排列組合專題各方法題型及其答案

1、排列組合題型總結(jié)一直接法例 1 用 1， 2，3， 4，5，6 這 6 個數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個（ 1）數(shù)字 1 不排在個位和千位（ 2）數(shù)字 1 不在個位，數(shù)字6 不在千位。二間接法當(dāng)直接法求解類別比較大時，應(yīng)采用間接法。例 2有五張卡片，它的正反面分別寫0 與 1， 2 與 3， 4 與 5， 6 與 7， 8 與 9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)三插空法當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。例 3在一個含有8 個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法四捆綁法當(dāng)需排元素中有必須相

2、鄰的元素時，宜用捆綁法。例 44 名男生和3 名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種五閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例 5某校準(zhǔn)備組建一個由12 人組成籃球隊，這12 個人由8 個班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配方案共多少種六平均分堆問題例 66本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法七染色問題例 7 某城市中心廣場建造一個花圃，花圃 6 分為個部分，現(xiàn)要栽種 4 種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種 同一樣顏色的話，不同的栽種方法有 種（以數(shù)字作答） 561423八遞推法例八一樓梯共10 級，如果規(guī)定每次只能跨上一級或兩級，要走上這10 級樓梯，共有

3、多少種不同的走法九 . 幾何問題1 四面體的一個頂點位A, 從其它頂點與各棱中點取3 個點，使它們和點A 在同一平面上，不同的取法有種十 先選后排法例 9 有甲乙丙三項任務(wù)， 甲需 2 人承擔(dān)， 乙丙各需 1 人承擔(dān)， 從 10 人中選派 4 人承擔(dān)這三項任務(wù)， 不同的選派方法有多少種十一用轉(zhuǎn)換法解排列組合問題例 10某人連續(xù)射擊 8 次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有多少種十二轉(zhuǎn)化命題法例 11. 圓周上共有15 個不同的點，過其中任意兩點連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點最多有多少各排列組合題型總結(jié)排列組合問題千變?nèi)f化，解法靈活，條件隱晦，思維抽象，難以找到

4、解題的突破口。因而在求解排列組合應(yīng)用題時，除做到：排列組合分清，加乘原理辯明，避免重復(fù)遺漏外，還應(yīng)注意積累排列組合問題得以快速準(zhǔn)確求解。九直接法1 特殊元素法例 1 用 1， 2，3， 4，5，6 這 6 個數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個（ 1）數(shù)字 1 不排在個位和千位（ 2）數(shù)字 1 不在個位，數(shù)字6 不在千位。分析：（ 1）個位和千位有5 個數(shù)字可供選擇A52 ，其余 2 位有四個可供選擇A42 ，由乘法原理： A52 A42 =2402特殊位置法（ 2）當(dāng) 1 在千位時余下三位有A53=60，1 不在千位時， 千位有 A41種選法，個位有 A41種，余下的有

5、 A42，共有 A41A41A42 =192 所以總共有 192+60=252十間接法當(dāng)直接法求解類別比較大時，應(yīng)采用間接法。如上例中（2）可用間接法 A642A53A42 =252例 2 有五張卡片，它的正反面分別寫0 與 1， 2 與 3， 4 與 5， 6與 7，8 與 9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)分析：此例正面求解需考慮0 與 1 卡片用與不用，且用此卡片又分使用0 與使用 1，類別較復(fù)雜，因而可使用間接計算：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)C 5323A33個，其中0 在百位的有C 4222A22 個，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)C5

6、323A33- C422 2A22=432（個）十一插空法當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。例 3在一個含有8 個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法分析：原有的8 個節(jié)目中含有9 個空檔，插入一個節(jié)目后，空檔變?yōu)?0 個，故有A19A101 =100 中插入方法。十二捆綁法當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。例 44 名男生和3 名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種分析：先將男生捆綁在一起看成一個大元素與女生全排列有A44 種排法，而男生之間又有A44 種排法，又乘法原理滿足條件的排法有：A44 × A44=576練習(xí)

7、1 四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有種（ C42 A33 ）2某市植物園要在30 天內(nèi)接待 20 所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2 天，其余只參觀一天，則植物園30 天內(nèi)不同的安排方法有（C 129A1928 ）（注意連續(xù)參觀2 天，即需把30 天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有C291 其余的就是19 所學(xué)校選 28 天進(jìn)行排列）十三閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例 5某校準(zhǔn)備組建一個由12 人組成籃球隊，這12 個人由 8 個班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配方案共種

8、。分析：此例的實質(zhì)是12 個名額分配給8 個班，每班至少一個名額，可在12 個名額種的11 個空當(dāng)中插入 7 塊閘板，一種插法對應(yīng)一種名額的分配方式，故有C117 種練習(xí) 1.(a+b+c+d) 15 有多少項當(dāng)項中只有一個字母時，有C 14 種（即而指數(shù)只有15 故 C 41C140 。當(dāng)項中有2 個字母時，有 C 42 而指數(shù)和為15，即將 15 分配給 2 個字母時，如何分，閘板法一分為2，C141即 C42 C141當(dāng)項中有3 個字母時 C 43 指數(shù) 15 分給 3 個字母分三組即可C 43C142當(dāng)項種 4 個字母都在時C 44 C143四者都相加即可練習(xí) 2有 20 個不加區(qū)別的

9、小球放入編號為1，2， 3 的三個盒子里，要求每個盒子內(nèi)的球數(shù)不少編號數(shù)，問有多少種不同的方法（C162 ）3不定方程X1+X2+X3+ +X50=100 中不同的整數(shù)解有（C 9949 ）十四平均分堆問題例 66本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法分析：分出三堆書（ a1,a 2） ,(a 3,a 4) ，（ a5,a 6）由順序不同可以有A33 =6 種，而這6 種分法只算一種分堆方式，故 6 本不同的書平均分成三堆方式有C62 C42C22=15 種A33練習(xí)： 1 6 本書分三份， 2 份 1 本， 1 份 4 本，則有不同分法2某年級6 個班的數(shù)學(xué)課，分配給甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任

10、教，每人教兩個班，則分派方法的種數(shù)。十五合并單元格解決染色問題例 7（全國卷（文、理） ）如圖 1，一個地區(qū)分為5 個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種（以數(shù)字作答） 。分析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、 4、 5下面分情況討論:( ) 當(dāng) 2、 4 顏色相同且3、 5 顏色不同時，將2、 4 合并成一個單元格，此時不同的著色方法相當(dāng)于42,44個元素的全排列數(shù)A44（）當(dāng)2、 4 顏色不同且3、 5 顏色相同時，與情形( ) 類似同理可得A 種著色法4（）當(dāng)2、4 與3、 5 分別同色時，將2、4； 3、5 分別合并，這樣僅有三

11、個單元格2,43,533從 4 種顏色中選3 種來著色這三個單元格，計有C4 A3種方法433由加法原理知：不同著色方法共有2 A4C4A3=48+24=72（種）練習(xí) 1（天津卷（文） ）將 3 種作物種植12345在如圖的5 塊試驗田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植方法共種（以數(shù)字作答）（ 72）2（江蘇、遼寧、天津卷（理）某城市中心廣場建造一個花圃，花圃6 分為個部分（如圖3），現(xiàn)要栽種 4 種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同一樣顏色的話，不同的栽種方法有種（以數(shù)字作答）（ 120）5B614D2A3CE圖3圖43如圖 4，用不同的5 種顏色分別

12、為ABCDE五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用也可以不用，則符合這種要求的不同著色種數(shù)（ 540）4如圖 5：四個區(qū)域坐定4 個單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限A制，那么不同的著色方法是種（ 84）BECD41 32圖5圖65將一四棱錐 ( 圖 6) 的每個頂點染一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法共種（ 420）十六遞推法例八一樓梯共10 級，如果規(guī)定每次只能跨上一級或兩級，要走上這10 級樓梯，共有多少種不同的走法分析

13、：設(shè)上 n 級樓梯的走法為an 種，易知 a1=1,a 2=2, 當(dāng) n 2 時，上 n 級樓梯的走法可分兩類：第一類：是最后一步跨一級，有an-1 種走法，第二類是最后一步跨兩級，有an-2 種走法，由加法原理知：an=an-1 + an-2 ,據(jù)此，a3=a1+a2=3,a 4=a#+a2=5,a 5=a4+a3=8,a 6=13,a 7=21,a 8=34, a9=55,a 10=89. 故走上 10 級樓梯共有89 種不同的方法。九 . 幾何問題1 四面體的一個頂點位A, 從其它頂點與各棱中點取3 個點，使它們和點A 在同一平面上，不同的取法有種（ 3 C53 +3=33）2. 四面體

14、的棱中點和頂點共10 個點（ 1）從中任取3 個點確定一個平面，共能確定多少個平面( C103 -4C63 +4-3 C 43 +3-6C 43 +6+2× 6=29)(2) 以這 10 個點為頂點，共能確定多少格凸棱錐4444四棱錐 6 × 4×4=96 3 ×三棱錐 C 10 -4C6 -6C4-3C4 =1416=18 共有 114十一先選后排法例 9 有甲乙丙三項任務(wù)， 甲需 2 人承擔(dān)， 乙丙各需 1 人承擔(dān)， 從 10 人中選派 4 人承擔(dān)這三項任務(wù)， 不同的選派方法有（ ）種種種種分析：先從10 人中選出2 人十一用轉(zhuǎn)換法解排列組合問題例

15、10某人連續(xù)射擊 8 次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有多少種解 把問題轉(zhuǎn)化為四個相同的黑球與四個相同白球，其中只有三個黑球相鄰的排列問題A52=20 種例 11 個人參加秋游帶10 瓶飲料，每人至少帶1 瓶，一共有多少鐘不同的帶法解把問題轉(zhuǎn)化為5 個相同的白球不相鄰地插入已經(jīng)排好的10 個相同的黑球之間的9 個空隙種的排列問題 C95 =126 種例 12從 1， 2， 3， 1000 個自然數(shù)中任取10 個不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的去法解把穩(wěn)體轉(zhuǎn)化為10 個相同的黑球與990 個相同白球，其其中黑球不相鄰的排列問題。C99110例 13某城市街道

16、呈棋盤形，南北向大街5 條，東西向大街4 條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種解無論怎樣走必須經(jīng)過三橫四縱，因此，把問題轉(zhuǎn)化為3 個相同的白球與四個相同的黑球的排列問題 C73 =35（種）例 14一個樓梯共18 個臺階 12 步登完， 可一步登一個臺階也可一步登兩個臺階，一共有多少種不同的走法解根據(jù)題意要想 12 步登完只能 6 個一步登一個臺階， 6 個一步登兩個臺階，因此，把問題轉(zhuǎn)化為6 個相同的黑球與 6 個相同的白球的排列問題C126 =924（種）例 15求（ a+b+c）10 的展開式的項數(shù)解 展開使的項為 ab c , 且 + =10，因此，把問題轉(zhuǎn)化為 2 個

17、相同的黑球與 10 個相同的白球的排列問題 C122 =66（種）例 16亞、歐乒乓球?qū)官悾麝牼? 名隊員，按事先排好的順序參加擂臺賽，雙方先由1 號隊員比賽，負(fù)者淘汰，勝者再與負(fù)方2 號隊員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種解設(shè)亞洲隊隊員為a1,a 2， ,a 5, 歐洲隊隊員為b1， b2， b5，下標(biāo)表示事先排列的出場順序，若以依次被淘汰的隊員為順序比賽過程轉(zhuǎn)化為這10 個字母互相穿插的一個排列，最后師勝隊種步被淘汰的隊員和可能未參加參賽的隊員，所以比賽過程可表示為5 個相同的白球和5 個相同黑球排列問題，比賽過程的總數(shù)為 C

18、106 =252（種）十二轉(zhuǎn)化命題法例 17 圓周上共有15 個不同的點，過其中任意兩點連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點最多有多少各分析：因兩弦在圓內(nèi)若有一交點，則該交點對應(yīng)于一個以兩弦的四端點為頂點的圓內(nèi)接四邊形，則問題化為圓周上的15 個不同的點能構(gòu)成多少個圓內(nèi)接四邊形，因此這些現(xiàn)在圓內(nèi)的交點最多有C154 =1365（個）十三概率法例 18 一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語、體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法分析：在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學(xué)之前與數(shù)學(xué)課排在體育之前的概率相等，均為1，故本2例所求的排法種數(shù)就是所有排法的1，即1A=360 種22十四除序法例 19用 1， 2， 3，4， 5， 6， 7 這七個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，（ 1）若偶數(shù) 2， 4， 6 次序一定，有多少個（ 2）若偶數(shù) 2， 4， 6 次序一定，奇數(shù) 1，3，