縮過程和平臺保持過程都被穩(wěn)定化。主題詞梁撓性結構結構穩(wěn)定性振動控制方法1引言運用嚴格的分析方法,本文作者曾研究了可伸縮撓性梁結構的穩(wěn)定性。發(fā)現(xiàn)結構振動與轉動能量的耗散與積聚取決于梁的伸縮運動:在伸展過程系統(tǒng)的能量被耗散;在收縮過程系統(tǒng)能量被積聚;在平臺保持過程系統(tǒng)能量維持不變。因此,梁的伸展過程是穩(wěn)定的,梁的收縮過程是不穩(wěn)定的,而梁的平臺保持過程是

2、臨界穩(wěn)定的。眾所周知,在未來大型空間飛行器在空間建造的過程中,姿態(tài)運動和維度變化運動通常是必需的運動,而撓性振動是不期望的運動,應當設法抑制25。而結構收縮過程的本質不穩(wěn)定性將可能導致飛行器暫態(tài)過程的品質降低,甚至影響飛行器的使命。因此,有必要對其施加控制以使伸縮結構在所有過程都獲穩(wěn)定,進而具有期望性能。伸縮結構控制的研究許多是與繩系衛(wèi)星的釋放與回收控制有關25,但除有限的幾篇文獻外,這些研究均假設繩索的彈性可忽略。本文則以剛體與可伸縮撓性梁的互聯(lián)結構為背景,引入能量函數(shù)并且利用能量耗散原理設計相應的控制器。12可伸縮撓性梁結構的運動方程考慮如圖1所示的可伸縮結構,它由剛性本體R和聯(lián)接其上的可

3、伸縮撓性梁構成。圖中,OEXEYEZE表示慣性坐標系;O0X0Y0Z0表示軌道參考坐標系;O1X1Y1Z1表示與梁固連坐標系,其中O1X1與未變形梁方向一致。為便于分析,僅考慮其姿態(tài)運動、撓性梁的振動和梁的長度變化運動(維度運動),并且這些運動局限在軌道平面O0X0Y0內(nèi)。則該結構中的運動可歸結為坐標系O1X1Y1Z1繞O0Z0的旋轉運動,在平面O1X1Y1內(nèi)的撓性振動和撓性梁的軸向維度運動。:2中國空間科學技術1998年2月令 表示體系O1X1Y1Z1相對于體系O0X0Y0Z0的角速度;w(r,t)表示撓性梁上質量元的彈性位移; (t)表示剛體的角位移;JR表示剛體R的轉動慣量;Jf表示撓性

4、梁在剛體R內(nèi)部分的轉動慣量;l=l(t)表示梁在t時刻的長度; (t)表示梁的伸縮速率;n(x,t)和m(x,t)分別表示梁的接觸力和接觸力矩;!是梁的質量密度;圖1可伸縮撓性梁結構(t)是控制力矩。i1,j1,k1表示體系O1X1Y1Z1的單位矢量。假設梁是一端固連于剛體、一端自由的均勻懸臂梁,剛體內(nèi)的部分集中在剛體的邊沿,剛體外的部分是Eular-Bernolli梁,并且滿足:其中性線(幾何對稱線)是剛體的,即不可伸縮;其彎曲位移的梯度很小。進而可設梁上任意點的伸縮速率一致2。對于小運動結構(小姿態(tài)運動、小伸縮率、小撓性變形和小撓性變形梯度),可進一步設:梁的接觸力n(x,t)在截面方向的

5、分量n2主要取決于梁的剪力,于是,n2=-EIwxxx(x,t).梁的接觸力矩m(x,t)=EIwxx(x,t)+m3(x,t)k1在自由端主要取決于梁的彎矩,或者梁上的陀螺效應忽略不計,于是,m(l,t)=EIwxx(l,t)k1.姿態(tài)旋轉角速率 1以使 vw(x,t)dx0l + vw0l t+vwx+ (b+x)dx 1其中使用記號:( )x=( ),( )t=( ),( )=( )。dt在上述假設下,利用Newton-Eular方法可導出可伸縮撓性梁結構的運動方程(EI/!)wxxxx+wtt+2vwxt+wxxv+wxv+2 v- w+ (b+x)=0 2 (1)(2)JR+Jf(t

6、) =-bEIwxxx(0,t)+EIwxx(0,t)+m3(0,t)+(t)對于未受控的梁結構,已經(jīng)證明梁的伸展過程是穩(wěn)定的,收縮過程是不穩(wěn)定的,而梁的平臺保持過程是臨界穩(wěn)定的。因此,有必要對梁施加控制以使其具有期望的運動性能。3可伸縮撓性梁結構的穩(wěn)定構造如下控制律:(t)=(b+l)EIwxxx(l,t)-EIwxx(l,t)-k-EIwxxx(l,t)=-#wt(l,t)+vwx(l,t)EIwxx(l,t)=-wxt(l,t)-%EIwxx(0,t)這里k,#,和%是待定常數(shù)。控制律(3)作用于剛體;控制律(4)和(5)作用于撓性體的自由端,-EIwxxx(l,t)是自由端的剪切力,E

7、Iwxx(l,t)是自由端的彎矩。-EIwxxx(l,t)和EIwxx(l,t)可由相應力(, (3)(4)(5)1998年2月中國空間科學技術3的力矩,這些量均可測得,因此,控制律是可實現(xiàn)的。構造可伸縮撓性梁結構的能量函數(shù)V=JR+Jf(t) +!0(r-vi1) (r-vi1)dx+EI2ll2wxxdx0(6)其中第一項表示剛體與收攏在剛體內(nèi)的撓性梁部分的旋轉動能;第二項表示伸展開的撓性梁的動能(不含軸向運動動能);第三項表示伸展開的撓性梁的彈性勢能。定理1:假設伸縮結構式(1),(2)的控制器由式(3)(5)給出。若下列條件成立 在式(3)中,k>0 在式(4)中,#>0在

8、式(5)中,0<EI/ v=0,若v0!在式(5)中,>1,若v<0,wxt(l,t)wxx(0,t)0<-1,若v<0,wxt(l,t)wxx(0,t)<0則對適當小伸縮速率v,式(6)將收斂到零,即limV(x,t)=0t為證定理1先給出引理1和引理2。引理1:若定理1條件成立,則沿著受控結構的解,式(6)是時間t的非增函數(shù)。證明:微分式(6)并利用式(1),(2)導出V=2JR+Jf(t) +J +2!0(r-vi1)2EI¨2f(7)(8)(9)(10)l(r-vi1)dx+dtl22wxxwxxtdx+EIwxx(l,t)v-EIwxx(

9、0,t)v=02-!vb2 -2 (t)-(b+l)EIwxxx(l,t)+EIwxx(l,t)-2EIwxxx(l,t)wt(l,t)+vwx(l,t)+2EIwxx(l,t)wxt(l,t)+22EIw2xx(l,t)v-2EIwxx(0,t)v(11)2將式(3)(5)代入式(11)給出V=-(2k+!vb) -2#wt(l,t)+vwx(l,t)+2wxt(l,t)-wxt(l,t)-%EIwxx(0,t)+2(v/EI)-wxt(l,t)-%EIwxx(0,t)-2EIwxx(0,t)v=-(2k+!vb) -2#wt(l,t)+vwx(l,t)-2(-v/EI)wxt(l,t)+2

10、2(2v-EI)%wxt(l,t)wxx(0,t)+2v(%-1)2EIw2xx(0,t)222222222(12)由式(12)推出若下列(a)和(b)成立:k>0#>0(a)在情況v0EI/v%=0(13)4中國空間科學技術1998年2月k>0#>0(b)在情況v<00>1,若wxt(l,t)wxx(0,t)0%<-1,若wxt(l,t)wxx(0,t)<0則存在常數(shù)K1>0,K2>0,K30,K40使得22V-K1 -K2wt(l,t)+vwx(l,t)2-K3w2xt(l,t)-K4wxx(0,t)0(14)(15)容易驗證若定

11、理1的條件式(7)(10)成立,則式(13),(14)必成立,進而式(15)成立,于是能量函數(shù)式(6)是非增函數(shù);因此引理1得證。引理2:若定理1條件成立,則存在常數(shù)T>0,使t>T時,能量函數(shù)式(6)以Ot速率衰減。證明:對&(0,1),定義函數(shù)V(t)V(t)=(1-&)tV(t)+這里V(t)同式(6)。對所有0<x<l和所有t>02ll!x(r-vi1) (rx-(b+x)xi1)dx0(16)w(x,t)l0w(x,t)dxl注意到-2l2x2w(x,t)dxw(x,t)l0wxx(x,t)dx02xx2xl2(17)l2!x(r-vi1

12、)rx-(b+x)xi1dx!l (r-vi) +00lrx-(b+x)xi1 dxM1V(t)+M2這里M1>0,M2>0。因此(1-&)t-M1V(t)-M2V(t)微分式(16)導得(18)(19)V=(1-&)V(t)+(1-&)tV(t)+l!x0(r-vi1) rx-(b+x)xi1dx+dtl!x(r-vi1) rx-(b+x)xi1dx+0dtl!vrx-(b+x)xi1dx2222(20)計算式(20)中各項,并注意到對任意R,aR,bR,aba+b/可導得對任意和1有2V -(1-&)tK1+(1-&)JR+Jf(t)+!

13、l(b+l)2+!lw2(l,t)/2+wt(l,t)+vwx(l,t)2-(1-&)tK2+1/2+!l+wxt(l,t)-(1-&)tK3+/+l/(EI)+2w2xx(0,t)-(1-&)tK4+ % EI/2+lEI%-222+&-!v2l2/(EI21)2l2EIwxxdx-02-222+&-21×222li1(+)021)1998年2月中國空間科學技術5其中K1>0,K2>0,K30,K40同式(15)。在式(21)中,選取1和&使得&21+1/2,進而選取v使得22+&>!v/(EI1)2

14、最終選使得-+&-!v2/(EI21)2EIw0l2xx2dx+(2+2l2#+2 % )wx2(l,t)0(22)由式(17)以及l(fā)=l(t)的有界性(因為梁的總質量是有限的,而在剛體外的梁的一部分設為有固定質量密度),可推知選取使式(22)成立是可能的。進而觀察式(21)推知存在常數(shù)T>0,使t>T時V(t)0(23)(24)或V(t)V(T)式(24)和式(19)意味著當t>T時(1-&)t-M1V(t)-M2V(T)或V(t)(M2+V(T)/(1-&)t-M1因此引理2得證。定理1的證明:由引理2易導出limV(t)limM2+V(T)/(1

15、-&)t-M1=0tt(25)定理1表明控制律(3)(5)能夠在所有伸展、收縮和平臺保持過程使撓性梁結構穩(wěn)定。注意到控制律設計的主要思想是耗散結構的振動能量。此外,控制律的參數(shù)的確定并不要求知道結構的精確物理參數(shù),因此具有很強的魯棒性。4結論運用能量耗散原理,本文研究了可伸縮結構的穩(wěn)定控制,給出了能夠使撓性結構在伸展、收縮和平臺保持全過程具有穩(wěn)定性的控制方法。控制器位于結構的邊界,容易實現(xiàn);控制律基本上是一種發(fā)展的速率反饋控制,但為了處理控制器與其敏感器不是同位配置的問題,控制律中加入了邏輯判斷,因此,控制律本質上是一種非線性控制。本文結果可用來解釋國外一衛(wèi)星收縮帆板失效的原因,并且給

16、出預防失效方法。參考文獻4YuS,AkibaR,MatsuoH.Controlofomni-directionalrendezvoustrajectories.ActaAstronautica,1994,32(2):83876中國空間科學技術1998年2月作者簡介張洪華1963年生,1993年畢業(yè)于中國空間技術研究院博士后流動站,高級工程師。目前主要從事?lián)闲院教炱骺刂?高穩(wěn)定度衛(wèi)星姿態(tài)控制;空間站動量管理控制等研究工作。STABILIZATIONOFDEPLOYABLE/RETRACTABLEFLEXIBLESTRUCTUREZhangHonghua(BeijingInstituteofControlEngineering,Beijing100080)SubjectTermBeamFlexiblestructureStructuralstabilityVibrationalcontrolMethod“風云二號”氣象衛(wèi)星正式交付使用中國第一顆靜止軌道氣象衛(wèi)星“風云二號”經(jīng)過160多天的在軌測試及試運用,性能良好,技術參數(shù)正常,達到了90年代國際同類衛(wèi)星先進水平,于1997年12月1日正式交付國家衛(wèi)星氣象中心使用。國務委員、國家科委主任宋健出席了交付儀式,并代表國務院向全體研制人員和參試人員表示慰問和祝賀?！帮L云二號”氣象衛(wèi)星