直線及方程的教案

1、直線與方程直線的傾斜角與斜率知識要點梳理知識點一：直線的傾斜角平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角.規(guī)定：當直線和軸平行或重合時，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是要點詮釋：1.要清楚定義中含有的三個條件直線向上方向；軸正向；小于的角.2.從運動變化觀點來看，直線的傾斜角是由軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角.3.傾斜角的范圍是.當時，直線與軸平行或與軸重合.4.直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有惟一的傾斜角和它對應.5.已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點和這條直線

2、的傾斜角可以唯一確定直線的位置.知識點二：直線的斜率傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即要點詮釋：1.當直線與x軸平行或重合時，=0°，k=tan0°=0；2.直線與x軸垂直時，=90°，k不存在.由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.知識點三：斜率公式已知點、，且與軸不垂直，過兩點、的直線的斜率公式.要點詮釋：1.對于上面的斜率公式要注意下面五點：(1) 當x1=x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角=90°，直線與x軸垂直；(2)k與P1、P2的順序無關，即y1，y2和x1，x2在公式中的前

3、后次序可以同時交換，但分子與分母不能交換；(3)斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得；(4)當y1=y2時，斜率k=0，直線的傾斜角=0°，直線與x軸平行或重合；(5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到2.斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問題：(1)由、點的坐標求的值；(2)已知及中的三個量可求第四個量；(3)已知及、的橫坐標(或縱坐標)可求；(4)證明三點共線.知識點四：兩直線平行設兩條不重合的直線的斜率分別為.若，則與的傾斜角與相等.由，可得，即.因此，若，則.反之，若，則.要點詮釋：1.公式成立的前提條件是兩條直線的斜率存在分別為；不重合；2

4、.當兩條直線的斜率都不存在且不重合時，的傾斜角都是，則.知識點五：兩直線垂直設兩條直線的斜率分別為.若，則.要點詮釋：1.公式成立的 前提條件是兩條直線的斜率都存在；2.當一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，兩條直線也垂直.三、規(guī)律方法指導1由斜率的定義可知，當在范圍內(nèi)時，直線的斜率大于零；當在范圍內(nèi)時，直線的斜率小于零；當時，直線的斜率為零；當時，直線的斜率不存在直線的斜率與直線的傾斜角(除外)為一一對應關系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然2直線的斜率可用于直線的平行(重

5、合)、垂直等位置關系的判斷，直線傾斜角的范圍、大小的判斷、求解及直線方程的求解等3我們在判斷兩直線的平行與垂直時，往往先判斷直線的斜率是否存在，然后再根據(jù)具體情況進行判斷；4判斷兩直線平行時，易忽略兩直線重合的情況，需特別注意；5平行、垂直的判斷中，斜率不存在的情況易忽略致錯，需特別注意.三：經(jīng)典例題透析類型一：傾斜角與斜率的關系已知直線的傾斜角的變化范圍為，求該直線斜率的變化范圍；類型二：斜率定義已知ABC為正三角形，頂點A在x軸上，A在邊BC的右側(cè)，BAC的平分線在x軸上，求邊AB與AC所在直線的斜率類型三：斜率公式的應用求經(jīng)過點，直線的斜率并判斷傾斜角為銳角還是鈍角類型四：兩直線平行與垂

6、直四邊形的頂點為，試判斷四邊形的形狀直線的方程知識要點梳理知識點一：直線的點斜式方程方程由直線上一定點及斜率決定，我們把叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式.要點詮釋：1點斜式方程是由直線上一點和斜率確定的，點斜式的前提是直線的斜率存在.點斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2當直線的傾斜角為0°時，直線方程為；3當直線傾斜角為90°時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示.這時直線方程為:.4表示直線去掉一個點；表示一條直線.知識點二：直線的斜截式方程如果直線的斜率為，且與軸的交點為，根據(jù)直線的點斜式方程可得，即.我們把直線與軸的交點的縱坐標叫做直線在軸上的截

7、距，方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式.要點詮釋：1b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負數(shù)；距離必須大于或等于零；2斜截式方程可由過點(0，b)的點斜式方程得到；3當時，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式.4斜截式的前提是直線的斜率存在.斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線.5斜截式是點斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距.知識點三：直線的兩點式方程經(jīng)過兩點(其中)的直線方程為，稱這個方程為直線的兩點式方程，簡稱兩點式.要點詮釋：1這個方程由直線上兩點確定；2當直線沒有斜率()或斜率為時，不

8、能用兩點式求出它的方程. 3()與范圍不一樣,后者范圍小.4直線方程的的表示與選擇的順序無關.知識點四：直線的截距式方程若直線與x軸的交點為A(a，0)，與y軸的交點為B(0，b)，其中，則過AB兩點的直線方程為，這個方程稱為直線的截距式方程.a叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距.要點詮釋：1截距式的條件是，即截距式方程不能表示過原點的直線以及不能表示與坐標軸平行的直線.2求直線在坐標軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y= 0得直線在x軸上的截距.知識點五：直線方程的一般式關于x和y的一次方程都表示一條直線我們把方程寫為Ax+By+C=0，這個方程(其中A、B不全

9、為零)叫做直線方程的一般式要點詮釋：A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線.三、規(guī)律方法指導1直線的確定：一條直線可以由直線上一點與直線的傾斜角確定，也可以由兩個不同的點確定根據(jù)直線不同的確定方法，從而有不同的直線方程形式與之對應2直線方程的幾種表達方式的選取：在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因為斜截式只需要兩個獨立變數(shù)，而點斜式需要三個獨立變數(shù)在求直線方程時，要根據(jù)給出的條件采用適當?shù)男问揭话愕?，已知一點的坐標，求過這點的直線，通常采用點斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y 軸上的截距；已知截距或兩點選擇截距式或兩點式從

10、結(jié)論上看，若求直線與坐標軸所圍成的三角形的面積或周長，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏3補充說明：(1)在應用兩點式求直線方程時，往往把分式形式通過交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式，從而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情況，但此轉(zhuǎn)化過程不是一個等價的轉(zhuǎn)化過程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的討論要避免討論，可直接假設兩點式的整式形式(2)截距相等問題中，勿忽略a=b=0即直線過原點時的情況(3)若兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，其中點為(x，y)，則x=，y=，稱為中點公式，需熟練掌握(4)某點關于各軸及任意直線的對

11、稱點的坐標的求法需熟悉；有關光線的反射問題，最終都需轉(zhuǎn)化為對稱問題來解決四：經(jīng)典例題透析類型一：求規(guī)定形式的直線方程(1) 求經(jīng)過點A(2，5)，斜率是4直線的點斜式方程； (2)求傾斜角是，在軸上的截距是5；直線的斜截式方程類型二：直線與坐標軸形成三角形問題】過點P(2，1)作直線與x軸、y軸正半軸交于A、B兩點，求AOB面積的最小值及此時直線的方程類型三：斜率問題求過點，且與軸的交點到點的距離為5的直線方程.類型四：截距問題求過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程直線的交點坐標與距離公式知識要點梳理知識點一：直線的交點：求兩直線與的交點坐標，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可.若有，則方

12、程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有，則方程組無解，此時兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時兩直線相交，此解即兩直線交點的坐標.要點詮釋：求兩直線的交點坐標實際上就是解方程組，看方程組解的個數(shù).知識點二：兩點間的距離公式兩點間的距離公式為.要點詮釋：此公式可以用來求解平面上任意兩點之間的距離，它是所有求距離問題的基礎，點到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離來解決.另外在下一章圓的標準方程的推導、直線與圓、圓與圓的位置關系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應用，需熟練掌握.知識點三：點到直線的距離公式點到直線的距離為.要點詮釋：此公式常用于求三角形的高、兩平行間的距離及下一章中直

13、線與圓的位置關系的判斷等.點到直線的距離為直線上所有的點到已知點的距離中最小距離.知識點四：兩平行線間的距離本類問題常見的有兩種解法：轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點，此點到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；距離公式：直線與直線的距離為.要點詮釋：(1)兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點，這個點到另一條直線的距離，此點一般可以取直線上的特殊點，也可以看作是兩條直線上各取一點，這兩點間的最短距離；(2)利用兩條平行直線間的距離公式時，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中x，y的系數(shù)要保持一致.三、規(guī)律方法指導應用解析思想解決問題的基本步驟：第一步：建

14、立適當?shù)淖鴺讼?，用坐標表示有關的量.坐標系的選擇是否適當是影響解題過程簡捷與否的重要因素，坐標系建立的不恰當會人為的擴大題目的計算量.在建立坐標系時一般以特殊的點、線作為坐標系的原點和坐標軸，建立坐標系時，對圖形的特性應用的越充分，題目中出現(xiàn)的變量就會越少，運算過程也會越簡便.第二步：進行有關的代數(shù)運算.通過各點的坐標、各圖形方程之間的各種運算，求得所需結(jié)果的代數(shù)形式.通過運算可求得各個點、直線間的距離、角度、直線的斜率、截距、直線方程及兩直線的交點等.第三步：把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何關系.通過計算結(jié)果說明某幾何結(jié)論成立.四：經(jīng)典例題透析類型一：求交點坐標判斷下列各對直線的位置關系，如果相

15、交，求出交點的坐標. 類型二：求兩點間的距離在直線2x-y=0 上求一點P ，使它到點 M(5，8) 的距離為，并求直線PM 的方程類型三：求點到直線的距離求點P(3，-2)到下列直線的距離： 類型四：求兩平行直線間的距離求兩條平行線間的距離.一選擇題（共55分，每題5分）1. 已知直線經(jīng)過點A(0,4)和點B（1，2），則直線AB的斜率為（ ）A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在2過點且平行于直線的直線方程為（ ）A BCD3. 在同一直角坐標系中，表示直線與正確的是（ ） A B C D4若直線x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，則a=（ ）A B C D5.過(x1，y1)

16、和(x2，y2)兩點的直線的方程是( )L36、若圖中的直線L1、L2、L3的斜率分別為K1、K2、K3則（ ）L2 A、K1K2K3B、K2K1K3ox C、K3K2K1L1 D、K1K3K2 7、直線2x+3y-5=0關于直線y=x對稱的直線方程為（ ）A、3x+2y-5=0 B、2x-3y-5=0C、3x+2y+5=0 D、3x-2y-5=08、與直線2x+3y-6=0關于點(1,-1)對稱的直線是（ ）A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=09、直線5x-2y-10=0在x軸上的截距為a,在y軸上的截距為b,則（ ）A.a=2

17、,b=5; B.a=2,b=; C.a=,b=5; D.a=,b=.10、直線2x-y=7與直線3x+2y-7=0的交點是（ ）A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1)11、過點P(4,-1)且與直線3x-4y+6=0垂直的直線方程是（ ）A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0二填空題（共20分，每題5分）12. 過點（1，2）且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程 _ _；13兩直線2x+3yk=0和xky+12=0的交點在y軸上，則k的值是14、兩平行直線的距離是 。15空間兩點M1（-1,0,3）,M

18、2(0,4,-1)間的距離是 三計算題（共71分）16、（15分）已知三角形ABC的頂點坐標為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點。（1）求AB邊所在的直線方程；（2）求中線AM的長（3）求AB邊的高所在直線方程。17、（12分）求與兩坐標軸正向圍成面積為2平方單位的三角形，并且兩截距之差為3的直線的方程。18.（12分） 直線與直線沒有公共點，求實數(shù)m的值。19（16分）求經(jīng)過兩條直線和的交點，且分別與直線（1）平行，（2）垂直的直線方程。20、（16分）過點（，）的直線被兩平行直線：與：所截線段的中點恰在直線上，求直線的方程2005-2006高中數(shù)學必修1第三章直線方程測試題答案1-5 BACAC 6-10 AADBA 11 A 12.y=2x或x+y-3=0 13.±6 14、 15.16、解：（1）由兩點式寫方程得 ，3分即 6x-y+11=04分或 直線AB的斜率為 1直線AB的方程為 3分 即 6x-y+11=04分（2）設M的坐標為（），則由中點坐標公