2020高中數(shù)學(xué)3.2.3用空間向量求空間角教學(xué)設(shè)計新人教A版選修2-1

1、3.2.3立體幾何中的向量方法空間“角”問題（后附學(xué)案）一、教材分析：立體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要內(nèi)容，在整個高中數(shù) 學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要的地位， 它不僅能培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點， 還能培養(yǎng)學(xué) 生的空間想象能力和邏輯思維能力， 是歷年高考的重點考查內(nèi)容之一。 用向量法 處理幾何問題，可使空間形式的研究從“定性”推理轉(zhuǎn)化為“定量”計算. . 空間角又是立體幾何中的重要知識點， 學(xué)好了它對其他數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)及貫穿運用有 很大的幫助，因此在首輪復(fù)習(xí)有必要再對其進行專題復(fù)習(xí)。二、學(xué)情分析 學(xué)生雖已學(xué)完了立體幾何，也對立體幾何有了一定的認(rèn)識，但由于空間角是 一個難點，一般的方法是由“作、證、算”三

2、部分組成，學(xué)生對作出空間角的方 法即如何化空間角為平面角并在可解三角形中來求解有一定的困難， 還不能熟練 掌握，而空間向量的引入， 使立幾問題演繹難度降低， 相比較來說過關(guān)比較容易， 因此有必要對此內(nèi)容通過引入空間向量的方法進行專題訓(xùn)練， 使學(xué)生能更好地掌 握。三、教學(xué)目標(biāo) 知識基礎(chǔ)：空間向量的數(shù)量積公式、夾角公式，坐標(biāo)表示。認(rèn)知目標(biāo)：掌握利用空間向量求空間角（兩條異面直線所成的角，直線和平 面所成的角及二面角）的方法，并能熟練準(zhǔn)確的求解結(jié)果及完整合 理的表達(dá)。能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、類比轉(zhuǎn)化的能力；體驗從 “定性” 推理到 “定量” 計算的轉(zhuǎn)化，提高分析問題、解決問題的能力 . . 使學(xué)

3、生 更好的掌握化歸和轉(zhuǎn)化的思想。情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和求知欲，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位；感受和體 會數(shù)學(xué)美的魅力，激發(fā)“學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)”的熱情 . .教學(xué)重點： 1 1）向量法求空間角的方法和公式；2 2 ）空間角與向量夾角的區(qū)別和聯(lián)系。教學(xué)難點：1 1） 兩條異面直線的夾角、 二面角的平面角與兩個空間向量的夾角之間的區(qū)別;2 2）構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并正確求出點的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)關(guān)鍵：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確寫出空間向量的坐標(biāo)，將幾何問 題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題四、 教學(xué)方法：啟發(fā)式講解互動式討論 研究式探索反饋式評價五、 教學(xué)手段：借助多媒體輔助教學(xué)六、 教學(xué)過程：教師教學(xué)活動學(xué)生參與

4、活動設(shè)計意圖教師提出問題：提問學(xué)生，學(xué)生一一作出回復(fù)習(xí)空1 1、異面直線所成的角、線面角、二面答。間角概角的范圍分別是什么？念及求2 2、兩向量夾角的范圍是什么？兩條異面直線所成的角（線法以及3 3、向量的有關(guān)知識線角），直線和平面所成的角新學(xué)的（1 1）兩向量數(shù)量積的定義（線面角）及二面角的平面空間向（2 2）兩向量夾角公式角（面面角）。量知識，（3 3）什么是直線的方向向量？什分三步：作證求為新課么是平面的法向量？做準(zhǔn)備（4 4）如何用直線的方向向量和平面的法向量證明線面間的平行與垂直？教師給出引例：如圖所示，四邊形ABCD是邊 長為6的正方形，SA平面ABCD，SA=8,M是SA的中點,

5、 過M和BC的平面交SD于N.求二面角 M-BC-DM-BC-D 的平面角的正 切值；(2)(2) 求 CNCN 與平面 ABCABC 所成角的正切 值；(3)(3) 求 CNCN 與 BDBD 所成角的余弦值；求平面 SBCSBC 與 SDCSDC 所成角的正弦 值提出問題：如何用空間向量來求解空 間角？1 1、線線角多媒體演示兩異面直線夾角與向量夾角的區(qū)別和聯(lián)系，得出結(jié)論：分別在直線 ABAB CDCD 上取定1 1、學(xué)生說方法2 2、方法歸納：求空間角的主 要方法是通過平移轉(zhuǎn)化法作 出所成角，然后利用三角形 邊角關(guān)系求解教師板書用向量求線線角結(jié)論以簡單 的練習(xí) 題回顧 空間角的三種 類型

6、，在 解題方 法上注 重引導(dǎo)學(xué)生并 通過問 題讓學(xué) 生對所用知識 有較為 詳細(xì)的 回顧，基 于時間的問題 板演省 略通 過 討論、分析總結(jié)得 出用空間的區(qū)等于向量ab所成的角或其補角如別和聯(lián)求線線角方法,量a,b,則異面直線 ABAB CDCD 所成的角兩者之系，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)例1、如圖所示的正方體中，已知 F Fi教師提問學(xué)生回答例 1 1,可 講練結(jié)與 E Ei為四等分點，求異面直線以用兩種辦法，傳統(tǒng)法和向合使得量法知識能引導(dǎo)學(xué)生悟出用向量求線線夠及時角的方法步驟鞏固并IH找到方稠韓耕酊曙曲角霸 8181 勸法規(guī)律，扔十旬觸 射命鏑；師I癥抵離霏斛訥耕：初歡租為魅弗同時通過練習(xí)以麗勃球：輛雅

7、M M 戕樂陋酣琲柿 題熟悉線線角向量法,這樣的設(shè)計符謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣圖，則 COSCOSDFDF 與合學(xué)生 的認(rèn)知 規(guī)律iflifl 血申也心=剜規(guī)蔽血平勰 I I 斜耳 C C 也置,己知BCCA恥倚半的中疸壞片求吧與=cq範(fàn)賊能能戰(zhàn).?學(xué)生練習(xí)（回答）2 2、線面角多媒體演示線面夾角夾角與向量夾角的區(qū)別和聯(lián)系，教師引導(dǎo)，學(xué)生類比用向量 求線線角的研究方法，通過獨立 探索、討論得出結(jié)論明確 直線方 向向量 與平面法向量 所成角 與線面 角的關(guān)系1ScB8B中，求 ABAB 與例 2 2、如圖，在正方體 ABCD-AABCD-AiGDGD平面 A AiBiCDBiCD 所成的角結(jié)合讓學(xué)生自己動手

8、分析冋題解決問題更能激發(fā)學(xué)生學(xué)細(xì)：在長方體椒7)-制仙中，朋二6廁二& 岡 弋M為呃上的一或二I.點斑線闕D匕 卑斗劇胡平5U蝕所成酬的正寵.戲囪旳龜圍：(0,/ 2亓 黒機如何用空同向常的夾箱蠱臚址曲伯嚅 r結(jié)sin# =論：學(xué)生回答例題方法(兩種)通過教師板演例題的向量法教師的板書使學(xué)生練習(xí)，求出答案，點評學(xué)生對對錯證明、求解題的It-m過程書刮毘斤觀或妙氣平宙肝戰(zhàn)毎的矗為.寫有個很規(guī)范則覦楚“騙事*的為：HSAftm的標(biāo)準(zhǔn)，w.境酎 濾你輛郭unxmeh統(tǒng)砒目的使尊理卞臾胃#走專.學(xué)生既要會做又要不失分。講練過通 求 要不a=習(xí)的興趣。有助于學(xué)生對知識的掌握2 2、面面角多媒體演示二面角

9、與向量夾角的區(qū)別觀察、分析、理解用向量求二面角的方法和依據(jù)和聯(lián)系,數(shù)形結(jié)合,分類范圍：0皿討論分析使學(xué)生掌握用法向面角時忽略對面角大小的判斷站 倫:0亠土，小以二曲fit的tl.Lfi.:主-為感懸、A腐牛離內(nèi)舟創(chuàng)柞塞_1于檢的曲柚構(gòu)條期蜒所雇杓MflL-曲用的千曲島，二板甫的卑晦用益頼滿例3.已知正方徉ABCD的邊長為2,為ACBD的交點，M為的中點(I)求證，肖線斗O丄Ml AC;求二面角對MA的余缶值.rxC.:Z丄學(xué)生思考后回答：學(xué)生寫出過程，實物投影展示LH卩M首水欽切色ftM) BM：WBG i AOC，SO亠廁ABG EOS-OC-B-L OH, i：備H盤對10B獵的繍械血M酉

10、酈AB陽踽詢踐仏二諭AS 0SH.通 過 此題主要 是培養(yǎng) 學(xué)生靈 活運用所學(xué)知 識解題 能力的 遷移通過 學(xué)生討 論，提問 增力卩了 師生間 的交流使這堂 課變得 生動活 潑并使學(xué)生充 分掌握 化歸和 轉(zhuǎn)化的思想學(xué)生回答總結(jié):課時小結(jié)生回顧、總結(jié)的能力和 意識，徹 底完成 今天的 教學(xué)目標(biāo)小結(jié)：C-D1.異面直線所成角：丁-Duuuuuu、 Bcos|cos CD, AB |Ar2.直線與平面所成角：nr uuru- Z -7Sin|cos n,AB |B-03.面角：urUDurcos|cosm,uu1/”n cos|cos叫壓|關(guān)鍵：觀察二面角的范圍七、 作業(yè)：課后強化訓(xùn)練八、 教學(xué)過程

11、設(shè)計說明1 1、這是一節(jié)用空間向量求解空間角的專題課， 基于學(xué)生對空間角的概念和基本 的求解方法有一定的基礎(chǔ)，所以本節(jié)課先從空間各種角的概念、 相關(guān)圖形及取值 范圍進行復(fù)習(xí)，再通過一個相對比較綜合的題目對普通方法求所有的空間角鞏固 一下，為新課做好準(zhǔn)備。2 2、 整個教學(xué)過程采用循序漸進的原則，使學(xué)生能更好地掌握所學(xué)知識。3 3、 教學(xué)過程中充分體現(xiàn)學(xué)生的主體作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，以達(dá)到良好的 教學(xué)效果。九、 板書設(shè)計課題利用向量解決空間角問題一、 線線角 公式二、 線面角公式三、 二面角公式例題 2 2引例多媒體投影323323 立體幾何中的向量方法空間“角”問題課程標(biāo)準(zhǔn)能用向量方法解決

12、線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研 究幾何問題中的作用學(xué)習(xí)目標(biāo)1 1 使學(xué)生學(xué)會求異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角的向量 方法；2 2、使學(xué)生能夠應(yīng)用向量方法解決一些簡單的立體幾何問題3 3、使學(xué)生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高例 2 2、如圖，在正方體 ABCD-ABGDABCD-ABGD 中，求 ABAB 與平面 ABCDABCD 所成的角利用向量法求直線與 平面所成角的步驟為:(1)(2)RC ABC, ZBCA =90。，現(xiàn)將匕佃沿著半 皿骯的法向量 平移到也置，己知號 C 二 U4 二CClf取州咎丿心的中點卩、片求BDAE所成的角的余弦值.例2、

13、如圖所示的正方體中，已知 F Fl與 E El為四等分點，求異面直線DFDF 與 BEBE 的夾角余弦值？練習(xí);利用向量求異面直線所成的角的步驟為：（1 1）（2 2）（3 3）探究二線面角1定義:2范圍:思考：如何用空間向量的夾角表示線面角呢？設(shè)直線 ABAB 的方向向量分別為 a a,平面 的法向量為 n n(3)例父 已知正方體ABCD-小叭UZ的邊長為2.為ACXBD的空點M為DP】的屮點(1)求證 育一線月。丄面2求二面角-Mt -C的余弦值.平面所成角的步驟為:(1)如EL已知：直角鴨形OABC中OABC, ZAOC-900, JiO丄面JAHC日OS=OC-BC=1TOA=2n求

14、： 異面直塊SA和0B所誡的fll的余強值， 艸與面所戰(zhàn)甬a(chǎn)的正弦值r二面角B-AS-O的余弦値.練習(xí):在長方體肋門屮，&九= 6, M為場G上的一點,且M二2,點N在線段再D上, 昇AT = 5,求4刀與平面NM所成的角的正弦值*71探究三面面角(二面角)(3)思考：如何用空間向量的夾角表示線面角呢?設(shè)兩平面的法向量分別為n ni、 n n2利用向量法求直線與定義:uB=6060 求二面角 A A- A AiC C- B B 的大小.三、課堂小結(jié)1 1、線線角2 2、 線面角3 3、 面面角解題技巧都掌握了嗎？快快記下來吧！四、當(dāng)堂檢測1 1.直三棱柱 ABCABC - ABCABC 中，/ ACB=ACB= 9090 , D D , E E1分別為 的中點，若BOCBOC 心 CCCC ,則 BDBD 與 AEAE 所成角的余弦值為A.2B.B.曙1515C.C.1010 10102 2 .已知長方體 ABCD-ABCD- ABCDABCD 中,A A 吐 BOBO4 4, CGCG= 2 2,貝 U U 直線 BGBG 和平面 DBEDDBED 所成角的正弦值為（A.#A.#BFC.4 4.已知正三棱與側(cè)面 ABBAABBAi所成的角的正弦值為5 5 .如圖，已知在一個二面角的棱上有兩個點 A