小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全 第二部分 常用解題思路(四~三)邏輯思

1、小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全 第二部分 常用解題思路（四三）邏輯思路（三）邏輯思路“邏輯思路”，主要是指遵循邏輯的四大基本規(guī)律來分析推理的思路?！就宦伤悸贰客宦傻男问绞牵骸凹资羌住保颉叭绻?，那么甲”。它的基本內(nèi)容是，在同一思維過程中，同一個概念或同一個思想對象，必須保持前后一致性，亦即保持確定性。這是邏輯推理的一條重要思維規(guī)律。運用這一規(guī)律來解題，我們把它叫同一律思路。例1 某公安人員需查清甲、乙、丙三人誰先進辦公室，三人口供如下：甲：丙第二個進去，乙第三個進去。乙：甲第三個進去，丙第一個進去。丙：甲第一個進去，乙第三個進去。三人口供每人僅對一半，究竟誰第一個進辦公室？分析（用同一律思路推理）

2、；這一類問題具有非此即彼的特點。比如甲是否是第一個進辦公室只有兩種可能：是或非。我們用1表示“是”，0表示“非”，則可把口供列表處理。（1）若甲第一，則依據(jù)丙的口供見左表，這個表與甲的口供僅對一半相矛盾；（2）若甲非第一，則依據(jù)丙的口供，乙第三個進去，進行列表處理如右表，與“三人口供僅對一半”相符。從而可以判定，丙最先進入辦公室。這個問題也可以不列表而用同一律推理。甲的話第一句對，第二句錯，則丙第二，乙不是第三，又不是第二，自然乙第一，甲第二，這個結(jié)論與丙說的話“半對半錯”不符。因此，有甲的第一句錯，第二句對。即乙第三個進去，丙不是第二個，自然是第一個。這個結(jié)論與乙的話“半對半錯”相符：甲不是

3、第三，丙是第一。并且這個結(jié)論與丙的話“半對半錯”也相符：甲不是第一，乙是第三。在整個思維過程中，我們對三人的話“半對半錯”進行了一一驗證，直到都符合題目給定的條件為止。例2 從前一個國家里住著兩種居民，一個叫寶寶族，他們永遠說真話；另一個叫毛毛族，他們永遠說假話。一個外地人來到這個國家，碰見三位居民，他問第一個人：“請問你是哪個民族的人？”“匹茲烏圖。”那個人回答。外地人聽不懂，就問其他兩個人：“他說的是什么意思？”第二個人回答：“他說他是寶寶族的。”第三個人回答：“他說他是毛毛族的。”請問，第一個人說的話是什么意思？第二個人和第三個人各屬于哪個民族？分析（用同一律思路思考）：如果第一個人是寶

4、寶族的，他說真話，那么他說的是“我是寶寶族的”。如果這個人是毛毛族的，他說假話，他說的還是“我是寶寶族的”。這就是說，第一個人不管是什么民族的，那句話的意思都是：“我是寶寶族的”。根據(jù)這一推理，那么第二個人回答“他說他是寶寶族的”這句話是真的，而從條件可知，說真話的是寶寶族人，因此可以判斷第二個人是寶寶族人。不管第一個人是什么民族的，根據(jù)前面推理已知他說的話是“我是寶寶族的”，而第三個人回答“他說他是毛毛族的”顯然是錯的，而說假話的是毛毛族人，因此可以斷定第三個人是毛毛族人。我們在分析本題時，始終保持了思維前后的一致性，這就是同一律思路的具體運用。【不矛盾律思路】不矛盾律的形式是“甲不是非甲”

5、。它的基本內(nèi)容是：同一對象，在同一時間內(nèi)和同一關(guān)系下，不能具有兩種互相矛盾的性質(zhì)，它是邏輯推理的又一重要規(guī)律，運用不矛盾律來推理、思考某些問題的解答，這種思路我們把它叫做不矛盾律思路。例1 有三個和尚，一個講真話，一個講假話，另外一個有時講真話，有時講假話。一天，一位智者遇到這三個和尚，他先問左邊的那個和尚：“你旁邊的是哪一位？”和尚回答說“講真話的。”他又問中間的和尚：“你是哪一位？”和尚答：“我是半真半假的?！彼詈髥栍疫叺暮蜕校骸澳闩赃吺悄囊晃唬俊贝穑骸爸v假話的。”根據(jù)他們的回答，智者馬上分清了他們，你能分清嗎？分析（運用不矛盾律思路探討）：兩件相互矛盾對立的事情，如果一件是不正確的，另

6、一件就是正確的，這就是不矛盾律的基本思路。我們先假設(shè)左邊和尚講的是真的，那么中間的和尚是講真話的，但這與他的回答：“我是半真半假的”矛盾，所以左邊和尚講真話這一假設(shè)不對。從而左邊和尚講的是假話，他一定不是講真話的和尚。中間那個和尚也一定不是講真話的，所以右邊的和尚是講真話的和尚。根據(jù)他的話，中間是講假話的和尚，剩下左邊的和尚自然就是半真半假的。例2 一次學(xué)校舉行田徑運動會，A、B、C、D、E五個班取得了團體前五名，發(fā)獎后有人問他們的名次，回答是：A班代表說：“B是第三名，C是第五名?！盉班代表說：“D是第二名，E是第四名。”C班代表說：“A是第一名，E是第四名?！盌班代表說：“C是第一名，B是

7、第二名?！盓班代表說：“D是第二名，A是第三名。”最后，他們都補充說：“我的話是半真半假的?！闭埬闩袛嘁幌?，他們各個班的名次。分析（用不矛盾律思路分析）：先簡化一下記法，比如B班是第三名，則寫成B-3，其它類似，這樣五個班代表的講話可簡記為：（1）B-3，C-5。（2）D-2，E-4。（3）A-1，E-4。（4）B-2，C-1。（5）A-3，D-2。假設(shè)（1）的前半句是真的，即B-3，那么由（4）有C-1，由（3）知A-1不對，有E-4；再由（2）知D-2不對，從（5）知A-3，這與假設(shè)矛盾，所以（1）中正確的應(yīng)是C-5，于是由（4）知C-1不對，應(yīng)該是B-2，進而知（2）D-2不對，有E-4

8、，并知（5）D-2不對，有A-3，最后只剩下D及第一名，所以知道D應(yīng)為第一名。最后排出名次自然就非常簡單了。上述敘述雖然簡化了記號，但文字表述仍然覺得累贅，所以還可以借助圖表表達上述推理過程。如圖2.21，假設(shè)B-3，在B上畫一個圓圈（左圖），表示推理的起點，找到另一個B，則應(yīng)是不對的，畫一個“×”，再找與這個B同行的“C”，它應(yīng)是對的，畫一個“”，找與C同列的“A”，它不對，畫一個“×”，等等。最后A-3被畫了一個“”，這與B-3相矛盾，故B-3是錯的。在這個“B”上畫一個“×”，重新開始推理（右圖）。從（1）的C開始，因B-3是錯的，則C-5記“”，則（4）中

9、C-1畫“×”，B-2記“”，由此推出（5）D-2記“×”，（2）D-2記“×”，從表中可以看出，B-2，A-3、E-4、C-5，那么誰是第一，表中雖然未表達，但明眼人一看就知道了。【排中律思路】排中律的形式是“或者是甲，或者是非甲”。它的基本內(nèi)容是：同一對象在同一時間內(nèi)和同一關(guān)系下，或者是具有某種性質(zhì)。或者是不具有某種性質(zhì)，二者必居其一，不能有第三種情況。它是處理肯定判斷與否定判斷之間的關(guān)系的一個規(guī)律。運用這一規(guī)律來推理的思路，我們把它叫排中律思路。排中律和不矛盾律的基本作用是相同的，即都是排除思想中的矛盾。但也有區(qū)別：一是適用范圍不同，不矛盾律的適用范圍寬，既

10、適用于互相反對的判斷，也適用于互相矛盾的判斷，排中律的作用范圍窄些，只適用于互相矛盾的判斷，不適用互相反對的判斷；二是要求不同，不矛盾律要求對互相反對的和互相矛盾的判斷，不能同時斷定其中每一個都是真的，因為其中至少有一個是假的。排中律則要求：對于互相矛盾的判斷，必須肯定其中一個是真，因為其中必有一真，不能都假。如果我們確定了某一個是正確的，根據(jù)不矛盾律，就可以得出另一個是錯誤的。反過來。如果我們確定了某一個是錯誤的，根據(jù)排中律，就可以得出另一個是正確的。從這方面來看，如果說不矛盾律提供我們邏輯否定的基礎(chǔ)，那么排中律則主要提供我們邏輯肯定的基礎(chǔ)；三是邏輯錯誤性質(zhì)不同，不矛盾律要求的邏輯錯誤是“自

11、相矛盾”，排中律要求的邏輯錯誤是“模棱兩不可”。例1 老師有一黑兩白三頂帽子，給兩個學(xué)生看后，讓他們閉上眼睛，從中取出兩頂給他們戴上，然后讓他們睜開眼睛，互相看清對方戴的帽子，并立即說出自己頭上戴的帽子是什么顏色，兩位同學(xué)都不能立即說出，請問你知道這兩位學(xué)生戴的各是什么顏色的帽子嗎？分析（運用排中律思路思索）：假設(shè)你是這兩個學(xué)生中的一個，因為你知道只有一頂黑帽子，當(dāng)你看到對方戴的是黑帽子時，你能判斷自己戴的帽子顏色嗎？可以的，根據(jù)排中律：“非此即彼”，你一定會推斷出自己戴的是白帽子。現(xiàn)在兩個學(xué)生都不能利用排中律很快地說出自己戴的是白帽子，說明他們兩人都沒有看見黑帽子，由此斷定，老師給兩位學(xué)生戴

12、的是兩頂白帽子。例2 曾實、張曉、毛梓青在一起，一位是工程師、一位是醫(yī)師、一位是教師?，F(xiàn)在只知道：（1）毛梓青比教師年齡大；（2）曾實和醫(yī)師不同歲；（3）醫(yī)師比張曉年齡小。你能確定誰是工程師？誰是醫(yī)師？誰是教師嗎？分析（沿著排中律思路探索）：根據(jù)排中律的要求，如果我們能確定某個是錯誤的，就可以得出另一個是正確的。現(xiàn)在已知（1）曾實和醫(yī)師不同歲，（2）醫(yī)師比張曉年齡小，就可以判定曾實和張曉都不是醫(yī)師，因此只有毛梓青是醫(yī)師；若張曉是教師，則根據(jù)（1）毛梓青比教師年齡大，即毛梓青比張曉年齡大，與（3）醫(yī)師比張曉年齡小，即毛梓青比張曉年齡小，這兩個結(jié)論是互相矛盾的，因此張曉不可能是教師。張曉既不是醫(yī)師

13、（因為毛梓青是醫(yī)師），又不是教師，所以張曉應(yīng)該是工程師了。因為三個人、三個職業(yè)，已經(jīng)確定了毛梓青是醫(yī)師，張曉是工程師，剩下的曾實只能是教師了。該題的思路還可以用下表表示：【充足理由律思路】充足理由律的形式是：“所以有甲，是因為有乙”。它的意思是說，任何正確的思想，一定有它的充足理由；任何思想，只有當(dāng)它具有充足的理由時，這種思想才能被認為是正確的。在數(shù)學(xué)中，如果由條正確的，A就是B的正確性的充分理由。因此B的正確性要以A的正確性為基礎(chǔ)，而要使A的正確性得到確認，又得為它提出充足的理由，照此類推。這樣，當(dāng)我們要論證某一思想是正確的時候，常常要引證一系列的理由。以此連鎖引證下去，直到最后的理由它的正

14、確性已經(jīng)確定，并且得到普遍承認的。具體說來有下列三種：（1）明顯的事實，它可以為人們所直接感知的；（2）公理；（3）科學(xué)的規(guī)律。當(dāng)然在實際進行論證時，并不是總要引證到最后的理由，數(shù)學(xué)中已經(jīng)證明過的定理、定律、公式、法則等，都可以作為論證所根據(jù)的理由。充足理由律是進行推理的基礎(chǔ)。運用充足理由律來思考數(shù)學(xué)問題，我們把它叫做充足理由律思路。例1 200米賽跑，張強比李軍快0.2秒，王明的成績是39.4秒，趙剛的成績比王明慢0.9秒，但比張強快0.1秒，林林比張強慢3秒，請你給這五人排出名次來。分析（運用充足理由律思路思索）：題中有兩種概念。一是成績好壞，需要進行量的計算；二是快慢關(guān)系推理，先用計算量

15、進行比較推理。抓住“各人跑200米需要的時間”為比較量。并設(shè)字母A、B、C、D、E來分別表示張強、李軍、王明、趙剛、林林的時間。王明的成績是39.4秒，趙剛的成績比王明慢0.9秒（即C=39.4秒，D=C0.9）D=39.4+0.9=40.3（秒）又 趙剛比張強快0.1秒（即D0.1A）A=40.30.1=40.4（秒）（傳遞性）又張強比李軍快0.2秒（即A=B-0. 2）B=A0.2=40.40.2=40.6（秒）又林林比張強慢3秒（即A=E-0.3）E=A3=40.43=43.4（秒）由43.440.640.440.339.4即 EBADC誰是第一、誰是第二、第三、第四、第五名，不就一目了然了嗎？本題還可以單純用快慢關(guān)系來進行判斷。 AB，DC， DA， EA，可得B、E均ADC，一、二、三名分別應(yīng)是C、D、A。但第四、五名仍需計算。由E=A3秒，B=A0.2秒，可知EB，故 B是第四，E是第五名。例2 填數(shù)使下列豎式成立：分析（運用充足理由律思路來探討這兩個式題）：第（1）題。抓住乘、除法法則和乘除的互逆關(guān)系去思考。( ( ×5=33( 只要求得 33( ÷5=( ( ，就可以得出豎式被乘數(shù)了，現(xiàn)