不定積分解題方法及技巧總結(jié)

1、不定積分解題方法總結(jié)摘要：在微分學(xué)中，不定積分是定積分、二重積分等的基礎(chǔ)，學(xué)好不定積分十分重要。然而 在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和“有章可循”。本文論述了筆者在學(xué)習(xí)過程 中對不定積分解題方法的歸納和總結(jié)。關(guān)鍵詞：不定積分；總結(jié)；解題方法不定積分看似形式多樣，變幻莫測，但并不是毫無解題規(guī)律可言。本文所總結(jié)的是一般 規(guī)律，并非所有相似題型都適用，具體情況仍需要具體分析。1 .利用基本公式。(這就不多說了 )2 .第一類換元法。(湊微分)設(shè)f(小)具有原函數(shù)F(卜)。則其中(x)可微。用湊微分法求解不定積分時，首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容，同時為下一 步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實(shí)在看不

2、清楚被積函數(shù)特點(diǎn)時，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗 試，或許從中可以得到某種啟迪。如例 1、例2:ln( x 1) ln x ,例 1:- dxx(x 1)【解】(ln( x 1) ln x)' -x 1 x x(x 1)ln( In x , 2 dx (x In x)【解】(xlnx)' 1 In x3.第二類換元法：設(shè)x (t)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，并且 (t) 0.又設(shè)f (t) (t)具有原函數(shù)，則有換元公 式第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式。常見的變換形式需要熟記會用。主要有 以下幾種：-ln-xdx(ln( x 1) lnx)d(ln(x 1) In x

3、) - (ln( x 1) In x)倡是，當(dāng)In x,arcsinx時，是無法求解的。丫對于（3）情況，有兩個通用公式：（分部積分法用處多多在本冊雜志的涉及Inx的不定積分中，?？梢钥吹椒植糠e分）5不定積分中三角函數(shù)的處理1.分子分母上下同時加、減、乘、除某三角函數(shù)。 C 例 2:x(x 1)23 x arccosx, 例 3: dx2 1 x【解】觀察被積函數(shù)，選取變換t arccosx,則例 4： arcsin被積函數(shù) 一2- dx上下同乘sin x變形為 sin x cos x令u cos x ,則為2.只有三角函數(shù)時盡量尋找三角函數(shù)之間的關(guān)系，注意 sin 2 x cos2 x 1的

4、使用。 三角函數(shù)之間都存在著轉(zhuǎn)換關(guān)系。被積函數(shù)的形式越簡單可能題目會越難，適當(dāng)?shù)氖褂萌呛瘮?shù)之間的轉(zhuǎn)換可以使解題的思路變得清晰。3.函數(shù)的降次形如sin m x cosn xdx的積分（m, n為非負(fù)整數(shù)）當(dāng)m為奇數(shù)時，可令u cos x ,于是m 1mnm 1n2 -2- nsin x cos xdx sin x cos xd cos x 1 u 2 u du ,轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的積分當(dāng)n為奇數(shù)時，可令u sin x ,于是u 1 mnmn 1m2sin x cos xdx sin x cos xd sin x u 1 u 2 du,同樣轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的積分。當(dāng)m, n均為偶數(shù)時，可反復(fù)利用下列三

5、角公式： 不斷降低被積函數(shù)的幕次，直至化為前兩種情形之一為止。形如tan n xdx和cotn xdx的積分（n為正整數(shù)）*一.du令 u tan xdx ,貝U x arctan u , dx 2 ,從而1 u已轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分 xdx【解】221arcsin xdx xsin x x2 arcsin xdx1 x2上面的例3,降低了多項(xiàng)式系數(shù)；例4,簡化了被積函數(shù)的類型。 有時，分部積分會產(chǎn)生循環(huán)，最終也可求得不定積分。在 dd中，、的選取有下面簡單的規(guī)律：將以上規(guī)律化成一個圖就是：1 （l arcsinx Pm（aAsinx類似地，cot n xdx可通過代換ucot x轉(zhuǎn)為成有理函

6、數(shù)的積分形如 seen xdx和 cscm xdx的積分(n為正整數(shù))du當(dāng)n為偶數(shù)時，右令 u tan x ,則x arctan u, dx ,于是1 u2已轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式的積分。類似地，cscn xdx可通過代換u cot x轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分當(dāng)n為奇數(shù)時，利用分部積分法來求即可。4 .當(dāng)有x與三角函數(shù)相乘或除時一般使用分部積分法5 .幾種特殊類型函數(shù)的積分。(1)有理函數(shù)的積分有理函數(shù)Px)先化為多項(xiàng)式和真分式Q(x)P*之和，冉把 匕里 分解為若干個部分分式Q(x)Q(x)之和。(對各部分分式的處理可能會比較復(fù)雜。出現(xiàn)In 2 dx 2 n時，記得用遞推公式:(a x )I x2n_I

7、n 2a2(n 1)(x2 a2)n12a2(n 1) n 11 .有理真分式化為部分分式之和求解簡單的有理真分式的拆分注意分子和分母在形式上的聯(lián)系此類題目一般還有另外一種題型：2 .注意分母(分子)有理化的使用dx. 2x 32x 1,2x 3、2x 141 一 21 一2x3 2 2x 3 2 C例 5:121264,2x x 4x3/ 22x (x 1)dx64, 2c64,2x x 4x 2 x x4x 23/ 27723/ 27-23/ 27-2x (x 1) x (x 1) x (x 1),2x 4x 223,22x 1 x (x 1)故不定積分求得。(2)三角函數(shù)有理式的積分x2

8、 tan 一sin x 21 tan2 -萬能公式：22 x1 tan 一cosx -一 2 x1 tan 2P(sin x,cosx)dx可用變換t tan3化為有理函數(shù)Q(sin x,cosx)的積分，但由于計算較煩，應(yīng)盡量避免。A(a8sx bsinx) B(acos'x bsin'x)來做。(注：沒舉例題并不代表不重要對于只含有tanx (或cotx)的分式，必化成 膽或竺x。再用待定系數(shù)cosx sin xacosx bsin x(3)簡單無理函數(shù)的積分一般用第二類換元法中的那些變換形式。像一些簡單的，應(yīng)靈活運(yùn)用。如：同時出現(xiàn)Vx和J1 x時，可令x tan21 ;同

9、時出現(xiàn)工x和71x 時，可令x sin2t ；同時出現(xiàn)J1 x2和arcsinx時，可令x=sint ；同時出現(xiàn)71 x2和arccosx 時，可令 x=cost 等等。(4)善于利用ex ,因?yàn)槠淝髮?dǎo)后不變。這道題目中首先會注意到xex,因?yàn)槠湫问奖容^復(fù)雜。但是可以發(fā)現(xiàn)其求導(dǎo)后為-x x-x與分母差-x ,另外因?yàn)?x求導(dǎo)后不變，所以容易想到分子分母同乘以 -x 。(5)某些題正的不行倒著來然而這樣的換元方法是sin x這類一般的換元這道題換元的思路比較奇特，一般我們會直接使用 u sin x , 解不出本題的。我概括此類題的方法為“正的不行倒著來”，當(dāng) u1 一一 .法行不通時嘗試下- s

10、in x。這種思路類似于證明題中的反證法。 u(6)注意復(fù)雜部分求導(dǎo)后的導(dǎo)數(shù) 注意到：t 2tl2TV1n t 2t 3-tdt1寸-'%3-t2t 3-tt 2 3et3-rdtt 2 3-t1n 1n x 2 In x e31n t1n x1n x 31n In x12t 2-tkdt t 12t 2-t本題把被積函數(shù)拆為三部分：y1。2，丫3, y1的分子為分母的導(dǎo)數(shù)，丫2的值為1, 丫3的分子為分母因式分解后的一部分。此類題目出現(xiàn)的次數(shù)不多，一般在競賽中出現(xiàn)。(7)對于R(x, Jax2bxc)dx(a0)型積分，考慮b2 4ac的符號來確定取不同的變換。如果0,設(shè)方程ax2 bx c。兩個實(shí)根為，令ax2 bx c可使上述積分有理化。如果 0,則方程ax2 bx c0沒有實(shí)根，令Vax2bxcTax t ,可使上述積分有理化。此中情況下，還可以設(shè)ax2bxcxtc ,至于采用哪種替換，具體問題具體分析。(7)當(dāng)根號內(nèi)出現(xiàn)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式時一般用t代去根號。但